教材：5.3.3與5.5節作業：練習4（可全部做完）一、質點系的角動量定理二、質點系的角動量守恒定律三、剛體的轉動定律四、剛體的角動量守恒定律一、質點系的角動量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem質點系的角動量質點系的角動量LSiLirSiimivi各質點對給定參考點的角動量的矢量和慣性系中某給定參考點m12m3mr13r2r3v2vv1O質點系角動量定理質點系的角動量定理LSiLiSirimivi將對時間求導ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri內力矩在求矢量和時成對相消Om12mF1F1內F2內外F2外r12rd某給定參考點Si+iF內外Fi外ririSiMi內+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理稱為微分形式微、積分形式質點系的角動量定理LSiLiSirimivi將對時間求導ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri內力矩在求矢量和時成對相消Om12mF1F1內F2內外F2外r12rd某給定參考點Si+iF內外Fi外ririSiMi內+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理稱為微分形式ddtLSiMi外M質點系的角動量的時間變化率質點受外力矩的矢量和質點系的角動量定理的微分形式質點系所受的0tdtMtdLLL0LL0質點系的沖量矩角動量增量質點系的角動量定理的積分形式

若各質點的速度或所受外力與參考點共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設順時針為正向，用代數和代替矢量和。質點系角動量守恒二、質點系的角動量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0則LL0或L恒矢量當質點系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。隨堂小議（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。兩人質量相等O一人握繩不動一人用力上爬思考可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略小議分析Om12mv12vR同高從靜態開始往上爬忽略輪、繩質量及軸摩擦質點系m12m,若m12m系統受合外力矩為零，角動量守恒。系統的初態角動量系統的末態角動量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強弱，兩人等速上升。若m12m系統受合外力矩不為零，角動量不守恒。可應用質點系角動量定理進行具體分析討論。剛體定軸轉動的轉動定律剛體繞定軸轉動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉軸的轉動慣量成反比三、剛體的轉動定律(Theoremofrotation)證明：由質點系的角動量定理對定軸由得剛體定軸轉動定律對軸的力矩第一項：方向垂直于軸，其效果是改變軸的方位，在定軸問題中，與軸承約束力矩平衡，不影響物體繞軸轉動狀態。第二項：方向平行于軸，其效果是改變物體繞軸轉動狀態，稱為力對軸的矩，在軸上選擇正方向，可以將其表為代數量：討論11、力不在轉動平面內時即：Mz為力對o

點的力矩在z

軸方向的分量注意.力矩求和只能對同一參考點（或軸）進行。矢量和代數和ZMdfO

rd

dm

轉動平面vz2、力在轉動平面內時顯然，只有切向力對Z軸的力矩不為0力矩的大小等于力在作用點的切向分量與力的作用點到轉軸Z的距離的乘積。比較：－矢量式－標量式地位相同剛體定軸轉動問題平動問題是物體轉動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態的原因改變物體繞軸轉動狀態的原因討論2[例]

一定滑輪的質量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規律。已知：求：【思路】1、隔離法分析受力、力矩情況，分別列方程：對質點列牛頓第二定律方程，對剛體列轉動定律方程。2、再按照質點平動與剛體定軸轉動關聯關系列聯系方程。3、聯立各方程求解解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉動定律建立方程。思考：×因為重滑輪加速轉動+O四個未知數：三個方程？以順時針方向為正方向繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：解得：

如圖示，兩物體質量分別為和，滑輪質量為，半徑為。已知與桌面間的滑動摩擦系數為，求下落的加速度和兩段繩中的張力。練習：解：在地面參考系中，選取、和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉動定律得：向里+列方程如下：可求解角動量定理積分形式（有限時間過程）微分形式質點質點系定軸剛體瞬時效應四、剛體的角動量守恒定律1、角動量定理剛體的角動量守恒定律由剛體組定軸轉動的角動量定理由剛體定軸轉動的角動量定理，則若而且若J

不變，則ω不變；若J

變，則ω

也變，但L總不變，則若同一式中，等角量要對同一參考點或同一軸計算。

注意2、角動量守恒定律角動量守恒定律：當作用在剛體（或剛體組系統）上的外力對固定轉軸的合力矩為零時，這剛體（或剛體組系統）對該軸的角動量守恒。角動量守恒的2種情況：①J不變（剛體），角速度ω的大小和方向均不變

②J可變（質點系或者剛體組），ω亦可變，但Jω

乘積的總和即L總不變討論

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律，有很多實例

內力矩不改變系統的角動量.

在沖擊等問題中常量角動量守恒現象舉例適用于一切轉動問題，大至天體，小至粒子...為什么銀河系呈旋臂盤形結構？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？體操運動員的“晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水…...為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？茹科夫斯基凳實驗例如地球所受的力矩近似為零，地球自轉角速度的大小方向均不變。地球赤道平面與黃道平面（公轉軌道）的夾角23?27′保持不變。地球在軌道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的變化。①J不變，角速度ω的大小和方向均不變

例另一類常見現象收臂大小Jw

用外力矩啟動轉盤后撤除外力矩張臂J大小w②J可變，ω亦可變，但Jω

乘積不變茹可夫斯基櫈例張臂Jw大小先使自己轉動起來收臂大小Jw花樣滑冰常見例花樣滑冰忽略腳底摩擦力矩的作用，角動量守恒所以

例跳水、體操運動員（單杠、吊環）完成器械上的操作后落地之前，在空中作空翻動作的基礎是，他們在器械上已有繞自身橫軸的轉動，離開器械以后，若不計空氣阻力矩，這個繞自身橫軸的角動量守恒（重力矩通過身體的質心不能改變身體的轉動狀態）。例雜技（空中飛人）。例在難度較大的動作中，作空翻動作的同時，還要轉體，即繞自身的縱軸側轉，這就比較困難了。一般要在他離開器械的短暫時間內，對器械橫向用力，此力的反作用力對身體縱軸有力矩作用，從而提供初始角動量，這在體操中稱為旋。作這些動作的還有跳水、雜技（空中飛人）。運動員、演員在離開器械時并不施加橫向力，在空中的早期身體不出現旋的動作，而在完成空翻一周、一周半后，才開始進行轉體動作。最難做的旋叫“晚旋”這是怎么轉起來的呢？例南京大學教授梁昆淼：運動員身體左右對稱，作橫翻時橫軸是慣量主軸，角動量、角速度方向一致，無外力矩，角動量守恒。如果這時改變身體左右的對稱性，慣量主軸就改變了。這時雖然角動量不變，但角速度方向變了，在縱軸上出現了非零的分量，這就是繞縱軸作轉體“旋”的角速度。共軸系統若0IMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉臺與人系統I輪I人臺初態全靜LSi初0人沿某一轉向撥動輪子w輪末態w人臺I輪w輪LSi末+I人臺w人臺LSi初0得I人臺w人臺I輪w輪導致人臺反向轉動例直升飛機防止機身旋動的措施例用尾漿用尾漿用兩個對轉的頂漿（并聯式）用兩個對轉的頂漿（串聯式）中子星是由普通恒星塌縮生成的。一個典型的中子星的質量是大概太陽質量的1~2倍，半徑是幾千米，角速率極大，可達幾千弧度每秒。設一顆類似太陽的恒星在塌縮前半徑為1×107m，塌縮后生成的中子星的角速率為103rad/s，請估計塌縮前該星體的角速率。解：普通物理學教案例題

：球體繞直徑軸的轉動慣量為塌縮是由于強大的引力作用（有心力）故，角動量守恒太陽的自轉周期為27天周期約7天一粒子彈水平射入一靜止懸桿的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后棒的角速度

。已知軸處自由。解：普通物理學教案例題

：以f代表桿對子彈的阻力，對子彈有:mvMmv0l子彈對桿的沖量矩為：因

f′=-f

由兩式得另解：取子彈與桿組成的系統作為研究對象角動量守恒得再次見到，用系統的方法處理問題，簡捷明了。

被中香爐慣性導航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術中的應用

回轉體質量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。受合外力矩為零，角動量守恒：LwI恒矢量回轉儀定向原理wI其中轉動慣量為常量若將回轉體轉軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉則轉軸將保持該方向不變而不會受基座改向的影響

注意LwI萬向支架基座回轉體（轉動慣量）Iw

例

一長為l質量為m的勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩定平衡狀態，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成

角時的角加速度和角速度.

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得習題訓練式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得

(1)從開始制動到停止,

飛輪轉過的角度；

(2)閘瓦對飛輪施加的摩擦力矩所作的功。

解：為了求得飛輪從制動到停止所轉過的角度

和摩擦力矩所作的功A,必須先求得摩擦力、摩擦力矩和飛輪的角加速度。

例4：一個轉動慣量為2.5kg

m2、直徑為60cm

的飛輪，正以130rad

s

1

的角速度旋轉。現用閘瓦將其制動,如果閘瓦對飛輪的正壓力為500N,閘瓦與飛輪之間的摩擦系數為0.50。求：d飛輪閘瓦閘瓦對飛輪施加的摩擦力的大小等于摩擦系數與正壓力的乘積

方向如圖所示。摩擦力相對z

軸的力矩就是摩擦力矩,所以摩擦力矩的方向沿z軸的負方向,故取負值。根據轉動定理,可以求得飛輪受到摩擦力矩作用時的角加速度，為

(1)對于勻變速轉動,從開始制動到停止,飛輪轉過的角度

可由下式求得:所以

(2)摩擦力矩所作的功例3

質量很小長度為l

的均勻細桿,可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4

處,并背離點O

向細桿的端點A

爬行.設小蟲與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉動,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?解小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統角動量守恒角動量守恒由角動量定理即考慮到例4

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來.設蹺板是勻質的,長度為l,質量為

,蹺板可繞中部支撐點C

在豎直平面內轉動,演員的質量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M

落在A點的速度碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度把M、N和蹺板作為一個系統,角動量守恒解得演員N以u

起跳,達到的高度ll/2CABMNh【角動量守恒】

一半徑為R、質量為

M的轉臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動,質量為m的人站在轉臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周(不計阻力)，相對于地面，人和臺各轉了多少角度？R思考：1.臺為什么轉動？向什么方向轉動？2.人相對轉臺跑一周，相對于地面是否也跑了一周？3.人和臺相對于地面轉過的角度之間有什么關系？系統對轉軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為t：選地面為參考系，設對轉軸人：J,

;

臺：J′,

′解：R人相對地面轉過的角度：臺相對地面轉過的角度：R【力矩】有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.解設水深h，壩長L，在壩面上取面積元作用在此面積元上的力yOhyxQyOx令大氣壓為，則代入數據，得yOhyx代入數據，得對通過點Q

的軸的力矩yQOhy【轉動定律】

質量為M

的勻質圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣有質量為

m、長為l的勻質柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側繩長差為s

時，繩的加速度的大小。解：在地面參考系中，建立如圖x

坐標，設繩兩端坐標分別為x1，x2，滑輪半徑為r

有：ox1x2sMABrx用隔離法列方程：（以逆時針方向為正）ox1x2sMABrxCACBT1JT2.CAT1mAg.CBT2mBgox1x2sMABrxCACB解得：

例4

質量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒有滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計.問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設它們間的摩擦力矩為ABCABCOO解（1）隔離物體分別