基于world-es方法的捷聯(lián)慣組測(cè)試數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性研究

常規(guī)聯(lián)合組已廣泛應(yīng)用于航空航天和航空航天領(lǐng)域。由于捷聯(lián)慣組的壽命有限、測(cè)試程序復(fù)雜、得到的測(cè)試信息有限,給統(tǒng)計(jì)推斷帶來(lái)一定的困難,經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)分析方法無(wú)法滿足分析的要求。Bayes方法能充分利用現(xiàn)有信息,解決在小樣本條件下驗(yàn)前分布的確定問(wèn)題,為后續(xù)的建模補(bǔ)償工作提供基礎(chǔ),以獲得對(duì)問(wèn)題的最終認(rèn)識(shí)。設(shè)θ為總體分布參數(shù),Bayes方法認(rèn)為θ為隨機(jī)變量。驗(yàn)前信息以驗(yàn)前分布的形式表示,記驗(yàn)前密度函數(shù)為π(θ),觀測(cè)信息X提供現(xiàn)場(chǎng)信息,用似然函數(shù)f(X|θ)來(lái)表示,此時(shí)根據(jù)Bayes定理得到θ的驗(yàn)后分布為π(θ|X)=f(X|θ)π(θ)∫Θf(X|θ)π(θ)dθ,(1)其中:Θ為參數(shù)空間。研究表明,捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)樣本的總體參數(shù)也可以被認(rèn)為是隨機(jī)變量,如果想要充分了解捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性,就首先要了解其參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性。1確認(rèn)前后分布和后續(xù)分布的確定1.1密度函數(shù)的驗(yàn)前估計(jì)如果可以提供關(guān)于θ的歷史數(shù)據(jù),那么θ的分布可以確定。但是,知道θ的過(guò)去數(shù)據(jù)這種情況很少,更多的情況是只知道X過(guò)去的數(shù)據(jù)x1,…,xn,只能通過(guò)X的歷史數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)θ的驗(yàn)前分布。但必須先知道θ的驗(yàn)前分布的形式,當(dāng)θ的驗(yàn)前分布的形式為已知時(shí),利用X的歷史數(shù)據(jù)x1,…,xn來(lái)估計(jì)出m(X)的各階矩,然后再去估計(jì)θ的驗(yàn)前分布中的參數(shù)。由于捷聯(lián)慣組的性能相對(duì)比較穩(wěn)定,歷次測(cè)試結(jié)果一般都符合正態(tài)分布,所以合理假設(shè)θ的驗(yàn)前分布為正態(tài)分布N(μ,τ2),其中μ,τ未知。定理設(shè)X～N(θ,σ2)分布,其中σ2已知。令μf(θ),σ2f(θ)為X的條件均值和條件方差(即對(duì)應(yīng)于密度函數(shù)f(X|θ)的均值和方差)。記μm,σ2m為X的邊緣密度m(X)的均值和方差。假定這些量都存在,則有μm=Eπ[μf(θ)],(2)σ2m=Eπ[σ2f(θ)]+Eπ[(μf(θ)-μm)2].(3)推論1)如果μf(θ)=θ,則μπ=μm,(4)式中:μπ=Eπ(θ)為θ的驗(yàn)前均值。2)如果μf(θ)=θ,σ2f(θ)=σ2(即它為不依賴(lài)于θ的常數(shù)),則σ2π=σ2m-σ2.(5)式中:σ2π為驗(yàn)前方差。而μm,σ2m的估計(jì)分別為故有這樣,θ的驗(yàn)前分布為Ν(ˉX,S2-σ2).1.2樣本x與參數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)設(shè)x1,…,xn是來(lái)自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個(gè)樣本觀察值,其中σ2已知。此樣本的似然函數(shù)為由于已知θ的先驗(yàn)分布為正態(tài)分布N(μ,τ2),π(θ)=(1/√2πτ)exp{-(θ-μ)2/2τ2}?-∞＜θ＜+∞?(9)式中:μ與τ2為已知,由此可以寫(xiě)出樣本x與參數(shù)θ的聯(lián)合密度函數(shù)式中:k1=(2π)-(n+1)/2τ-1σ-n;ˉx=n∑i=1xi/n.若再記σ20=σ2/n,A=1/σ20+1/τ2,B=ˉx/σ20+μ/τ2?C=(1/σ2)n∑i=1x2i+μ2/τ2?則有h(x|θ)=k1exp{(-1/2)[Aθ2-2θB+C]}=k2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)},(11)其中k2=k1exp{(-1/2)(C-B2/A)}.由此容易計(jì)算出樣本x的邊緣分布m(x)=∫+∞-∞h(x,θ)dθ=k2(2π/A)1/2.(12)則θ的后驗(yàn)分布為π(θ|x)=(2π/A)1/2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)}.(13)這也是一正態(tài)分布,其均值和方差分別為這說(shuō)明了正態(tài)均值(方差已知)的共軛先驗(yàn)分布是正態(tài)分布。2的估計(jì)和的貝葉斯估計(jì)未知參數(shù)θ的后驗(yàn)分布π(θ|x)是集3種信息(總體,樣本和先驗(yàn))于一身,它包含了θ的所有可供利用的信息,所以有關(guān)θ的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷都按一定方式從后驗(yàn)分布中提取信息。θ的貝葉斯估計(jì)為式中:ˉx=n∑i=1xin;σ2為樣本總體方差;μ為先驗(yàn)均值;τ2為先驗(yàn)方差;是先驗(yàn)均值與樣本均值的加權(quán)平均。3錯(cuò)誤的檢測(cè)3.1貝葉斯因子的確定設(shè)x1,…,xn是來(lái)自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個(gè)樣本觀察值,其中σ2已知。又設(shè)諸xi相互獨(dú)立同分布(這一假設(shè)是合理的,同一套捷聯(lián)慣組的歷次測(cè)試數(shù)據(jù)是經(jīng)過(guò)每次獨(dú)立測(cè)試得到的,可以看成是相互獨(dú)立同分布),則樣本均值Xˉ～Ν(θ?σ2/n),要求檢驗(yàn)假設(shè):H0∶θ=θ0,H1∶θ≠θ0.對(duì)簡(jiǎn)單假設(shè)H0∶θ=θ0作貝葉斯檢驗(yàn)時(shí)不能采用連續(xù)密度函數(shù)作為先驗(yàn)分布,因?yàn)槿魏芜@種先驗(yàn)將給θ=θ0的先驗(yàn)概率為零,從而后驗(yàn)概率也為零,所以一個(gè)有效的方法是假定θ0的驗(yàn)前概率為π0,而對(duì)θ≠θ0,給一個(gè)加權(quán)的密度π1g1(θ),g1(θ)～N(μ,ν2).則有考慮到g1(θ)是連續(xù)密度函數(shù),點(diǎn)θ=θ0在積分中沒(méi)有影響,由此可算得Xˉ對(duì)g1(θ)的邊緣密度函數(shù)為其中:n(xˉ-θ)2σ2+(θ-μ)2ν2=1σ2ν2[ν2n(xˉ-θ)2+σ2(θ-μ)2]=1σ2ν2nν2+σ2θ-nν2xˉ+μσ2nν2+σ22+(xˉ-μ)2ν2+σ2/n.利用正態(tài)分布的正則性,可得這表明Xˉ對(duì)g1(θ)的邊緣分布為正態(tài)分布N(μ,ν2+σ2/n).則貝葉斯因子為3.2+2e土壤中n2+2e2,2e對(duì)H1∶θ≠θ0上的先驗(yàn)密度g1(θ)的一般看法是:參數(shù)θ接近于θ0比遠(yuǎn)離θ0更為可能,所以一般取μ=θ0,則有Bπ(xˉ)=nν2+σ2σexp-(xˉ-θ0)22σ2(ν2n+σ2n2),(22)ν2一般可以取2σ2,則進(jìn)一步有Bπ(xˉ)=2n+1exp-(xˉθ0)22σ4(2n+1n2).(23)4實(shí)際檢測(cè)結(jié)果由于每一套慣組的測(cè)試次數(shù)極為有限,所以就單套慣組來(lái)講很難有足夠的先驗(yàn)信息來(lái)確定出驗(yàn)前分布參數(shù)。但是研究發(fā)現(xiàn),一般同一廠家在同一時(shí)期會(huì)成批成組地生產(chǎn)多套慣組,由于其生產(chǎn)原料,生產(chǎn)工藝,生產(chǎn)程序,生產(chǎn)環(huán)境相同,它們的性能也比較接近。可以選擇同一批多套慣組的同一誤差系數(shù)的歷次測(cè)試數(shù)據(jù),組成一大樣本,以此作為驗(yàn)前信息來(lái)確定相關(guān)參數(shù)。從理論上講可行合理。某型捷聯(lián)慣組同一批10套慣組的某一誤差系數(shù)D2x(D2x為受視加速度影響的系數(shù),單位為(°)/(h·g))的歷次測(cè)試結(jié)果所得到的驗(yàn)前信息樣本集合如表1中樣本1所示。取檢驗(yàn)水平α=0.05,柯氏檢驗(yàn)法驗(yàn)正了它們服從正態(tài)分布。根據(jù)參考文獻(xiàn),該系數(shù)的準(zhǔn)確性分析標(biāo)準(zhǔn)為:2.7σ≤0.7,即要求兩次測(cè)試結(jié)果極差的2.7倍小于等于0.7,因此可取σ2=0.0672.由式(6)、式(7)可求得θ的驗(yàn)前分布參數(shù)為μ=-1.7927,τ2=0.0376故,θ的驗(yàn)前分布為N(-1.7927,0.0376).已知某捷聯(lián)慣組該誤差系數(shù)的一組觀測(cè)樣本如表1中樣本2所示。同樣,取σ2=0.0672,由式(14)、式(15)可求得θ的驗(yàn)后分布參數(shù)為μ1=-1.8682,τ12=0.0086,故θ的驗(yàn)后分布為N(-1.8682,0.0086).由同一套慣組得到的用于假設(shè)檢驗(yàn)的樣本如表1中樣本3所示。則樣本均值為-1.9178.取θ0=■=-1.8626,σ2=0.0672.由(23)式最終可求得貝葉斯因子為4.3646.所以接受原假設(shè):H0∶θ=θ0.同時(shí)也證明將θ的