專題04探究與表達規律（八個考點）專題講練1、知識儲備考點1.數列的規律考點2.數表的規律考點3..算式的規律考點4.圖形的規律（一次類）考點5圖形的規律（二次類）考點6.圖形的規律（指數類）考點7.程序框圖考點8.新定義運算2、經典基礎題3、優選提升題1.解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經過提煉、歸納和猜想，探索規律，獲得結論.有時候還需要通過類比聯想才能找到隱含條件.一般有下列幾個類型：1）數列的規律：把握常見幾類數的排列規律及每個數與排列序號之間的關系.2）等式的規律：用含有字母的代數式總結規律，注意此代數式與序號之間的關系.3）圖形（圖表）規律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數或圖形總數與序號之間的關系.4）圖形變換的規律：找準循環周期內圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數除以一個循環變換周期，進而觀察商和余數.5）數形結合的規律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論.2.常見的數列規律：1）1，3，5，7，9，…，（為正整數）．2）2，4，6，8，10，…，（為正整數）．3）2，4，8，16，32，…，（為正整數）．4）2，6，12，20，…，（為正整數）．5），，，，，，…，（為正整數）．6）特殊數列：①三角形數：1,3,6,10,15,21，…，.②斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數開始每一個數等于與它相鄰的前兩個數的和.考點1.數列的規律【解題技巧】=1\*GB3①符號規律：通常是正負間或出現的規律，常表示為或或；=2\*GB3②數字規律：數字規律需要視題目而確定；eq\o\ac(○,3)字母規律：通常字母規律是呈指數變換，常表示為：等形式。例1．（2022·黑龍江牡丹江·七年級期末）按順序觀察下列五個數-1，5，-7，17，-31……，找出以上數據依次出現的規律，則第個數是_____________．【答案】【分析】所給的數可轉化為：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…據此即可得第n個數，從而可求解．【詳解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，∴第奇數個數為：1-2n；第偶數個數為：1+2n；∴第n個數為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的數字分析出存在的規律．變式1．（2022·云南紅河·八年級期末）一組按規律排列的單項式3a、5a2、7a3、9a4……，依這個規律用含字母n（n為正整數，且n≥1）的式子表示第n個單項式為_______【答案】【分析】找出前3項的規律，然后通過后面幾項驗證，找出規律得到答案．【詳解】解：3a＝（2×1+1）a1，5a2＝（2×2+1）a2，7a3＝（2×3+1）a3，…第n個單項式是：（2n+1）an．故答案為：（2n+1）an．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是找出前幾項的規律，然后驗證，最后得到規律．變式2．（2022·山東煙臺·七年級期末）按一定規律排列的單項式：，，，，，……，第n個單項式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先觀察系數與指數的規律，再根據規律定出第n個單項式即可．【詳解】解：∵，，，，，……，∴系數是奇數項為-1，偶數項為1，即系數的規律是(-1)n-1,指數的規律為2n+1，∴第n個單項式為，故選：B．【點睛】本題考查數式的變化規律，通過觀察單項式的系數和指數，找到它們的規律是解題的關鍵．考點2.數表的規律【解題技巧】例1.（2022?綿陽市七年級期中）將正奇數按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123………2725若2021在第m行第n列，則m+n＝（）A．256 B．257 C．510 D．511【分析】觀察圖表，每一行都有四個數，且奇數行排在第2﹣5列，偶數行排在第1﹣4列，根據2021在正奇數中的位置來推算m，n．【解答】解：首先，從圖表觀察，每一行都有四個數，且奇數行排在第2﹣5列，偶數行排在第1﹣4列，其次，奇數可以用2x﹣1表示，當x＝1011時，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011個位置．在上表中，因為每行有4個數，且1011÷4＝252???????3，因此2021應該在第253行，第4列，即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故選：B．變式1．（2022·山東濟南·七年級期末）將正整數按如圖所示的規律排列，若用有序數對（a，b）表示第a行，從左至右第b個數，例如（4，3）表示的數是9，則（15，10）表示的數是（

）A．115 B．114 C．113 D．112【答案】A【分析】觀察圖形可知，每一行的第一個數字都等于前面數字的個數再加1，即可得出（15，1）表示的數，然后得出（15，10）表示的數即可．【詳解】解：因為（1，1）表示的數是：1，（2，1）表示的數是：1+1=2，（3，1）表示的數是：1+1+2=4，（4，1）表示的數是：1+1+2+3=7，（5，1）表示的數是：1+1+2+3+4=11，……所以（a，1）表示的數是：，所以（15，1）表示的數是：，所以（15，10）表示的數是：106+10-1=115，故選A．【點睛】本題考查了找圖形和數字規律，從題目分析發現每一行的第一個數字都等于前面數字的個數再加1是本題的關鍵．變式2．（2022·廣東湛江·七年級期末）各正方形中的四個數之間都有一定的規律，按此規律得出，的值分別為（

）0325476413631857A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110【答案】C【分析】分析前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c【詳解】由前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，故選：C【點睛】本題考查規律中的數字變換，分析前面的圖形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出給定的數之間的關系時解題關鍵．考點3..算式的規律【解題技巧】算式規律這一類沒有固定的套路，主要依靠學生對已知算式的觀察、總結、邏輯推理，發現期中的規律。常考的背景有：楊輝三角、等差數列、連續n個數的立方和、連續n個數的平方和、階乘等。例1．（2022·山東淄博·期末）觀察下列等式：；；；；；根據以上等式總結規律并計算，則______．【答案】255【分析】根據所給出的等式找到規律，再利用式子的規律進行逆用即可求解．【詳解】解：由給出等式可知，，∴故答案為：255．【點睛】本題考查數字的變化規律，能夠根據題中所給式子探索出式子的規律是解題的關鍵．變式1．（2022·內蒙古赤峰·八年級期末）已知：；；；…，若符合前面式子的規律，則的值是（

）A．90 B．89 C．100 D．109【答案】A【分析】根據已知中的規律可得，分數的分子與整數相同，分母是整數的平方減1，然后求出a、b，再相加即可．【詳解】解：∵，，，，∴中，b=9，a=92-1=80，∴a+b+1=80+9+1=90．故選：A．【點睛】對數字變化規律的考查，比較簡單，觀察出加數的分子、分母與整數加數的關系是解題的關鍵．變式2．（2022·四川涼山·七年級期末）下面是按一定規律排列的一列數：第1個數：第2個數：第3個數：……第個數：那么，在第9個數、第10個數、第11個數、第12個數中，最大的數是（

）A．第9個數 B．第10個數 C．第11個數 D．第12個數【答案】A【分析】先分別計算出前3個數，由此得到一般性的規律，再分別求出第9個，第10個，第11個，第12個數，比較大小即可．【詳解】解：第1個數：，第2個數：，第3個數：，……第個數：，所以第9個，第10個，第11個，第12個數分別為，，，，所以較大的數為第9個數，故選：A．【點睛】本題考查數字類規律題，有理數的混合運算，解題關鍵是由特殊得一般性的規律．考點4.圖形的規律（一次類）【解題技巧】通常結合數字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規律能力。圖形的規律（一次類）例1．（2022·山東威海·期末）用大小相同的棋子按如下規律擺放圖形，第2022個圖形的棋子數為（

）A．6069個 B．6066個 C．6072個 D．6063個【答案】A【分析】根據前4個圖形的棋子個數，可以得到規律第n個圖形有個棋子，據此求解即可．【詳解】解：第1個圖形有個棋子，第2個圖形有個棋子，第3個圖形有個棋子，第4個圖形有個棋子，∴可知第n個圖形有個棋子，∴第2022個圖形有個棋子，故選：A．【點睛】本題主要考查了圖形類的規律，正確理解題意找到圖形之間的規律是解題的關鍵．變式1．（2022·河南駐馬店·七年級期末）下列圖案是用長度相同的小木棒按一定規律拼搭而成，圖案①需8根小木棒，圖案②需15根小木棒，…，按此規律，圖案⑦需小木棒的根數是（）A．49 B．50 C．55 D．56【答案】B【分析】根據每增加一個圖形，就增加根小木棒，可得圖案需小木棒的根數為，就可以求得圖案⑦需小木棒的根數．【詳解】解：圖案需根小木棒，圖案需根小木棒，圖案需根小木棒，可得圖案需小木棒的根數為，圖案⑦需小木棒的根數是：，故B正確．故選：B．【點睛】此題考查了利用圖形進行規律歸納的能力，關鍵是能通過觀察、猜想、驗證，歸納總結出其中的規律．變式2．（2022·四川廣安·七年級期末）觀察下列圖形變化的規律，我們發現每一個圖形都分為上、下兩層，下層都是由黑色正方形構成，其數量與編號相同；上層都是由黑色正方形或白色正方形構成（第1個圖形除外），則第2021個圖形中，黑色正方形的數量共有（

）個A．3031 B．3032 C．3033 D．3034【答案】B【分析】根據圖形的變化規律歸納出第n個圖形中黑色正方形的數量即可．【詳解】解：根據圖形變化規律可知：第1個圖形中黑色正方形的數量為2，第2個圖形中黑色正方形的數量為3，第3個圖形中黑色正方形的數量為5，第4個圖形中黑色正方形的數量為6，……當n為奇數時，黑色正方形的個數為，當n為偶數時，黑色正方形的個數為，∴第2021個圖形中黑色正方形的數量是．故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，歸納出第n個圖形中黑色正方形的數量是解題的關鍵．考點5圖形的規律（二次類）【解題技巧】通常結合數字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規律能力。例1．（2022·吉林長春·七年級期末）如圖，用同樣規格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設長方形地面．觀察下列圖形，探究并解答問題．(1)在第5個圖中，共有白色瓷磚塊；在第n個圖中，共有白色瓷磚塊．(2)在第5個圖中，共有瓷磚塊；在第n個圖中，共有瓷磚塊．(3)如果每塊黑瓷磚30元，每塊白瓷磚40元，當n＝10時，鋪設長方形地面共需花多少錢購買瓷磚？【答案】(1)35，(2)63，(3)6240【分析】（1）通過觀察發現規律，在第5個圖中，共有白色瓷磚的數量為7×5塊，將上面的規律寫出來即可；（2）通過觀察發現規律，在第5個圖中，共有瓷磚的數量為7×9，將上面的規律寫出來即可；（3）求出當n=10時，黑色和白色瓷磚的個數，然后計算總費用即可．（1）解：根據題意得：在第1個圖中，共有白色瓷磚的數量為3=3×1；在第2個圖中，共有白色瓷磚的數量為8=4×2；在第3個圖中，共有白色瓷磚的數量為15=5×3；在第4個圖中，共有白色瓷磚的數量為24=6×4；在第5個圖中，共有白色瓷磚的數量為35=7×5；……在第n個圖中，共有白色瓷磚的數量為．

故答案為：35，（2）解：根據題意得：在第1個圖中，共有瓷磚的數量為5=3×5；在第2個圖中，共有瓷磚的數量為24=4×6；在第3個圖中，共有瓷磚的數量為35=5×7；在第4個圖中，共有瓷磚的數量為48=6×8；在第5個圖中，共有瓷磚的數量為63=7×9；……在第n個圖中，共有瓷磚的數量為；故答案為：63，（3）解：根據題意得：當n＝10時，共有白色瓷磚的數量為10×12=120，共有瓷磚的數量為（10+4）×（10+2）=168，∴共有黑色瓷磚的數量為168-120=48，∴鋪設長方形地面共需的費用為答：當n＝10時，鋪設長方形地面共需花6240元錢購買瓷磚．【點睛】此題主要考查學生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，此題有一定拔高難度，屬于難題，解答此題的關鍵是通過觀察和分析，找出其中的規律．變式1．（2022·重慶七年級期末）如圖，把黑色小圓圈按照如圖所示的規律排列，其中第①個圖形中有3個黑色小圓圈，第②個圖形中有8個黑色小圓圈，第③個圖形中有15個黑色小圓圈，…，按照此規律，第⑦個圖形中黑色小圓圈的個數為（）A．63 B．64 C．80 D．81【答案】A【分析】仔細觀察圖形變化，找到圖形變化規律，利用規律求解．【詳解】解：第①個圖形中一共有1+2＝3個小圓圈，第②個圖形中一共有2+3×2＝8個小圓圈，第③個圖形中一共有3+4×3＝15個小圓圈，…，按此規律排列下去，第⑦個圖形中小圓圈的個數是7+8×7＝63，故選：A．【點睛】考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形并找到進一步解題的規律，難度不大．變式2．（2022·山東青島·七年級期末）如圖1，將一個邊長為2的正三角形的三條邊平分，連接各邊中點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數從上往下：共有1+2+3=6個結點．如圖2，將一個邊長為3的正三角形的三條邊三等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數是從上往下：共有1+2+3+4=10個結點．……按照上面的方式，將一個邊長為2022的正三角形的三條邊2022等分，連接各邊對應的等分點，則該三角形被剖分的網格中的結點個數從上往下共有________個結點（填寫最終個結點）【答案】2047276【分析】根據規律可知結點個數為1+2+3+4+……+n個，為三角形邊長數加1，據此即可求解．【詳解】解：將一個正三角形的三條邊平分，該三角形被剖分的網格中的結點個數從上往下：共有1+2+3==6個結點，將一個正三角形的三條邊三等分，該三角形被剖分的網格中的結點個數是從上往下：共有1+2+3+4==10個結點，……將一個正三角形的三條邊等分，該三角形被剖分的網格中的結點個數從上往下共有個結點，：將一個正三角形的三條邊2022等分，該三角形被剖分的網格中的結點個數從上往下共有：1+2+3+…+2023==2047276個結點，故答案為：2047276．【點睛】本題考查的是圖形的變化規律，根據圖形的變化正確總結出規律是解題的關鍵．考點6.圖形的規律（指數類）【解題技巧】通常結合數字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規律能力。例1.（2022·江蘇七年級期末）如圖，已知圖①是一塊邊長為1，周長記為C1的等邊三角形卡紙，把圖①的卡紙剪去一個邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再剪去一個邊長為的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個邊長為、、…的等邊三角形后，得到圖④、⑤、⑥、…，記圖n（n≥3）中的卡紙的周長為Cn，則Cn﹣Cn﹣1＝_____．【答案】【分析】利用等邊三角形的性質（三邊相等）求出等邊三角形的周長C1，C2，C3，C4，根據周長相減的結果能找到規律即可求出答案．【詳解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…∴C3﹣C2=，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…則Cn﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案為：．【點睛】此題考查圖形變化規律，通過觀察圖形，分析、歸納發現其中運算規律，應用規律解決問題．變式1.（2022·日照九年級三模）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，余下面積為原來面積的一半即可解答．【詳解】解：正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，第一次：余下面積S1=，第二次：余下面積S2=，第三次：余下面積S3=，當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為S2021=，故選：C．【點睛】本題考查剪紙問題，圖形的變化，解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題，屬于中考常考題型．變式2.（2022·常州市七年級期中）（1）為了計算1+2+3+…+8的值，我們構造圖形（圖1），共8行，每行依次比上一行多一個點．此圖形共有（1+2+3+…+8）個點．如圖2，添出圖形的另一半，此時共8行9列，有8×9＝72個點，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接寫結果）．（2）觀察下面的點陣圖（如圖3），解答問題：填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2n+1）=．（3）請構造一圖形，求（畫出示意圖，寫出計算結果）．【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）圖見解析，【分析】（1）利用題干中所給方法解答即可；（2）由點陣圖可知：一個數時和為1=12，2個數時和為4=22，3個數時和為9=32，???n個數時和為n2，由此可得①為25個數，和為252=625；②為（n+1）個數，和為(n+1)2；（3）按要求畫出示意圖，依據圖形寫出計算結果．【詳解】解：（1）1+2+3+???+20=（1+20）×20=21×10=210；故答案為：210；（2）由點陣圖可知：一個數時和為1=12，2個數時和為4=22，3個數時和為9=32，???，n個數時和為n2．①∵1+3+5+…+49中有25個數，∴1+3+5+…+49=252=625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)個數，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案為：625；(n+1)2；（3）由題意畫出圖形如下：假定正方形的面積為1，第一次將正方形分割為和兩部分，第二次將正方形的分割為和兩部分，???，以此類推，第2020次分割后，剩余的面積為，那么除了剩余部分的面積，前面所有分割留下的面積應該是：，∴，左右兩邊同除以2得：．∴原式．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規律，有理數的混合運算，數形結合的思想方法．前兩小題考察學生數與形相結合，難度不大，仔細觀察規律，即可求解，第題對學生構建數與形的要求較高，考察學生的發散性思維．考點7.程序框圖例1．（2022·河南信陽·七年級期末）按如圖所示程序計算，若開始輸入的x值是正整數，最后輸出的結果是32，則滿足條件的x值為（

）A．11 B．4 C．11或4 D．無法確定【答案】C【分析】根據題意列出等式，進而可以求解．【詳解】解：由題意可得，當輸入x時，3x-1=32，解得：x=11，即輸入x=11，輸出結果為32；當輸入x滿足3x-1=11時，解得x=4，即輸入x=4，結果為11，再輸入11可得結果為32，故選：C．【點睛】本題考查了程序流程圖與代數式求值，根據題意列出等式是解決本題的關鍵．變式1.（2022?溫江區七年級期末）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為24，我們發現第1次輸出的結果為12，第2次輸出的結果為6，…，則第2021次輸出的結果為（）A．6 B．3 C．24 D．12【分析】根據運算的程序，把24代入，求出前幾個數，可發現從第2個數開始，每2個數循環出現，據此作答即可．【解答】解：第1次輸出的數為：QUOTE12×24=1212×24=12；第2次輸出的數為：QUOTE12×12=612第3次輸出的數為：QUOTE12×6=312×6=3；第4次輸出的數為：3+3＝6；第5次輸出的數為：QUOTE12×6=312由此得從第2個數開始，每2個數循環出現，∵（2021﹣1）÷2＝1010，∴第2021次輸出的數為3．故選：B．變式2．（2022·河南鄭州·七年級期末）樂樂在數學學習中遇到了神奇的“數值轉換機”，按如圖所示的程序運算，若輸入一個有理數，則可相應的輸出一個結果．若輸入的值為，則輸出的結果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把x=代入程序中計算，判斷結果比0小，以此類推，得到結果大于0，輸出即可．【詳解】解：把x=代入運算程序得：（-1）×（-3）-8=3-8=-5<0，把x=-5代入運算程序得：（-5）×（-3）-8=15-8=7>0，輸出的結果y為7．故選B．【點睛】本題考查了代數式求值，弄清題中的程序流程是解本題的關鍵．考點8.新定義運算例1．（2022·九龍坡·九年級模擬）定義：對于一個兩位自然數，如果它的個位和十位上的數字均不為零，且它正好等于其個位和十位上的數字的和的n倍（n為正整數），我們就說這個自然數是一個“n喜數”．例如：24就是一個“4喜數”，因為24＝4×（2＋4）；25就不是一個“n喜數”，因為25≠n（2＋5）．（1）判斷44和72是否是“n喜數”？請說明理由；（2）請求出所有的“7喜數”之和．【答案】（1）72，見解析；（2）210【分析】（1）根據“n喜數”的意義，判斷即可得出結論；（2）先設出“7喜數”的個位數字a和十位數字b，進而得出b＝2a，即可得出數值，然后求和即可．【詳解】解：（1）44不是一個“n喜數”，因為44≠n（4＋4），72是一個“8喜數”，因為72＝8×（2＋7），（2）設存在“7喜數”，設其個位數字為a，十位數字為b，（a，b為1到9的自然數），由定義可知：10b＋a＝7（a＋b），化簡得：b＝2a，因為a，b為1到9的自然數，∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四種情況，∴“7喜數”有4個：21、42、63、84，∴它們的和＝21＋42＋63＋84＝210．【點睛】此題主要考查了新定義“n喜數”，理解和應用新定義是解本題的關鍵．變式1.（2022·江蘇七年級月考）定義一種新運算：觀察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．（1）請你想想：a*b＝；（2）若a≠b，那么a*bb*a（填“＝”或“≠”）；（3）先化簡，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2【答案】（1）3a+b；（2）≠；（3）4a﹣b，14【分析】（1）根據所給算式歸納即可；（2）根據（1）中總結的規律計算；（3）先根據（1）中總結的規律化簡，再把a＝1代入計算．【詳解】解：（1）根據題意得：a*b＝3a+b．故答案為：3a+b（2）∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a．∴a*b≠b*a．故答案為：≠．（3）(a﹣b)*(a+2b)＝3(a﹣b)+a+2b＝4a﹣b．當a＝3，b＝﹣2時，原式=12+2=14．【點睛】本題考查了新定義，數字類規律探究，以及整式的加減，根據題干中的算式得出規律是解答本題的關鍵．變式2．（2022·重慶梁平·七年級期中）閱讀材料，解決下列問題如果一個正整數十位上的數字為，個位上的數字為，則這個數表示為．有這樣一對正整數：一個數的數字排列完全顛倒過來就變成另一個數，簡單地說就是順序相反的兩個數，我們把這樣的一對數互稱為“反序數”．比如：123的反序數是321，4056的反序數是6504，根據以上閱讀材料，回答下列問題：(1)已知一個三位數，其數位上的數字為連續的三個自然數，經探索發現：原三位數與其反序數之差的絕對值始終等于198．你知道為什么嗎？請說明理由．(2)若一個兩位數與其反序數之和是一個整數的平方，求滿足上述條件的所有兩位數．【答案】(1)見解析(2)29，38，47，56，65，74，83，92【分析】（1）設連續自然數中間的一個數為x，則其他的兩個數為x?1，x＋1，表示出原三位數與反序數，進行驗證即可；（2）設兩位數十位數字為a，個位數字為b，表示出兩位數與反序數，根據題意確定出即可．(1)解：設連續自然數中間的一個數為x，則其他的兩個數為x?1，x＋1，根據題意可得：[100（x＋1）＋10x＋x?1]?[100（x?1）＋10x＋x＋1]＝100x＋100＋11x?1?100x＋100?11x?1＝198，∴原三位數與其反序數之差的絕對值始終等于198．(2)設兩位數十位數字為a，個位數字為b，根據題意得：10a＋b＋10b＋a＝11（a＋b），∵該兩位數與其反序數之和是一個整數的平方，∴a＋b＝11，∴a＝2，b＝9；a＝3，b＝8；a＝4，b＝7；a＝5，b＝6；a＝7，b＝4；a＝8，b＝3；a＝9，b＝2；則滿足條件的數為：29，38，47，56，65，74，83，92．【點睛】本題主要考查了數字的變化規律，絕對值，解決本題的關鍵是理解閱讀材料，找出式子存在的規律．1.（2022?晉安區期末）如圖，是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為625，則第2020次輸出的結果為（）A．1 B．5 C．25 D．625【分析】依次求出每次輸出的結果，根據結果得出規律，即可得出答案．【解答】解：當x＝625時，QUOTE1515x＝125，當x＝125時，QUOTE1515x＝25，當x＝25時，QUOTE1515x＝5，當x＝5時，QUOTE1515x＝1，當x＝1時，x+4＝5，當x＝5時，QUOTE1515x＝1，…依此類推，以5，1循環，（2020﹣2）÷2＝1009，能夠整除，所以輸出的結果是1，故選：A．2．（2022·山東泰安·期中）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…，這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…，這樣的數稱為“正方形數”．則第5個“三角形數”與第5個“正方形數”的和是（

）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【分析】分別探究“三角形數”與“正方形數”的存在規律，求出第5個“三角形數”與第5個“正方形數”，再求第5個“三角形數”與第5個“正方形數”的和．【詳解】第1個“三角形數”：1，第2個“三角形數”：1+2=3，第3個“三角形數”：1+2+3=6，第4個“三角形數”：1+2+3+3=10，第5個“三角形數”：1+2+3+4+5=15，第1個“正方形數”：1，第2個“正方形數”：22=4，第3個“正方形數”：32=9，第4個“正方形數”：42=16，第5個“正方形數”：52=25，∴15+25=40．故選：B．【點睛】本題主要考查了“三角形數”與“正方形數”，解決問題的關鍵是探究“三角形數”與“正方形數”的規律，運用規律求數．3．（2022·河北保定·七年級期末）觀察下列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第2022個圖形中共有______個五角星（

）A．6068 B．6067 C．6066 D．6065【答案】B【分析】第一個圖形五角星數目：1+3＝1+3×1，第二個圖形五角星數目：1+3+3＝1+3×2，第三個圖形五角星數目：1+3+3+3＝1+3×3，第四個圖形五角星數目：1+3+3+3+3＝1+3×4，……，得出第n個圖形五角星數目：1+3+3+?+3＝1+3×n，即可得出第2022個圖形中五角星數目．【詳解】解：∵第一個圖形五角星數目：1+3＝1+3×1，第二個圖形五角星數目：1+3+3＝1+3×2，第三個圖形五角星數目：1+3+3+3＝1+3×3，第四個圖形五角星數目：1+3+3+3+3＝1+3×4，……第n個圖形五角星數目：1+3+3+?+3＝1+3×n＝1＋3n，∴第2022個圖形中五角星數目為：1+3×2022＝6067．故選：B．【點睛】本題考查了圖形個數的規律，解題關鍵是根據已知圖形的變化規律找到第n個圖形個數表達式．4．（2022·遼寧本溪·七年級期末）如圖，第1個圖案是由灰白兩種顏色的六邊形地面磚組成的，第2個，第3個圖案可以看成是由第1個圖案經過平移而得，那么第個圖案中有白色六邊形地面磚的塊數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察圖形可知，第一個黑色地面磚由六個白色地面磚包圍，再每增加一個黑色地面磚就要增加四個白色地面磚．【詳解】解：∵第一個圖案中，有白色的是6個，后邊是依次多4個．∴第個圖案中白色六邊形個數為：6＋4（n?1）＝（4n＋2）個，故選：C．【點睛】本題考查利用平移設計圖形，主要培養學生的觀察能力和空間想象能力，解題的關鍵是發現規律：在第一個圖案的基礎上，多一個圖案，多4塊白色地磚．5．（2022·湖北鄂州·七年級期末）如圖所示的數表由1開始的連續自然數組成，觀察其規律：則第n行各數之和是（

）A．2n2＋1 B．n2-n＋1 C．(2n-1)(n2-n＋1) D．(2n＋1)(n2-n＋1)【答案】C【分析】根據題意可得每行的數的和等于每行數的個數與每行中間的數的乘積，且每行的第一個數為，最后一個數為，每行數的個數為，從而得到中間的數為，即可求解．【詳解】解：第1行的和為1；有1個數；第2行的和為：；有3=（2×2-1）個數；第3行的和為：，有5=（2×2-1）個數；第4行的和為：，有7=（4×2-1）個數；第5行的和為：，有9=（5×2-1）個數；……，由此發現，每行的數的和等于每行數的個數與每行中間的數的乘積，且每行的第一個數為，最后一個數為，每行數的個數為，∴中間的數為，∴第n行各數之和是．故選：C【點睛】本題主要考查了數字類規律題，明確題意，準確得到規律是解題的關鍵．6．（2022·山西九年級模擬）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數學家謝爾賓斯基制作出來的：把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的3個小正三角形再分別重復以上做法…將這種做法繼續進行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，每次挖去等邊三角形的面積的，剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的，然后根據有理數的乘方列式計算即可得解．【解答】解：圖2陰影部分面積＝1﹣，圖3陰影部分面積＝，圖4陰影部分面積＝，圖5陰影部分面積＝．故選：B．7.（2022·江蘇鎮江市·）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【答案】B【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出來，再結合值等于789，可求相應的n的值，即可判斷．【詳解】解：由題意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，則n不是整數，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，則n不是整數，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，則n是整數，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，則n不是整數，故B3的值不可以等于789；故選：B．【點睛】本題主要考查規律型：數字變化類，解答的關鍵是理解清楚題意，得出相應的式子．8．（2022·山東煙臺·期中）如圖，第個圖形需要的棋子數量是_________．（用含有的代數式表示）【答案】【分析】根據題意可得：第1個圖形需要的棋子數量是3=；第2個圖形需要的棋子數量是6=1+2+3=；第3個圖形需要的棋子數量是10=1+2+3+4=；第4個圖形需要的棋子數量是15=1+2+3+4+5=；……；由此發現規律，即可求解．【詳解】解：第1個圖形需要的棋子數量是3=；第2個圖形需要的棋子數量是6=1+2+3=；第3個圖形需要的棋子數量是10=1+2+3+4=；第4個圖形需要的棋子數量是15=1+2+3+4+5=；……由此發現，第個圖形需要的棋子數量是．故答案為：【點睛】本題主要考查了圖形類規律題，明確題意，準確得到規律是解題的關鍵．9．（2022·河北石家莊·八年級期中）用同樣大小的黑色棋子按圖1～圖4所示的規律擺放下去，那么，第5個圖形中黑色（不棋子個數為_____個；第n個圖形中黑色棋子的個數S與n的關系式為__________（不用寫出自變量n的取值范圍）．【答案】

64

【分析】第1個圖形中黑色棋子的個數為：，第2個圖形中黑色棋子的個數為：，第3個圖形中黑色棋子的個數為：，由此得到規律進行求解即可．【詳解】解：第1個圖形中黑色棋子的個數為：，第2個圖形中黑色棋子的個數為：，第3個圖形中黑色棋子的個數為：，∴第5個圖形中黑色棋子的個數為：；∴第n個圖形中黑色棋子的個數為：，故答案為：64；．【點睛】本題主要考查了與圖形有關的規律題，正確理解題意找到對應的規律是解題的關鍵．10．（2021·北京七年級期末）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，則S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．【答案】【分析】根據翻折變換表示出所得圖形的面積，再根據句各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積進行計算即可得解．【詳解】解：由題意得：……；∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；故答案為，．【點睛】本題主要考查圖形規律及有理數的運算，關鍵在于觀察各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積．11．（2022·山東青島·七年級期末）也許你認為數字運算是數學中常見而又枯燥的內容，但實際上，它里面也蘊藏著許多不為人知的奧妙，下面就讓我們來做一個數字游戲：第一步：取一個自然數，計算得；第二步：計算出的各位數字之和得，再計算得；第三步：計算出的各位數字之和得，再計算得；……依此類推，則_______．【答案】123【分析】根據游戲的規則進行運算，求出a1、a2、a3、a4、a5，再分析其規律，從而可求解．【詳解】解：∵a1＝n12+2＝32+2＝11，∴n2＝1+1＝2，a2＝n22+2＝22+2＝6，n3＝6，a3＝n32+2＝62+2＝38，n4＝3+8＝11，a4＝n42+2＝112+2＝123，n5＝1+2+3＝6，a5＝n52+2＝62+2＝38，……∴從第3個數開始，以38，123不斷循環出現，∵（2020﹣2）÷2＝1009，∴a2020＝a4＝123．故答案為：123．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的規則得到存在的規律．12．（2022·河南鄭州·七年級期末）觀察按下列順序排