二面角第一課時新知探究問題1

日常生活中，很多場景中都有平面與平面呈一定角度的形象，例如如圖（1）所示，在建造大壩時為了加固大壩大巴外側的平面，一般于水平面呈一定角度，如圖（2）所示，很多屋頂都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多類似的例子嗎？怎樣刻畫平面與平面所成的角呢？平面內的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每部分都稱為一個半平面．從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面．新知探究如圖所示，在二面角α－l－β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小來度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特別地，平面角是直角的二面角稱為直二面角．新知探究問題1

日常生活中，很多場景中都有平面與平面呈一定角度的形象，例如如圖（1）所示，在建造大壩時為了加固大壩大巴外側的平面，一般于水平面呈一定角度，如圖（2）所示，很多屋頂都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多類似的例子嗎？怎樣刻畫平面與平面所成的角呢？比如，我們在地地理學科上學過的黃赤交角，指的就是黃道平面與赤道平面之間的夾角，大小為23°26′，如圖所示．新知探究問題2

“門開大點”“門開小點”說明了什么問題？平面角可以用量角器進行度量，二面角的大小可以用量角器來度量嗎？如何確定二面角唯一的測量結果？哪個角能夠表示二面角呢？“門開大點”“門開小點”說明了門和墻體所形成的二面角的平面角的大小的變化情況，平面角可以用量角器進行度量，二面角的大小無法用量角器來度量．二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，兩個平面相交時，它們所成角的大小，指的是它們所形成的四個二面角中，不小于0且不大于90°的角的大小．這樣約定后，一個二面角的大小及兩個相交平面所成的角的大小都是唯一確定的．新知探究追問：根據二面角的平面角的定義，你是否能總結出二面角的平面角的定義的三個主要特征？二面角的平面角的定義有三個主要特征：①過棱上任意一點；②分別在兩個半平面內作射線；③射線垂直于棱．二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關．新知探究問題3

根據二面角的平面角的定義，你能否總結出如何利用定義法求二面角的平面角的大小？步驟如下：找到或作出所求的二面角的平面角．證明或說明所作圖形為所求的二面角的平面角．計算求解．此時一般為解斜三角形，需要用余弦定理及其變式．明確答案．寫出所求問題的結論．初步應用例1

如圖所示，已知二面角α－l－β的棱上有A，B兩點，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AB＝6，AC＝3，BD＝4，CD＝7，求二面角α－l－β的大小．解答：如上圖所示，在平面內過A作BD的平行線AE，且使得AE＝BD，連接CE，ED．EABDClαβ因為四邊形AEDB是一個矩形，∠CAE是二面角α－l－β的一個平面角，且AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，從而在△AEC中，由余弦定理可知因此

，即所求的二面角的大小為

．初步應用問題4

如圖所示，設S為二面角α－AB－β的半平面α上一點，過點S作半平面β的垂線SS′，設O為棱AB上一點．（1）判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件；（2）由二面角的作法，你能得到什么啟發？因為S′是S在平面內的射影，所以S′O是SO在平面β內的射影，從而根據三垂線定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S′O⊥AB的充要條件；當二面角α－AB－β是一個銳角時，由此我們能得到作出它的平面角的另種方法：過其中一個半平面內一點S，作另一個半平面的垂線段SS′，過S（或S′）作棱的垂線SO（或S′O），連接S′O

（或SO）即可．初步應用問題4

如圖所示，設S為二面角α－AB－β的半平面α上一點，過點S作半平面β的垂線SS′，設O為棱AB上一點．（1）判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件；（2）由二面角的作法，你能得到什么啟發？在圖中，如果二面角α－AB－β的大小為θ，則可以看出△S′AB與△SAB在AB邊上的高之比為cosθ，因此這兩個三角形的面積之比也為cosθ．初步應用要注意以下幾個方面該作法只適用二面角α－AB－β為銳角的情形．當二面角α－AB－β為鈍角時，要將其中一個半平面延伸，即作出輔助半平面，先求出二面角α－AB－β的補角，再確定二面角α－AB－β的值．當二面角為直二面角時不作探討．這種作二面角的平面角的依據是三垂線定理及其逆定理．找垂線注意應用已知的條件以及有關垂直的判定和性質定理，按三垂線定理的條件，一條垂線垂直于二面角的一個面，還有垂直于棱的一條垂線．初步應用例2

如圖所示三棱錐S－ABC中，面SAC⊥面ABC，SA＝SC＝

，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，求二面角S－AB－C的大小．解答：設O，E分別為AC，AB的中點，連接SO，OE，SE，因為SA＝SC，所以SO⊥AC，又因為OE為△ABC，因此SE在平面ABC內的射影為OE，ACSBOE又因為面SAC⊥面ABC，所以SO⊥面ABC，又因為OE為△ABC的中位線，AB⊥BC，所以AB⊥OE，從而由三垂線定理可知AB⊥SE，因此∠SEO為二面角SABC的一個平面角．從而可知∠SEO＝45°，即所求二面角的大小為45°．由AB＝BC＝2且AB⊥BC可知又因為

，而且EO＝

BC＝1，初步應用例2

如圖所示三棱錐S－ABC中，面SAC⊥面ABC，SA＝SC＝

，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，求二面角S－AB－C的大小．ACSBOE

知∠SEO＝60°，即此時所求的二面角的大小為60°．

初步應用注意（1）畫圖過程中要充分借助題目中的“等長”條件，構造等腰三角形的底邊中點，進而應用等腰三角形的“三線合一”結論；（2）對作出的二面角的平面角要證明是所要求的二面角的平面角；（3）注重推理的邏輯性及格式、步驟的規范與完整．歸納小結問題5

什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？平面內的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每部分都稱為一個半平面．從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面．如圖所示，在二面角α－l－β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小來度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特別地，平面角是直角的二面角稱為直二面角．作業布置作業：教科書第52頁練習A1，2題．1目標檢測C解析：易知∠A1BA為二面角A1

－BC－A的平面角，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BC－A的余弦值為（）A．B．C．D．cos∠A1BA2目標檢測解析：過A作AO⊥BD，交BD于O，連接PO，已知矩形ABCD的兩邊AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝

，則二面角A－BD－P的正切值為________．O∵矩形ABCD的兩邊AB＝3，AD＝4，∴∠POA是二面角A－BD－P的平面角，PA⊥平面ABCD，且PA＝∴BD＝

＝5，PO⊥BD，∵

×BD×AO＝

×AB×AD，∴AO＝

∴二面角A－BD－P的正切值為

．∴tan∠POA＝

3目標檢測解析：

如圖取BC的中點為E，連接AE，DE，已知△ABC和△BCD均為邊長為a的等邊三角形，且AD＝