類比思維在微分學中的應用獲獎科研報告摘

要：類比思想是人類發現新知識的重要源泉，是人們提高學習和生活效率的一種方法，是培養創造性思維的一種途徑。多元函數微分學教學中科學地應用類比法，能夠使抽象、復雜的多元函數問題轉化為比較形象、簡單的一元函數，在學習高等數學中起著十分重要的作用。下面我先梳理了各知識點，然后對照起來作比較，最后把多元函數與一元函數對照起來做了一個總結。

關鍵詞：類比思維;多元函數;隱函數;一元函數

二元函數的定義：設x，y，z為三個變量，D為x0y坐標面上的非空點集，若對任意的（x，y）∈D，變量Z均按照一定的法則f有唯一的值與之對應，則稱Z是X和Y的二元函數，記作Z=f（x，y）。其中X和Y稱為自變量，點集D稱為函數Z=（x，y）的定義域，常記為Df;Z稱為因變量，函數值的集合Zf={z∣z=f（x，y），（x，y）∈Df}稱為函數Z=（x，y）的值域。

一切多元初等函數在其定義區域內是連續的。函數連續不一定的函數可微，例：y=|x|函數連續不一定函數可導，例：y=|x|當x=0時y不可導;函數可導不一定連續;函數可導不一定可微;可導指的是偏導數存在，即沿x軸，y軸方向的導數存在（注意只有兩個方向），但是二元函數的連續性是從各個方向，以任何形式來取極限的，所以從這個方面來講，多元函數可導不一定能保證其連續，如果是可微就可以推出連續，因為可微就考察了所有方向。

關于偏導數，在一元函數中，導數就是函數的變化率。對于二元函數的“變化率”，由于自變量多了一個，情況就要復雜的多。x方向的偏導：設有二元函數z=f（x，y），點（x0，y0）是其定義域D內一點。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函數z=f（x，y）有增量（稱為對x的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。如果△z與△x之比當△x→0時的極限存在，那么此極限值稱為函數z=f（x，y）在（x0，y0）處對x的偏導數，記作f'x（x0，y0）或函數z=f（x，y）在（x0，y0）處對x的偏導數，實際上就是把y固定在y0看成常數后，一元函數z=f（x，y0）在x0處的導數。y方向的偏導：同樣，把x固定在x0，讓y有增量△y，如果極限存在那么此極限稱為函數z=（x，y）在（x0，y0）處對y的偏導數。記作f'y（x0，y0）。

求法：當函數z=f（x，y）在（x0，y0）的兩個偏導數f'x（x0，y0）與f'y（x0，y0）都存在時，我們稱f（x，y）在（x0，y0）處可導。如果函數f（x，y）在域D的每一點均可導，那么稱函數f（x，y）在域D可導。此時，對應于域D的每一點（x，y），必有一個對x（對y）的偏導數，因而在域D確定了一個新的二元函數，稱為f（x，y）對x（對y）的偏導函數。簡稱偏導數。按偏導數的定義，將多元函數關于一個自變量求偏導數時，就將其余的自變量看成常數，此時他的求導方法與一元函數導數的求法是一樣的。

多元復合函數和隱函數的求導法則永遠都是一樣的，就是鏈式法則和基本求導公式。

而多元復合函數求導就是求偏導的時候需要把別的參數看作常數;而隱函數求導時，f（y）的導數為f'（y）·y'。

多元復合函數求導法則：如果函數u=φ（t）及ψ（t）都在點t可導，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）具有連續偏導數，則復合函數z=f[φ（t），ψ（t）]在點t可導，且其導數可用下列公式計算：。

隱函數的求導法則：對于一個已經確定存在且可導的情況下，我們可以用復合函數求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對x進行求導，由于y其實是x的一個函數，所以可以直接得到帶有y'的一個方程，然后化簡得到y'的表達式。隱函數導數的求解一般有好幾種方法：方法①：先把隱函數轉化成顯函數，再利用顯函數求導的方法求導;方法②：隱函數左右兩邊對x求導（但要注意把y看作x的函數）;方法③：利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導，再通過移項求得的值;方法④：把n元隱函數看作（n+1）元函數，通過多元函數的偏導數的商求得n元隱函數的導數。舉個例子，若欲求z=f（x，y）的導數，那么可以將原隱函數通過移項化為f（x，y，z）=0的形式，然后通過（式中F'y，F'x分別表示y和x對z的偏導數）來求解。相對比多元復合函數和隱函數的求導法則，一元函數的求導比較簡單且方便，通常復雜的多元函數求導都是由一元函數求導一步步演變出來的。一元函數求導基本都是用[f（x）十g（x）]'=f'（x）十g'（x）;[f（x）*g（x）]'=f'（x）*g（x）十f（x）*g'（x）;[f（x）/g（x）]'=[f'（x）*g（x）-f（x）*g'（x）]/g?（x）這幾個公式。

二元函數的必要條件：設函數Z=f（x，y）在點（Xo，Yo）處具有偏導數，且在點（Xo，Yo）處有極值，則fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0。與一元函數類似，某點處兩個偏導數等于0只是二元函數在該點取極值的必要條件，也就是說，偏導數等于0的點不一定是函數的極值點，但是二元函數偏導數不存在的點也有可能是極值點。多元函數極值的充分條件：設函數Z=f（x，y）在點（Xo，Yo）的某領域內連續且一階及二階連續偏導數，又fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0，令fxx（Xo，Yo）=A，fxy（Xo，Yo）=B，fyy（Xo，Yo）=C，則f（x，y）在（Xo，Yo）處是否取得極值的條件如下：①AC-B?>0時具有極值，且當A0時有極小值;②AC-B?0或者<0，多元函數的充要條件也是很知類似的對一階和二階導數道進行判定，只不過多元函數而言，一階導數是一個向量，由函數對各個分量進行偏導數得到的。對于多元函數求極值，一元函數求極值更為簡單，通常也有好幾種方法可以求出來，通常方法為首先求出函數的極值，函數定義域的邊界點的函數值、極值點不可微點的函數值，然后比較這些值的大小，以確定最大值，最小值。為了簡便起見，可以不求極值，只解方程f′（x）=0，解出的根xi是可能的極值點，把f（xi）與邊界點函數值及不可微點函數值一同比較以確定最值。對于一元函數而言，還可以用通過其他方法：①求出函數的值域確定最值.例如，設y=f