專題01集合的基本運(yùn)算考點(diǎn)預(yù)測：1、子集一般地，對于兩個(gè)集合,,如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記為或（）讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.關(guān)于子集有下面的兩個(gè)性質(zhì)：（1）反身性：；（2）傳遞性：如果，且，那么.2、真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記為（或），3、集合的相等如果集合，且，此時(shí)集合與集合的元素是一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為.4、空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規(guī)定空集是任何一個(gè)集合的子集，空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，即（1）（是任意一個(gè)集合）；（2）（）.5、并集自然語言：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為集合與的并集，記作（讀作“并”）.符號語言：.理解：或包括三種情況：且；且；且.并集的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.6、交集自然語言：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作理解：當(dāng)與沒有公共元素時(shí)，不能說與沒有交集，只能說與的交集是.交集的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.7、補(bǔ)集（1）全集的概念：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作.（2）補(bǔ)集的概念自然語言：對于一個(gè)集合，由屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，記為.符號語言：補(bǔ)集的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）.【典型例題】例1．（2022·河南·鄭州市回民高級高一階段練習(xí)）若，，，則這三個(gè)集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個(gè)元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C例2．（2022·河南·高一階段練習(xí)）下列四個(gè)寫法：①；②；③；④.其中正確寫法的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，是集合，也是集合，所以不能用這個(gè)符號，故①錯(cuò)誤；對于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正確；對于③，由集合的無序性可知兩集合是同一個(gè)集合，再由一個(gè)集合的本身是該集合的子集，故③正確；對于④，表示直線，兩者毫無關(guān)聯(lián)，故④錯(cuò)誤；綜上，正確寫法的有2個(gè).故選：B.例3．（多選題）（2022·寧夏·銀川高一階段練習(xí)）已知集合，，集合A與的關(guān)系如圖，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由圖知：，，根據(jù)選項(xiàng)可知或．故選：BD.例4．（2022·河南·鄭州市回民高級高一階段練習(xí)）已知集合，集合(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，且所以，即是方程的根所以，得則所以．（2）因?yàn)?，所以對于方程，①?dāng)即時(shí)，，滿足②當(dāng)即或時(shí)，因?yàn)椋曰蚧虍?dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，無解當(dāng)時(shí)，，無解綜上所述，．例5．（2022·遼寧·新民市第一高級高一期末）已知集合，.(1)求；(2)已知，若，求實(shí)數(shù)的取值集合.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，所以或；?）因?yàn)椋遥佼?dāng)時(shí)，即，解得時(shí)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，所求的集合是或.例6．（2022·湖南·株洲市淥口區(qū)第三高一階段練習(xí)）已知全集，求.【解析】因?yàn)?，所以，或，因?yàn)榛颍曰?例7．（2022·吉林·遼源市田家炳高級中高一階段練習(xí)）已知集合為全體實(shí)數(shù)集，或，.(1)若，求;(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或，又或，所以或；（2）由題可得，當(dāng)時(shí)，則，即時(shí)，此時(shí)滿足，②當(dāng)時(shí)，則，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例8．（2022·湖北·黃梅國際育才高級高一階段練習(xí)）已知集合，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)當(dāng)集合變?yōu)闀r(shí)，求的非空真子集的個(gè)數(shù)(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，由，得，符合題意當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，可得解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，，共有個(gè)元素，所以的非空真子集的個(gè)數(shù)為．（3）當(dāng)時(shí)，由知當(dāng)時(shí)，

可得或解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．例9．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知集合，，其中．(1)若，求，的值；(2)若對，有，求，的取值范圍．【解析】（1）集合，，其中．解得：或．

若，則，

將代入得：，

則．則，則，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，或，．（2）解:若對，有，則，當(dāng)時(shí)，，，，，

或時(shí)，，，；

當(dāng)，即，或時(shí)，則，由（1）得：，；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，對，故成立，

綜上，或或或．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，若，則中所有元素之和為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】若，則，矛盾；若，則，矛盾，故，解得（舍）或，故，元素之和為，故選：C.2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)），對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】，對m分類：（1）時(shí)，恒成立；（2）時(shí)，需要，解得，綜合（1）（2）知，所以，因?yàn)?，所以，故選A.3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，則A∪B中的元素個(gè)數(shù)是A．11 B．10 C．16 D．15【答案】C【解析】由題意可得：,,據(jù)此可得：，則A∪B中的元素個(gè)數(shù)是16.本題選擇C選項(xiàng).4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，若中只有一個(gè)元素，則的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【答案】B【解析】集合中只含有一個(gè)元素，也就意味著方程只有一個(gè)解；（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，只有一個(gè)解；（2）當(dāng)時(shí)，若只有一個(gè)解，只需，即；綜上所述，可知的值為或.故選：B5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故實(shí)數(shù)的取值集合是.故選：C7．（2022·河南·高一階段練習(xí)）設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【解析】依題意，，因此有，所以滿足條件的的個(gè)數(shù)就是集合的子集的個(gè)數(shù)，所以符合條件的集合的個(gè)數(shù)是.故選：B8．（2022·湖北·襄陽高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，若，則的值為（

）A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【答案】B【解析】因?yàn)樗运越獾茫海蛩?，所以，所以解得：或，且解得：且所?故選：B9．（2022·全國·高一單元測試）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【解析】作維恩圖，如圖所示，則周一開車上班的職工人數(shù)為，周二開車上班的職工人數(shù)為，周三開車上班的職工人數(shù)為，這三天都開車上班的職工人數(shù)為x.則，得，得，當(dāng)時(shí)，x取得最大值6.故選：A二、多選題10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法中不正確的是（

）A．集合為無限集B．方程的解構(gòu)成的集合的所有子集共4個(gè)C．D．【答案】ACD【解析】集合，不是無限集，故A中說法不正確；方程的解構(gòu)成的集合為，其所有子集為，，，，共4個(gè)，故B中說法正確；集合的元素為直線上的點(diǎn)，，故，故C中說法不正確；因?yàn)椋?，所以，故D中說法不正確．故選：ACD．11．（2022·遼寧·同澤高中高一開學(xué)考試）設(shè)，．若，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】ACD【解析】由得：,當(dāng)時(shí)，,符合題意；當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則；由于B中至多有一個(gè)元素，故,所以實(shí)數(shù)的值可以為，故選：ACD12．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知I為全集，若，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，所以；故選：BC13．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)集合，，則下列選項(xiàng)中，滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（）A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}【答案】CD【解析】∵集合，滿足，∴或，解得或．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．故選：CD．三、填空題14．（2022·寧夏·銀川三沙源上游高一階段練習(xí)）已知若，求實(shí)數(shù)a的值_____【答案】1或4【解析】因?yàn)椋?，所以，或，或，或，?dāng)時(shí)，，無解，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，無解，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，或，故答案為：1或415．（2022·江蘇省如皋高一開學(xué)考試）已知集合M滿足，則滿足條件的集合有________個(gè).【答案】15【解析】因?yàn)?，所以中含有元?，2，且M是真子集，所以M可以是集合與集合的子集的并集，且不能為，所以M共有個(gè)，故答案為：15.16．（2022·河南·高一階段練習(xí)）某舉辦運(yùn)動(dòng)會，比賽項(xiàng)目包括田徑、游泳、球類，經(jīng)統(tǒng)計(jì)高一年級有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽，有人參加球類比賽.參加球類比賽的同學(xué)中有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽；同時(shí)參加田徑比賽和游泳比賽的有人；同時(shí)參加三項(xiàng)比賽的有人.則高一年級參加比賽的同學(xué)有___________.【答案】【解析】設(shè)集合、、分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，由圖可知，高一年級參加比賽的同學(xué)人數(shù)為.故答案為：.17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割______．【答案】，（答案不唯一）【解析】以無理數(shù)分界寫出一組即可，如，．（答案不唯一）；故答案為：，．（答案不唯一）四、解答題18．（2022·湖北·麻城市博達(dá)高一階段練習(xí)）已知集合，．(1)用列舉法表示集合；(2)求.【解析】（1）由得：或，.（2）由得：，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)且且時(shí)，，；綜上所述：當(dāng)或或時(shí)，；當(dāng)且且時(shí)，.19．（2022·北京·101高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，，若，且，求的值．【解析】由題意知，，則或，由，若，則，得，不成立，故，得或，解得，又，所以或.20．（2022·遼寧·沈陽市第八十三高一階段練習(xí)）已知全集，集合，．(1)若且，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)集合，若的真子集共有個(gè)，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）因?yàn)?，，因此，．若，則或，解得或．又，所以．（2），，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合共有個(gè)真子集，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合共有個(gè)真子集，符合題意，綜上所述，．21．（2022·陜西·榆林市第十高一階段練習(xí)）已知集合，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則或，故；（2）由可知，，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為22．（2022·上海市宜川高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，其滿足（1）：（2）若，則.(1)能否為單元素集，為什么？(2)求出只含兩個(gè)元素的集合.(3)滿足題設(shè)條件的集合共有幾個(gè)？為什么？能否列舉出來.【解析】（1）不能，因?yàn)椋?，且，而，如果是單元素集，必須，解得，與矛盾，所以不能為單元素集；（2）只有兩個(gè)元素，，