上海市閔行區市級名校2023-2024學年高二數學第一學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的焦點為，則其標準方程為（）A. B.C. D.2．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內部的概率為（）A. B.C. D.3．某企業為節能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.4．2013年9月7日，總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學發表演講在談到環境保護問題時提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學論新．某市為了改善當地生態環境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態環境建設投資總額大約為（）（其中，，）A.2559萬元 B.2969萬元C.3005萬元 D.3040萬元5．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．設等差數列，的前n項和分別是，，若，則（）A. B.C. D.7．已知數列，，則下列說法正確的是（）A.此數列沒有最大項 B.此數列的最大項是C.此數列沒有最小項 D.此數列的最小項是8．南北朝時期杰出的數學家祖沖之的兒子祖暅在數學上也有很多創造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，現有一個圓柱體和一個長方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為，圓柱體的體積為，根據祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值9．在等比數列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±1210．已知點是橢圓上一點，點，則的最小值為A. B.C. D.11．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.12．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，則其通項公式________14．已知橢圓C：，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則_________.15．已知函數有三個零點，則正實數a的取值范圍為_________16．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點和圓.（1）求圓的圓心坐標和半徑；（2）設為圓上的點，求的取值范圍.18．（12分）點與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數.（1）求動點的軌跡的方程；（2）點在（1）中軌跡上運動軸，為垂足，點滿足，求點軌跡方程.19．（12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）.現用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（生產能力指一天加工的零件數）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如下表1和表2：表1：生產能力分組人數48x53表2：生產能力分組人數6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）②分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人和生產能力的平均數（同一組中的數據用該區間的中點值作代表）圖1A類工人生產能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產能力的頻率分布直方圖20．（12分）已知正項等差數列滿足：，且，，成等比數列（1）求的通項公式；（2）設的前n項和為，且，求的前n項和21．（12分）已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業占有，其中甲廠產品的市場占有率為40％，乙廠產品的市場占有率為36％，丙廠產品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產品的合格率分別為，，（1）現從三家企業的產品中各取一件抽檢，求這三件產品中恰有兩件合格的概率；（2）現從市場中隨機購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？22．（10分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數列，求b的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意設出拋物線的標準方程，再利用焦點為建立，解方程即可.【詳解】由題意，設拋物線標準方程為，所以，解得，所以拋物線標準方程為.故選：D2、D【解析】設圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內部的概率;故選：D3、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數列是以2為首項，2為公差的等差數列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數列在實際問題中的應用，注意根據題設條件概括出數列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.4、B【解析】前7年投入資金可看成首項為160，公差為20的等差數列，后4年投入資金可看成首項為260，公比為1.1的等比數列，分別求和，即可求出所求【詳解】2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，成等差數列，則2020年投入資金萬元，年共7年投資總額為，從2021年開始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2024年投入資金成首項為，公比為1.1，項數為4的等比數列，故從2021年到2024年投入總資金為，故到2024年底該市生態環境建設投資總額大約為萬元故選：5、A【解析】由橢圓標準方程求得，再計算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，根據橢圓標準方程求出即可6、B【解析】利用求解.【詳解】解：因為等差數列，的前n項和分別是，所以.故選：B7、B【解析】令，則，，然后利用函數的知識可得答案.【詳解】令，則，當時，當時，，由雙勾函數的知識可得在上單調遞增，在上單調遞減所以當即時，取得最大值，所以此數列的最大項是，最小項為故選：B8、C【解析】由條件可得長方體的體積為，設長方體的底面相鄰兩邊分別為，根據基本不等式，可求出底面面積的最大值，進而求出高的最小值，得出結論.【詳解】依題意長方體的體積為，設圓柱的高為長方體的底面相鄰兩邊分別為，，當且僅當時，等號成立，.故選:C.【點睛】本題以數學文化為背景，考查基本不等式求最值，要認真審題，理解題意，屬于基礎題.9、D【解析】根據題意，設等比數列的公比為，由等比數列的性質求出，再求出【詳解】根據題意，設等比數列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：10、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.11、A【解析】先根據雙曲線的標準方程，求得其特征參數的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據圓錐曲線的統一定義求解12、B【解析】設，由橢圓的定義及，結合勾股定理求參數m，進而由勾股定理構造橢圓參數的齊次方程求離心率.【詳解】設，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用累加法即可求出數列的通項公式.【詳解】因為，所以，所以，，，…，，把以上個式子相加，得，即，所以.故答案為：.14、【解析】設M,N的中點坐標為P，,則；由于，化簡可得，根據橢圓的定義==6，所以12.考點：1.橢圓的定義；2.兩點距離公式.15、【解析】求導易得函數有兩個極值點和，根據題意，由求解.【詳解】由，可得函數有兩個極值點和，，，若函數有三個零點，必有解得或故答案為：16、【解析】根據投影向量的計算公式，計算出正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓心的坐標為，半徑；（2）【解析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標準方程，可得圓心坐標與半徑；（2）由兩點間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是18、（1）；（2）【解析】（1）根據題意用表示出與，再代入，再化簡即可得出答案。（2）設，利用表示出點，再將點代入橢圓，化簡即可得出答案。【詳解】（1）由題意知，所以化簡得：（2）設，因為，則將代入橢圓得化簡得【點睛】本題考查軌跡方程，一般求某點的軌跡方程，只需要設該點為，利用所給條件建立的關系式，化簡即可。屬于基礎題。19、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見解析，B類②123，133.8，131.1【解析】（1）先計算抽樣比為，進而可得各層抽取人數（2）①類、類工人人數之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更小②取每個小矩形的橫坐標的中點乘以對應矩形的面積相加即得平均數.【詳解】（1）由已知可得：抽樣比，故類工人中應抽取：人，類工人中應抽取：人，（2）①由題意知，得，，得滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更小②，類工人生產能力的平均數，類工人生產能力的平均數以及全工廠工人生產能力的平均數的估計值分別為123，133.8和131.1【點睛】本題考查等可能事件、相互獨立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數等知識、考查運算能力20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數列的通項公式結合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.【小問1詳解】設等差數列公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數列，則，即，將代入上式得，化簡得，解得或－2（舍去），則，所以【小問2詳解】∵，當時，，當時，，符合上式，則，所以，令，則，，∴，化簡得綜上，的前n項和21、（1）（2）【解析】（1）由相互獨立事件的概率可得；（2）根據各產品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計算可得.【小問1詳解】記隨機抽取甲乙丙三家企業的一件產品，產品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件