3.5.2直角三角形全等的判定

如圖，舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，你能幫他想個(gè)辦法嗎?提出問(wèn)題（1）當(dāng)每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住,無(wú)法測(cè)量,他能完成任務(wù)嗎?

（2）在此情況下，如果他只帶一個(gè)卷尺，還能完成這個(gè)任務(wù)嗎?做一做已知線段a,c(a<c)，利用直尺和圓規(guī)作RtΔABC，使∠C=Rt∠,CB=a,AB=c.按照步驟做一做：（1）作∠MCN=90°;（2)在射線CM上截取線段CB=a;（3)以B為圓心,c為半徑畫弧,交射線CN于點(diǎn)A;（4）連接AB.BA△ABC就是所要畫的直角三角形.如圖在ΔABC和ΔA’B’C’中，∠C=∠C’=RT∠,AB=A’B’，AC=A’C’

說(shuō)明ΔABC和ΔA’B’C’

全等的理由。A'C'ＡＣＢB’如圖在ΔABC和ΔA’B’C’中，∠C=∠C’=RT∠,AB=A’B’，AC=A’C’

說(shuō)明ΔABC和ΔA’B’C’

全等的理由。解:∵∠C=∠C’

=90°∴B、C、B’在同一直線上，AC┴BB’∵AB=A’B’∴BC=B’C’（等腰三角形三線合一）∵AC=A’C’（公共邊）∴RtΔABC≌RtΔA’B’C’（SSS）B‘A'C'ACBC（C‘）A（A’）B‘B如圖在ΔABC和ΔA’B’C’中，∠C=∠C’=RT∠AB=A’B’，AC=A’C’

說(shuō)明ΔABC和ΔA’B’C’

全等的理由。B‘A'C'ＡＣＢ分析:∵AB2=BC2+AC2，

A’B’

2=B’C’

2+A’C’

2（勾股定理）

∴BC2=AB2-AC2，

B’C’

2=A’B’

2-A’C’

2

∵AB=A’B’，AC=A’C’

∴BC2=B’C’

2

∴BC=B’C’

∴三角形全等

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)寫：“斜邊、直角邊”或“HL”∠C=∠C′=90°AB=A′B′AC=A′C′（或BC=B′C′）∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)直角三角形全等的判定方法∵獲得新知∠C=∠C′

=90°判斷直角三角形全等條件三邊對(duì)應(yīng)相等SSS一銳角和它的鄰邊對(duì)應(yīng)相等ASA一銳角和它的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等AAS兩直角邊對(duì)應(yīng)相等SAS斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等HL

直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法，還有直角三角形特有的判定方法“HL”.

我們應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際情況選擇判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法.想一想你能夠用幾種方法說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等？（2）若∠A=∠D，BC=EF，則△ABC與△DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫法）（3）若AB=DE，BC=EF，則△ABC與△DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫法）（4）若AB=DE，AC=DF則△ABC與△DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫法）1.如圖，∠ABD與∠DEF都是直角（1）若∠A=∠D，AB=DE，則△ABC與△DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫法）全等全等全等全等ASAAASSASHLABCDEF小試牛刀

(1)_______,∠A=∠D(ASA)(2)AC=DF,________(SAS)(3)AB=DE,BC=EF()(4)AC=DF,______(HL)(5)∠A=∠D,BC=EF()(6)________,AC=DF(AAS)

BCAEFD看誰(shuí)快!已知∠ACB=∠

DFE=Rt∠把下列說(shuō)明Rt△ABC≌Rt△DEF的條件或根據(jù)補(bǔ)充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAAS∠B=∠E學(xué)以致用1.如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖中，你能說(shuō)明BC與BD相等嗎？解：BC=BD

∵在Rt△ACB和Rt△ADB中

AB=AB,AC=AD.∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).CDAB你還能得出什么結(jié)論？2、已知P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分別是垂足，且PD=PE，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，請(qǐng)說(shuō)明理由。ABO●PDE解:作射線OP∵PD┴OA，PE┴OB，∴∠

PDO=∠PEO=RT∠又∵OP=OP，PD=PE∴RTΔPDO≌RTΔPEO（HL）∴∠

1=∠2，即點(diǎn)P在∠

AOB的平分線上。1、角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。2、角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角兩邊距離相等。角平分線的性質(zhì)：1.已知:如圖,D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn),DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F,且DE=DF.試說(shuō)明:

△ABC是等腰三角形.分析:要說(shuō)明△ABC是等腰三角形,就需要說(shuō)明AB=AC;進(jìn)而需要說(shuō)明∠B=∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的條件:從而需要說(shuō)明∠B=∠C;BD=CD,DF=DE均為已知.因此,可得△ABC是等腰三角形.DBCAFE請(qǐng)將解題過(guò)程規(guī)范化書寫出來(lái).練一練

練習(xí)2

如圖，已知