上海市東實驗學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在處取得極值，則（）A. B.C. D.2．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.3．已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線的焦點（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時在軸上 D.當(dāng)時在軸上4．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-15．已知拋物線的焦點為，在拋物線上有一點，滿足，則的中點到軸的距離為（）A. B.C. D.6．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.7．某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間.該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時間是3.5小時.這里的總體是（）A.楊高的全校學(xué)生；B.楊高的全校學(xué)生的平均每天自習(xí)時間；C.所調(diào)查的60名學(xué)生；D.所調(diào)查的60名學(xué)生的平均每天自習(xí)時間.8．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.9．在四面體OABC中，點M在線段OA上，且，N為BC中點，已知，，，則等于（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.1811．如圖，橢圓的右焦點為，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點，點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.12．已知橢圓及以下3個函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.14．已知向量，若，則實數(shù)___________.15．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1上的動點，且AP⊥BD1，記點P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為____________.16．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點向圓C引兩條切線PD，PE，切點分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長19．（12分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點20．（12分）已知圓過點且與圓外切于點，直線將圓分成弧長之比為的兩段圓弧（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的斜率21．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為，長軸長為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點，A為橢圓C的右頂點，直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點（點E，F(xiàn)與點A不重合），且滿足，若點P滿足，求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)極值點處導(dǎo)函數(shù)為零可求解.【詳解】因為，則，由題意可知.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B2、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.3、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進而可判斷出焦點的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點在軸上.故選B.【點睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運用，求解時要注意焦點落在軸或軸的特點，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力4、C【解析】先通過復(fù)數(shù)的除法運算求出z，進而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.5、A【解析】設(shè)點，利用拋物線的定義求出的值，可求得點的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點，易知拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，得，所以，點的橫坐標(biāo)為，故點到軸的距離為.故選：A.6、A【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.7、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間，該教師調(diào)查了60位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時間是3.5小時，這里的總體是全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時間.故選：B.8、B【解析】根據(jù)的三個頂點坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個點坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因為，，所以線段的垂直平分線的方程為．因為，，所以直線的斜率，線段的中點坐標(biāo)為，則線段的垂直平分線的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線方程是，即故選：B.9、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因為N為BC中點，所以,因為M在線段OA上，且，所以，所以，故選：B10、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.11、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點為，連結(jié)，由橢圓的對稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，關(guān)鍵是求解基本量，，.12、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點對稱，因為函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數(shù)在軸右側(cè)時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關(guān)于原點對稱，對于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數(shù)在軸右側(cè)時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對稱性，重點考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.14、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因為向量，且，所以，解得：2故答案為：215、##【解析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及坐標(biāo)的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，，∵，∴，解得，因為，所以c的最大值為，即點P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.16、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）12【解析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，，故n的最小值為1218、（1）（2）或，【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓心在直線上及圓過兩點建立方程求解即可；（2）分切線的斜率存在與不存在分類討論，利用圓心到切線的距離等于半徑求解，再根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)求弦長即可.【小問1詳解】設(shè)圓心，因為圓心C在直線上，所以①因為A，B是圓上的兩點，所以，所以，即②聯(lián)立①②，解得，所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】若過點P的切線斜率不存在，則切線方程為若過點P的切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為，即由，解得，所以切線方程為綜上，過點P的圓C的切線方程為或設(shè)PC與DE交于點F，因為，，PC垂直平分DE，所以，所以所以19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達定理，再寫出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：因為為拋物線C上一點，且，所以到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時，，不妨令，則，此時；當(dāng)時，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過點；綜上，直線DE過定點20、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圓心在軸上，可設(shè)圓心，根據(jù)圓過點、可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，進而可求得圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用幾何關(guān)系可求得圓心到直線的距離為，再利用點到直線的距離公式可求得的值.【小問1詳解】解：圓的圓心為，記點、，直線即為軸，因為圓與圓外切于點，則圓心在軸上，設(shè)圓心，由可得，解得，則圓心，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，直線截圓所得的弦在圓上對應(yīng)的圓心角為，則圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，根據(jù)題意，列出方程，即可求得公差以及通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合等差數(shù)列的前項和的公式，求得，以及，再利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【小問1詳解】因為，所以，故可得，所以.【小問2詳解】因為，所以.于是，令，則.顯然數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比，所以數(shù)列的前n項和.22、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論，當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立直線方程