回歸分析問題建立回歸模型的步驟：(1)確定研究對象，明確變量x，y.(2)畫出變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性相關關系等)．(3)由經驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數據呈線性相關關系，則選用回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a)．(4)按一定規則估計回歸方程中的參數(如最小二乘法)．(5)得出回歸方程．另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時間性．樣本的取值范圍一般不能超過回歸直線方程的適用范圍，否則沒有實用價值．【例1】假設一個人從出生到死亡，在每個生日那天都測量身高，并作出這些數據散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內的增長數據有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm90.897.6104.2110.9115.7122.0128.5年齡/周歲10111213141516身高/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.6173.0(1)作出這些數據的散點圖；(2)求出這些數據的線性回歸方程；(3)對于這個例子，你如何解釋回歸系數的含義？(4)解釋一下回歸系數與每年平均增長的身高之間的聯系．[思路探究](1)作出散點圖，確定兩個變量是否線性相關；(2)求出eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，寫出線性回歸方程；(3)回歸系數即eq\o(b,\s\up6(^))的值，是一個單位變化量；(4)根據線性回歸方程可找出其規律．[解](1)數據的散點圖如下：(2)用y表示身高，x表示年齡，因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,14)×(90.8＋97.6＋…＋173.0)≈132，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－14\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－14\o(x,\s\up6(－))2)≈eq\f(18993－14×9.5×132,1491－14×9.52)≈6.316，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝71.998，所以數據的線性回歸方程為y＝6.316x＋71.998.(3)在該例中，回歸系數6.316表示該人在一年中增加的高度．(4)回歸系數與每年平均增長的身高之間近似相等．1．假定小麥基本苗數x與成熟期有效穗y之間存在相關關系，今測得5組數據如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預報變量，作出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數56.7預報有效穗．[解](1)散點圖如下．(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關關系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關系．設回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，eq\x\to(x)＝30.36，eq\x\to(y)＝43.5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝5101.56，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝9511.43.eq\o(\x\to(x))eq\o(\x\to(y))＝1320.66，eq\x\to(y)2＝1892.25，eq\x\to(x)2＝921.7296，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝6746.76.由eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－5\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),∑x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈0.29，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝43.5－0.29×30.36≈34.70.故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝34.70＋0.29x.當x＝56.7時，eq\o(y,\s\up6(^))＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.估計成熟期有效穗約為51.143.獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認兩個分類變量有關系這一結論成立的可信程度，首先假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立，在該假設下，我們構造的隨機變量χ2應該很小，如果由觀測數據計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設不合理，根據隨機變量χ2的含義，可以通過P(χ2>6.635)≈0.01來評價假設不合理的程度，由實際計算出χ2>6.635說明假設不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關系這一結論成立的可信程度為99%.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據樣本數據制成2×2列聯表．(2)根據公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)計算χ2的值．(3)比較χ2與臨界值的大小關系并作統計推斷．【例2】在某校高三年級一次全年級的大型考試中數學成績優秀和非優秀的學生中，物理、化學、總分也為優秀的人數如下表所示，則數學成績優秀與物理、化學、總分也優秀哪個關系較大？物理化學總分數學優秀228225267數學非優秀14315699注：該年級此次考試中數學成績優秀的有360人，非優秀的有880人．[思路探究]分別列出數學與物理，數學與化學，數學與總分優秀的2×2列聯表，求k的值．由觀測值分析，得出結論．[解](1)列出數學與物理優秀的2×2列聯表如下：物理優秀物理非優秀合計數學優秀228132360數學非優秀143737880合計3718691240n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1240.代入公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)得χ21＝eq\f(1240×228×737－132×1432,360×880×371×869)≈270.1143.(2)列出數學與化學優秀的2×2列聯表如下：化學優秀化學非優秀合計數學優秀225135360數學非優秀156724880合計3818591240n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1240.代入公式，得χ22＝eq\f(1240×225×724－135×1562,360×880×381×859)≈240.6112.(3)列出數學與總分優秀的2×2列聯表如下：總分優秀總分非優秀合計數學優秀26793360數學非優秀99781880合計3668741240n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1240.代入公式，得χ23＝eq\f(1240×267×781－93×992,360×880×366×874)≈486.1225.由上面計算可知數學成績優秀與物理、化學、總分優秀都有關系，由計算分別得到χ2的統計量都大于臨界值6.635，由此說明有99%的把握認為數學優秀與物理、化學、總分優秀都有關系，但與總分優秀關系最大，與物理次之．2．某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”．經調查發現，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病．請用所學知識分析該藥品對預防A疾病是否有效．[解]將問題中的數據寫成如下2×2列聯表：患A疾病不患A疾病合計服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計23500523將上述數據代入公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)中，計算可得χ2≈0.0414，因為0.0414<3.841，故沒有充分理由認為該保健藥品對預防A疾病有效.轉化與化歸思想在回歸分析中的應用回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關關系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化．如果兩個變量非線性相關，我們可以通過對變量進行變換，轉化為線性相關問題．【例3】某商店各個時期的商品流通率y(%)的商品零售額x(萬元)資料如下：x9.511.513.515.517.5y64.643.22.8x19.521.523.525.527.5y2.52.42.32.22.1散點圖顯示出x與y的變動關系為一條遞減的曲線．經濟理論和實際經驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現著經營規模效益，假定它們之間存在關系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據上表數據，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元的商品流通率．[解]設u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋bu，得下表數據：u0.10530.08700.07410.06450.0571y64.643.22.8u0.05130.04650.04260.03920.0364y2.52.42.32.22.1由表中數據可得y與u之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.1875＋56.25u.所以所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.1875＋eq\f(56.25,x).當x＝30時，y＝1.6875，即商品零售額為30萬元時，商品流通率為1.6875%.3．在某化學實驗中，測得如下表所示的6對數據，其中x(單位：min)表示化學反應進行的時間，y(單位：mg)表示未轉化物質的質量．x/min123456y/mg39.832.225.420.316.213.3(1)設y與x之間具有關系y＝cdx，試根據測量數據估計c和d的值(精確到0.001)；(2)估計化學反應進行到10min時未轉化物質的質量(精確到0.1)．[解](1)在y＝cdx兩邊取自然對數，令lny＝z，lnc＝a，lneq\o(d)＝b，則z＝a＋bx.由已知數據，得x123456y39.832.225.420.316.213.3z3.6843.4723.2353.0112.7852.588由公式得eq\o(a,\s\up6(^))≈3.9055，eq\o(b,\s\up6(^))≈－0.2219，則線性回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝3.9055－0.2219x.而lnc≈3.9055，lnd≈－0.2219，故c≈49.675，d≈0.801，所以c，d的估計值分別為49.675,0.801.(2)當x＝10時，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．所以化學反應進行到10min時未轉化物質的質量約為5.4mg.1．為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據此估計，該社區一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元 B．11.8萬元C．12.0萬元 D．12.2萬元[解析]由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，∴當x＝15時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．[答案]B2．根據如下樣本數據x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則()A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0[解析]作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.[答案]B3．下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．[解](1)利用模型①，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．(ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．(以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)4．某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式(3)根據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2).[解](1)第二種生產方式的效率更高．理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少．因此第二種生產方式的效率更高．(以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列聯表如下：超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515(3)由于χ2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10＞6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異．5．如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數據：eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up6(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關系數r＝eq\f(∑ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(∑ti－\x\to(t)2∑yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq