培優(yōu)專題10等腰三角形的性質(zhì)與判定◎類型一：巧用三線合一解決問題性質(zhì)：①兩腰相等②兩底角相等（簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對(duì)稱軸。證明題目中的寫法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD1．（2022·遼寧·本溪市第十二八年級(jí)階段練習(xí)）等腰三角形ABC中，，BC中點(diǎn)為D，過D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，則AD等于（）A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm2．（2022·陜西·西安鳳凰城初級(jí)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PC，則CP+EP的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2021·遼寧·遼河油田實(shí)驗(yàn)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，且2ED＝BC，則∠ACE＝_______4．（2022·江蘇·沛縣漢城文昌八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于點(diǎn)D，F(xiàn)在BC上且BF＝2，連接AF，E為AF的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長(zhǎng)為：__________5．（2022·浙江省金華市永康八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，CF平分∠ACB，，．求證：．◎類型二：等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評(píng)分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評(píng)分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等腰三角形“中點(diǎn)+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線6．（2019·河北保定師范附屬八年級(jí)期中）如圖，在中，，，是邊上的兩點(diǎn)，且有，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．6 C．5 D．77．（2019·湖北荊門·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分線交AC于D，則圖中共有等腰三角形（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)8．（2019·黑龍江·哈爾濱市第一一八年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(3，-4)，在y軸確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有_____個(gè)9．（2022·安徽宿州·八年級(jí)期中）如圖，，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA＝10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝________時(shí)，△POQ是等腰三角形．10．（2021·遼寧·盤錦市第一完全八年級(jí)期中）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由．(3)在等邊三角形ABC中，若點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng)．◎類型三：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）總結(jié)：11．（2022·湖南婁底·八年級(jí)期中）如圖：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，則DF等于（

）A．10 B．7 C．5 D．412．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，且MNBC，則△AMN的周長(zhǎng)為（）A．13 B．14 C．15 D．1613．（2021·湖南株洲·八年級(jí)期中）如圖所示，在中，，分別是和的平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則的周長(zhǎng)是_________．14．（2022·廣東·珠海市第九三模）如圖，小明為測(cè)量大樹MN的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得大樹頂端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得大樹頂端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平線上，若小明的身高忽略不計(jì)，則大樹高約為_____米．15．（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，在中，AD平分，過點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為點(diǎn)D，，交AB于點(diǎn)E，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求證：．◎類型四：等腰三角形中巧用全等三角形解決問題16．（2019·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）①∠DAE=∠CBE

②CE=DE

③△DEA≌△CBE

④△EAB是等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．（2022·陜西榆林·七年級(jí)期末）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個(gè)問題∶“如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，添加下列哪個(gè)條件能判定是等腰三角形？"請(qǐng)你判斷正確的條件應(yīng)為（

）A． B． C． D．18．（2022·廣東·佛山市惠景七年級(jí)期中）如圖，一張四邊形紙片，，，，，且，連接，點(diǎn)在邊上，把沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，連接．若點(diǎn)，，在同一條直線上給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是______19．（2022·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)O．給出下列三個(gè)條件：①；②；③．利用其中兩個(gè)條件可以證明是等腰三角形，這兩個(gè)條件可以是____________．2