學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精安慶一中2019～2020學年度第一學期高二年級期末考試數學學科（理科）考試試卷一、選擇題：本大題共12小題,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1。下列四個數中數值最小的是（)A。 B.16 C。 D.【答案】D【解析】【分析】先把每一個選項的數字轉化成十進制，再比較大小得解.【詳解】因為，，，所以四個數中數值最小的是。故選D【點睛】本題主要考查各種進制和十進制之間的轉化,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2.在中，“”是“”的（)A.充分不必要條件 B。必要不充分條件C.充要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】構造等邊等角，利用三邊關系等進行判斷即可．【詳解】當時，如圖：

在上截取，則，

∵，，∴,即；

當時，如圖：

在內部作，則。

根據三邊關系:，所以,即．故“”是“”的充要條件．故選：C?！军c睛】本題考查充要條件，涉及三角形三邊關系等知識點,屬于基礎題．判斷充要條件的方法是：

①若為真命題且為假命題，則命題是命題的充分不必要條件；

②若為假命題且為真命題，則命題是命題的必要不充分條件；

③若為真命題且為真命題,則命題是命題的充要條件；

④若為假命題且為假命題，則命題是命題的即不充分也不必要條件.3。某校從高一（1)班和(2）班某次數學考試(試卷滿分為100分)的成績中各隨機抽取了6份數學成績組成一個樣本，如莖葉圖所示.若分別從（1）班、（2)班的樣本中各取一份，則(2)班成績更好的概率為（）A。 B. C. D。【答案】C【解析】【分析】由題意從（1）班、(2）班的樣本中各取一份,（2）班成績更好即(2)班成績比(1）班成績高，用列舉法列出所有可能結果，由此計算出概率．【詳解】根據題意，兩次取出的成績一共有36種情況;分別為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、滿足條件的有18種，故，故選【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4。已知與之間的一組數據：01231357則與的線性回歸方程必過A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出x的平均值，y的平均值,回歸直線方程一定過樣本的中心點（，），代入可得答案．【詳解】解：回歸直線方程一定過樣本的中心點（，）,，∴樣本中心點是（1。5，4）,則y與x的線性回歸方程y＝bx+a必過點（1.5，4)，故選B．【點睛】本題考查平均值的計算方法，回歸直線的性質:回歸直線方程一定過樣本的中心點(,)．5。從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球,那么互斥而不對立的兩個事件是（）A?！爸辽儆?個白球”和“都是紅球”B。“至少有2個白球”和“至多有1個紅球”C.“恰有1個白球"和“恰有2個白球”D。“至多有1個白球”和“都是紅球”【答案】C【解析】【分析】結合互斥事件與對立事件的概念,對選項逐個分析可選出答案.【詳解】對于選項A，“至少有1個白球”和“都是紅球”是對立事件，不符合題意；對于選項B,“至少有2個白球”表示取出2個球都是白色的，而“至多有1個紅球”表示取出的球1個紅球1個白球,或者2個都是白球，二者不是互斥事件，不符合題意；對于選項C，“恰有1個白球"表示取出2個球1個紅球1個白球，與“恰有2個白球”是互斥而不對立的兩個事件，符合題意;對于選項D,“至多有1個白球”表示取出的2個球1個紅球1個白球，或者2個都是紅球，與“都是紅球"不是互斥事件,不符合題意.故選C。【點睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運用,考查了學生對知識的理解和掌握，屬于基礎題.6。過點P(3，﹣4)作圓（x﹣1)2+y2＝2的切線，切點分別為A，B,則直線AB的方程為（）A.x+2y﹣2＝0 B.x﹣2y﹣1＝0 C.x﹣2y﹣2＝0 D。x+2y+2＝0【答案】C【解析】【分析】畫出圖象，以P為圓心，以PB長度為半徑可得到圓P，則圓（x﹣1)2+y2＝2與圓P的公共弦所在直線即為直線AB，利用兩點間的距離公式和勾股定理可求出圓P的方程，然后兩個方程相減即可得到直線AB的方程.【詳解】如圖，圓P為以P為圓心，以PB長度為半徑的圓，則圓（x﹣1）2+y2＝2與圓P的公共弦所在直線即為直線AB,在中,，則，所以圓P的方程為:，又圓C的方程為：（x﹣1）2+y2＝2，以上兩個等式相減可得，，化簡得，。故選:C?！军c睛】本題考查直線與圓的位置關系以及兩圓的公共弦問題，著重考查學生數形結合的思想和轉化問題的能力，屬中檔題.7.若向量與向量的夾角的余弦值為，則A.0 B。1 C。 D.2【答案】A【解析】【分析】利用空間向量夾角余弦公式直接求解．【詳解】向量0，與向量1，的夾角的余弦值為，,解得．故選A．【點睛】本題考查實數值的求法，考查空間向量夾角余弦公式等基礎知識，考查運算求解能力,是基礎題．8.已知點在圓外，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】圓，配方為：，解得m的范圍并可得圓心，半徑，由于點在圓外,可得，即可得出結果．【詳解】圓，配方為：,解得．由圓的方程可得圓心,半徑．點在圓外，，解得．故選：B．【點睛】本題考查了圓的方程、兩點之間的距離公式、不等式的解法、配方法，考查了推理能力與計算能力，屬中檔題．9。曲線與直線有兩個不同交點，實數的取值范圍是（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由曲線方程可知曲線為以為圓心,為半徑的圓的的部分，又直線恒過，由數形結合可確定臨界狀態(tài)，分別利用圓的切線的求解和兩點連線斜率公式求得臨界狀態(tài)時的取值，進而得到結果?！驹斀狻靠苫癁榍€表示以為圓心，為半徑的圓的的部分又直線恒過定點可得圖象如下圖所示：當直線為圓的切線時，可得，解得:當直線過點時，由圖象可知，當與曲線有兩個不同交點時,故選【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠明確曲線所表示的圖形和直線恒過的定點，利用數形結合的方式得到臨界狀態(tài),進而利用直線與圓的知識來進行求解.10。已知雙曲線1（a＞0,b＞0）的漸近線被圓C:x2+y2﹣12x＝0截得的弦長為8，雙曲線的右焦點為C的圓心，則該雙曲線的方程為(）A。 B。C. D。【答案】B【解析】【分析】求得數顯的漸近線的方程，以及圓的圓心和半徑,運用直線和圓相交的弦長公式,以及點到直線的距離公式可得的關系式，由題意可得，再由的關系可得，即可求得雙曲線的方程，得到答案?！驹斀狻侩p曲線的漸近線方程為，圓的圓心,半徑，見解析被圓截得的弦長為8，可得，解得,即，雙曲線的焦點為的圓心，即，則，，可得雙曲線方程為。故選B?！军c睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其幾何性質的應用,同時考查了直線與圓的位置關系的應用，著重考查了方程思想和運算能力,屬于基礎題.11.已知分別為橢圓的左右焦點,為橢圓上的點，為坐標原點，且，，則該橢圓的離心率為（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據橢圓的定義和勾股定理計算PF1?PF2,再結合三角形的面積即可求出b的值．【詳解】設PF1＝m，PF2＝n，則由橢圓的性質可得m+n＝2a，且m=3n故，由勾股定理可得m2+n2＝4c2，故故故選：B．【點睛】本題考查了橢圓的定義和簡單性質，考查離心率求解，屬于中檔題．12.已知橢圓，三角形的三個頂點都在橢圓上,設它的三邊中點分別為，且三邊所在直線的斜率分別為（均不為0），為坐標原點，若直線的斜率之和為1，則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】設出ABC的坐標，通過平方差法轉化求解斜率可得，同理可得,，然后推出結果即可.【詳解】由題意知:，設，，，則：,，兩式作差得，則，,同理可得，；所以，故選:A?！军c睛】本題主要考查橢圓的簡單性質的應用,考查轉化思想以及計算能力和整體代換的思想，屬于中檔題。二、填空題13。已知拋物線:焦點為，是拋物線上一點且點在第一象限，若,則點的坐標為__________．【答案】（3，2）【解析】【分析】先設出該點的坐標，根據拋物線的定義可知該點到準線的距離與其到焦點的距離相等，進而利用點到直線的距離求得x的值，代入拋物線方程求得y.【詳解】設該點坐標為（x，y)根據拋物線定義可知x+2＝5，解得x＝3，代入拋物線方程求得y＝±2，∵P在第一象限，∴P(3,2）．故答案為（3，2)．【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質．在涉及焦點弦和關于焦點的問題時常用拋物線的定義來解決。14.平面α的法向量=(x,1,—2),平面β的法向量=,已知α∥β,則x+y=______?！敬鸢浮俊窘馕觥糠治觥坑搔痢桅?，可得∥．利用向量共線定理即可得出．【詳解】因為α∥β，所以u∥v.則,即故x+y=。【點睛】本題考查了空間面面平行與法向量的關系、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15。已知菱形ABCD的邊長為4，,若在菱形內任取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離大于1的概率______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥苛庑蜛BCD內部,到頂點距離為1的點在以四個頂點為圓心的四個扇形內，這四個扇形合起來是一個圓，由此可求得所在區(qū)域面積．再計算出菱形面積后可得概率．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查幾何概型,解題關鍵是把四個扇形合成一個圓．從而可求得面積，求得概率．16。已知點是拋物線的準線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上的點,且，若雙曲線C中心在原點，F(xiàn)是它的一個焦點，且過P點，當m取最小值時，雙曲線C的離心率為______.【答案】【解析】【分析】由點坐標可確定拋物線方程，由此得到坐標和準線方程；過作準線的垂線，垂足為,根據拋物線定義可得，可知當直線與拋物線相切時,取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標,根據雙曲線定義得到實軸長,結合焦距可求得所求的離心率?！驹斀狻渴菕佄锞€準線上一點拋物線方程為，準線方程為過作準線的垂線,垂足為，則設直線的傾斜角為，則當取得最小值時，最小，此時直線與拋物線相切設直線的方程為,代入得：，解得：或雙曲線的實軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為：【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當取得最小值時，直線與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得點坐標。三、解答題17。已知圓及直線：。(1）證明:不論取什么實數,直線與圓C總相交;（2)求直線被圓C截得的弦長的最小值及此時的直線方程。【答案】（1)證明見解析;(2），.【解析】【分析】（1）根據直線過的定點在圓內,得出直線與圓總相交．

(2）作圖分析出當直線與半徑CM垂直與點M時｜AB｜最短，利用勾股定理求出此時|AB|的長，再運用兩直線垂直時斜率相乘等于?1，求出此時直線的方程．【詳解】解：(1)證明：直線的方程可化為，由方程組，解得所以直線過定點M(3，1)，圓C化為標準方程為,所以圓心坐標為（1，2),半徑為5，因為定點M（3，1)到圓心(1,2)的距離為√，所以定點M(3，1)在圓內，故不論m取什么實數，過定點M（3，1)的直線與圓C總相交;（2)設直線與圓交于A、B兩點，當直線與半徑CM垂直與點M時，直線被截得的弦長|AB｜最短，此時，此時，所以直線AB的方程為,即.故直線被圓C截得的弦長的最小值為,此時的直線的方程為?！军c睛】本題主要考查直線和圓的位置關系，當直線與半徑CM垂直于點M時|AB|最短是解題的關鍵,是中檔題．18。某校命制了一套調查問卷（試卷滿分均為100分),并對整個學校的學生進行了測試.現(xiàn)從這些學生的成績中隨機抽取了50名學生的成績，按照分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于50分）.（1）求頻率分布直方圖中x的值,并估計所抽取的50名學生成績的平均數、中位數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表);（2）用樣本估計總體，若該校共有2000名學生，試估計該校這次測試成績不低于70分的人數；（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人，試求成績在的學生至少有1人被抽到的概率。【答案】（1），74，；（2）1200;（3）.【解析】【分析】（1）根據頻率和為可求得第第組的頻率，由此求得的值；根據頻率分布直方圖中平均數和中位數的估計方法可計算得到結果；（2）計算得到名學生中成績不低于分的頻率，根據樣本估計總體的方法，利用總數頻率可得所求人數;(3)根據分層抽樣原則確定、和種分別抽取的人數，采用列舉法列出所有結果，從而可知成績在的學生沒人被抽到的概率；根據對立事件概率公式可求得結果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第組的頻率為：估計所抽取的名學生成績的平均數為：由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為中位數在第組中設中位數為,則有：，解得：即所求的中位數為(2)由（1)知：名學生中成績不低于分的頻率為:用樣本估計總體，可以估計高三年級名學生中成績不低于分的人數為：(3）由（1）可知，后三組中的人數分別為,，這三組中所抽取的人數分別為，,記成績在的名學生分別為,成績在的名學生分別為,成績在的名學生為，則從中隨機抽取人的所有可能結果為：,，,，，，，,，，，，,，,，，,，,共種其中成績在的學生沒人被抽到的可能結果為，只有種，故成績在的學生至少有人被抽到的概率：【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻率、頻數、估計平均數、中位數的問題，分層抽樣、古典概型概率問題的求解;考查學生對于統(tǒng)計和概率部分知識的綜合掌握情況，屬于常考題型。19.已知p：，q：.其中。（1）已知,若為真,求的取值范圍;(2）若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍。【答案】（1）；（2).【解析】【分析】根據一元二次不等式的解法分別求得；（1）根據復合命題真假性可知均為真，由此可得范圍;（2）由與關系可知是的充分不必要條件，由推出關系可構造不等式組,解不等式組求得結果?！驹斀狻坑傻茫河汕业茫海?）當時，為真都為真,即的取值范圍為（2）是的充分不必要條件是的充分不必要條件，,解得:實數的取值范圍為【點睛】本題考查根據復合命題真假性、充分條件與必要條件求解參數范圍的問題，涉及到一元二次不等式的求解；關鍵是能夠通過復合命題真假性得到兩個命題的真假性，根據充分條件與必要條件得到推出關系.20。如圖,在正四棱柱中，,,點E在上，且.（1）求異面直線與所成角的正切值：（2）求證：平面DBE；（3）求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?）;（2）證明見解析；（3)?！窘馕觥俊痉治觥浚?)根據可知即為所求異面直線所成角，根據直角三角形中的長度關系可求得結果;（2）以為原點建立空間直角坐標系，根據數量積的坐標運算可證得，,由線面垂直判定定理可證得結論;（3）由（2）知為平面的一個法向量,求得平面的法向量后，可根據向量夾角公式求得，由二面角的大小可確定最終的余弦值.【詳解】（1）即為異面直線與所成角在中，，即異面直線與所成角的正切值為（2）以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系則,，，，，,，，又,平面平面（3）由（2）知:向量為平面的一個法向量設平面的法向量則，令,則，二面角為銳二面角二面角的余弦值為【點睛】本題考查立體幾何中異面直線所成角的求解、線面垂直關系的證明、空間向量法求解二面角的問題；關鍵是熟練掌握空間向量法求解立體幾何中角度問題的方法，屬于常考題型.21.設為坐標原點，橢圓的焦距為，離心率