專題20計數原理計數問題是中學數學中最具挑戰性的問題之一。計數原理包括分類加法計數原理和分布乘法計數原理、排列與組合、二項式定理等。在中學數學中，因為其知識相對獨立、思維相對獨特，所以對不少學生來說是較為困難的內容之一。從歷年高考數學試題來看，本專題的考查通常有以下3個特點：有一定實際背景的計數問題、與古典概型相結合的計數問題、有關二項式定理的簡單計算問題，通常以選擇題或填空題的形式出現。本專題的計數問題是中學數學中最具挑戰性的問題之一。計數原理包括分類加法計數原理和分布乘法計數原理、排列與組合、二項式定理等。在中學數學中，因為其知識相對獨立、思維相對獨特，所以對不少學生來說是較為困難的內容之一。從歷年高考數學試題來看，本專題的考查通常有以下3個特點：有一定實際背景的計數問題、與古典概型相結合的計數問題、有關二項式定理的簡單計算問題，通常以選擇題或填空題的形式出現。本專題的排列、組合的問題,首先要把握問題的實質,分清是排列問題、組合問題還是綜合性問題,分清分類與分步的標準和方式,并且要遵循兩個原則,即按元素的性質進行分類、按事情發生的過程進行分步，熟悉排雷組合中的常見模型，如例1，練12，13中的分組分配問題模型，練14中的超幾何分布模型等。二項式定理問題主要考查二項展開式的項或項的系數、二項式系數、二項式系數和，另外整除與余數問題，有時也會利用二項式定理進行求解，如練24.——合肥八中高級教師方旭探究1：排列與組合問題【典例剖析】例1.(2022·河北省保定市模擬)2022年北京冬奧會的某滑雪項目中有三個不同的運動員服務點，現需將10名志愿者分配到這三個運動員服務點處，每處需要至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法一共有

種．選題意圖:選題意圖:計數原理是高考的重要內容之一，問題具有類型多、方法多、變化多等特點，涉及兩種計數原理、排列組合的綜合應用.例1難度一般，但綜合分類、分步計數原理、分組分配問題，幫助梳理思路.思維引導：本題的解題思路是先分組再分配，但分組時要考慮所有可能的分組情況，且在計算時注意部分均分問題，避免重復計數.【解析】根據題意，分2步進行分析：=1\*GB3①將10名志愿者分為3組，若分為2、4、4的三組，有C104C64C22A22種分組方法，

若分為3、3=2\*GB3②將分好的三組安排到三個運動員服務點，有A33種安排方法，

則有(C104C6【變式訓練】練11(2022·湖南省衡陽市模擬)2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節氣的方式開始倒計時創意新穎，驚破了全球觀眾，衡陽市某中學力了弘揚我國二十四節氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種??(

)A.192 B.240 C.120 D.288【解析】由題意，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到A2當“立春”和“驚蟄”和“清明”均相鄰時，只有2種排法，即“驚蟄”在中間，“立春”“清明”分布兩側，此時再用捆綁法，將三者捆在一起即2A所以最終滿足題意的排法為240-48=192．

故選A．練12(2022·江蘇省南京市·多選)把A，B等6本不同的書全部分給3人，則下列正確的是(

)A.共有216種不同的分法

B.若把6本不同的書平均分成三組，則有15種不同的分組方法

C.若恰有一人沒有分到書，則有186種不同的分法

D.若每人至少一本，且A，B分給同一人，則有150種不同的分法【解析】由題意，6本書分給3個人，每本書有3種分法，

從而共有36=729種不同的分法，從而A錯誤；

若將6本不同的書平均分為三組，從而共有C62C42C22A33=15種不同的分法，從而B正確；

從3人中選1人不分到書有C31種選法，

則其余2人共有26種分法，其中有2種會出現1人無書的情況，

從而，其余2人每人都分到書的分法有26-2=62種，

故共有C3練13(2022·江蘇省常州市月考)現有5名師范大學畢業生主動要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每個學校至少去1人，則恰好有2名大學生分配到甲校的概率為

．【解析】按1+1+3分組：C53=10種，從而有C53×A33=60;

按1+2+2分組：C52練14(2022·河北省月考)在一個密閉的箱子中，一共有20個大小、質量、體積等完全相同的20個小球，其中有n個黃球，其余全為藍球，從這一個密閉的箱子中一次性任取5個小球，將“恰好含有兩個黃球”的概率記為f(n)，則當n=

時，f(n)取得最大值．【解析】根據題意可得f(n)=Cn2C20-n3C205，其中2≤n≤17，n∈N*，

f(n)取得最大值，也即是Cn2C20-n3取最大，

設g(n)=Cn2C20-n3，2≤n≤17，n∈N*，

則g(n+1)-g(n)=【規律方法】對于排列、組合的問題,首先要把握問題的實質,分清是排列問題、組合問題還是綜合性問題,分清分類與分步的標準和方式,并且要遵循兩個原則,即按元素的性質進行分類、按事情發生的過程進行分步.探究一重點說明排列組合的綜合應用中常見問題：1.相鄰與相間問題=1\*GB3①捆綁法：對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個“大元素”與其他元素排列，然后再對相鄰元素內部進行排列．=2\*GB3②插空法：對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可．2.分組與分配問題：解決這類問題常用的思路是先分組后分配，即把n個不同元素先按照某些條件分成k個組，再分配給k個不同的對象.其中分組問題，有①整體均分問題、②部分均分問題、③不等分問題，只要有一些組中元素的個數相等，就存在均分問題，在遇到均勻分組時，注意不要重復計數.①整體均分問題：分組后不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Akk(k為均分的組數)，避免重復計數，再分配給k②部分均分問題：分成的k個組中若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數③不等分問題：只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數.3.定序問題除法處理：對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列數除以這幾個元素的全排列數．4.隔板法：n個相同小球放入mm≤n個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結點剪成m段（插入m-1塊隔板），有Cn-15.正難則反,等價轉化：當從正面考慮情況復雜，可考慮從反面入手，將其等價轉化為一個較簡單的問題來處理．即采用先求總的排列數(或組合數)，再減去不符合要求的排列數(或組合數)，從而使問題獲得解決的方法.探究2：二項式定理【典例剖析】例2.(2021·江蘇省南京市聯考·多選)在(2x-1x)n的展開式中，各項系數與二項式系數之和為65，則下列結論正確的是A.n=6 B.各項系數的絕對值之和為729

C.系數最大項為240x3 D.有理項有選題意圖選題意圖：二項式定理是高中數學的重要內容，題型多為選擇題、填空題，考查展開式的項或項的系數、二項式系數、二項式系數和，整除與余數問題，有時也會在不等式證明問題中出現.例2綜合了多個二項式定理的知識點，幫助鞏固.思維引導：由項的系數與二項式系數和求得n=6;利用二項展開式的通項公式，及系數和等知識逐個判斷.【解析】由題意可得1+2n=65，解得n=6，故A正確；

故(2x-1x)6各項系數的絕對值之和為C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C6521+C6【變式訓練】練21(2022·安徽省亳州市期末)已知a>0，若(x+9x2)6與(A.1 B.3 C.3 D.9【解析】(x+9x2)6的通項為Tr+1=C6rx6-r9x2r=C6r·9rx6-3r，r=0，1，2，?，6練22(2022·湖南省期中)已知Cn3=Cn6，設A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】已知Cn3=Cn6，故n=9，

(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2練23(2022·福建省模擬)若2-x3x6+1x【解析】

因為2-x所以(x6+而(x6+=1\*GB3①若(x6+1xx)n的展開式中有常數項，則6n-152r=0，即=2\*GB3②若(x6+1xx)n的展開式中有1x3項，則6n-152所以n的最小值為2．故答案為2．練24(2021·山東省濰坊市模擬)若3x+22020=a1+a3+a【解析】在已知等式中，取x=1得a0+a1+a2+?+【規律方法】二項式定理的考查多以選擇題和填空題的形式出現,難度基礎或中等,主要體現在以下方面：1.應用通項公式：a+bn的通項公式是Tn+1=Cnkan-kbk(其中k≤n,k∈N,2.二項式系數與各項的系數和問題：涉及二項式系數和與系數和、展開式的逆應用、求解幾個二項式和（或差）的相關問題.=1\*GB2⑴展開式的各二項式系數和：Cn0+Cn