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二面角第一課時(shí)新知探究問(wèn)題1
日常生活中,很多場(chǎng)景中都有平面與平面呈一定角度的形象,例如如圖(1)所示,在建造大壩時(shí)為了加固大壩大巴外側(cè)的平面,一般于水平面呈一定角度,如圖(2)所示,很多屋頂都是二面角的形象,你能找到日常生活中更多類似的例子嗎?怎樣刻畫平面與平面所成的角呢?平面內(nèi)的一條直線把一個(gè)平面分成兩部分,其中的每部分都稱為一個(gè)半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個(gè)半平面稱為二面角的面.新知探究如圖所示,在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足,分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小來(lái)度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特別地,平面角是直角的二面角稱為直二面角.新知探究問(wèn)題1
日常生活中,很多場(chǎng)景中都有平面與平面呈一定角度的形象,例如如圖(1)所示,在建造大壩時(shí)為了加固大壩大巴外側(cè)的平面,一般于水平面呈一定角度,如圖(2)所示,很多屋頂都是二面角的形象,你能找到日常生活中更多類似的例子嗎?怎樣刻畫平面與平面所成的角呢?比如,我們?cè)诘氐乩韺W(xué)科上學(xué)過(guò)的黃赤交角,指的就是黃道平面與赤道平面之間的夾角,大小為23°26′,如圖所示.新知探究問(wèn)題2
“門開(kāi)大點(diǎn)”“門開(kāi)小點(diǎn)”說(shuō)明了什么問(wèn)題?平面角可以用量角器進(jìn)行度量,二面角的大小可以用量角器來(lái)度量嗎?如何確定二面角唯一的測(cè)量結(jié)果?哪個(gè)角能夠表示二面角呢?“門開(kāi)大點(diǎn)”“門開(kāi)小點(diǎn)”說(shuō)明了門和墻體所形成的二面角的平面角的大小的變化情況,平面角可以用量角器進(jìn)行度量,二面角的大小無(wú)法用量角器來(lái)度量.二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°,而且,兩個(gè)平面相交時(shí),它們所成角的大小,指的是它們所形成的四個(gè)二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.這樣約定后,一個(gè)二面角的大小及兩個(gè)相交平面所成的角的大小都是唯一確定的.新知探究追問(wèn):根據(jù)二面角的平面角的定義,你是否能總結(jié)出二面角的平面角的定義的三個(gè)主要特征?二面角的平面角的定義有三個(gè)主要特征:①過(guò)棱上任意一點(diǎn);②分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線;③射線垂直于棱.二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān).新知探究問(wèn)題3
根據(jù)二面角的平面角的定義,你能否總結(jié)出如何利用定義法求二面角的平面角的大小?步驟如下:找到或作出所求的二面角的平面角.證明或說(shuō)明所作圖形為所求的二面角的平面角.計(jì)算求解.此時(shí)一般為解斜三角形,需要用余弦定理及其變式.明確答案.寫出所求問(wèn)題的結(jié)論.初步應(yīng)用例1
如圖所示,已知二面角α-l-β的棱上有A,B兩點(diǎn),AC?α,AC⊥l,BD?β,BD⊥l,若AB=6,AC=3,BD=4,CD=7,求二面角α-l-β的大小.解答:如上圖所示,在平面內(nèi)過(guò)A作BD的平行線AE,且使得AE=BD,連接CE,ED.EABDClαβ因?yàn)樗倪呅蜛EDB是一個(gè)矩形,∠CAE是二面角α-l-β的一個(gè)平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,從而在△AEC中,由余弦定理可知因此
,即所求的二面角的大小為
.初步應(yīng)用問(wèn)題4
如圖所示,設(shè)S為二面角α-AB-β的半平面α上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)S作半平面β的垂線SS′,設(shè)O為棱AB上一點(diǎn).(1)判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件;(2)由二面角的作法,你能得到什么啟發(fā)?因?yàn)镾′是S在平面內(nèi)的射影,所以S′O是SO在平面β內(nèi)的射影,從而根據(jù)三垂線定理及其逆定理可知,SO⊥AB是S′O⊥AB的充要條件;當(dāng)二面角α-AB-β是一個(gè)銳角時(shí),由此我們能得到作出它的平面角的另種方法:過(guò)其中一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)S,作另一個(gè)半平面的垂線段SS′,過(guò)S(或S′)作棱的垂線SO(或S′O),連接S′O
(或SO)即可.初步應(yīng)用問(wèn)題4
如圖所示,設(shè)S為二面角α-AB-β的半平面α上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)S作半平面β的垂線SS′,設(shè)O為棱AB上一點(diǎn).(1)判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件;(2)由二面角的作法,你能得到什么啟發(fā)?在圖中,如果二面角α-AB-β的大小為θ,則可以看出△S′AB與△SAB在AB邊上的高之比為cosθ,因此這兩個(gè)三角形的面積之比也為cosθ.初步應(yīng)用要注意以下幾個(gè)方面該作法只適用二面角α-AB-β為銳角的情形.當(dāng)二面角α-AB-β為鈍角時(shí),要將其中一個(gè)半平面延伸,即作出輔助半平面,先求出二面角α-AB-β的補(bǔ)角,再確定二面角α-AB-β的值.當(dāng)二面角為直二面角時(shí)不作探討.這種作二面角的平面角的依據(jù)是三垂線定理及其逆定理.找垂線注意應(yīng)用已知的條件以及有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理,按三垂線定理的條件,一條垂線垂直于二面角的一個(gè)面,還有垂直于棱的一條垂線.初步應(yīng)用例2
如圖所示三棱錐S-ABC中,面SAC⊥面ABC,SA=SC=
,AB=BC=2,且AB⊥BC,求二面角S-AB-C的大小.解答:設(shè)O,E分別為AC,AB的中點(diǎn),連接SO,OE,SE,因?yàn)镾A=SC,所以SO⊥AC,又因?yàn)镺E為△ABC,因此SE在平面ABC內(nèi)的射影為OE,ACSBOE又因?yàn)槊鍿AC⊥面ABC,所以SO⊥面ABC,又因?yàn)镺E為△ABC的中位線,AB⊥BC,所以AB⊥OE,從而由三垂線定理可知AB⊥SE,因此∠SEO為二面角SABC的一個(gè)平面角.從而可知∠SEO=45°,即所求二面角的大小為45°.由AB=BC=2且AB⊥BC可知又因?yàn)?/p>
,而且EO=
BC=1,初步應(yīng)用例2
如圖所示三棱錐S-ABC中,面SAC⊥面ABC,SA=SC=
,AB=BC=2,且AB⊥BC,求二面角S-AB-C的大小.ACSBOE
知∠SEO=60°,即此時(shí)所求的二面角的大小為60°.
初步應(yīng)用注意(1)畫圖過(guò)程中要充分借助題目中的“等長(zhǎng)”條件,構(gòu)造等腰三角形的底邊中點(diǎn),進(jìn)而應(yīng)用等腰三角形的“三線合一”結(jié)論;(2)對(duì)作出的二面角的平面角要證明是所要求的二面角的平面角;(3)注重推理的邏輯性及格式、步驟的規(guī)范與完整.歸納小結(jié)問(wèn)題5
什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角?平面內(nèi)的一條直線把一個(gè)平面分成兩部分,其中的每部分都稱為一個(gè)半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個(gè)半平面稱為二面角的面.如圖所示,在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足,分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小來(lái)度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特別地,平面角是直角的二面角稱為直二面角.作業(yè)布置作業(yè):教科書第52頁(yè)練習(xí)A1,2題.1目標(biāo)檢測(cè)C解析:易知∠A1BA為二面角A1
-BC-A的平面角,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BC-A的余弦值為()A.B.C.D.cos∠A1BA2目標(biāo)檢測(cè)解析:過(guò)A作AO⊥BD,交BD于O,連接PO,已知矩形ABCD的兩邊AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,且PA=
,則二面角A-BD-P的正切值為_(kāi)_______.O∵矩形ABCD的兩邊AB=3,AD=4,∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角,PA⊥平面ABCD,且PA=∴BD=
=5,PO⊥BD,∵
×BD×AO=
×AB×AD,∴AO=
∴二面角A-BD-P的正切值為
.∴tan∠POA=
3目標(biāo)檢測(cè)解析:
如圖取BC的中點(diǎn)為E,連接AE,DE,已知△ABC和△BCD均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形,且AD=
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