1.2應用舉例

例1.設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離.測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B兩點間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形CBA解：根據正弦定理，得答：A,B兩點間的距離為65.7米.CBA

例2.

如圖A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間的距離的方法。分析：用例1的方法，可以計算出河的這一岸的一點C到對岸兩點的距離，再測出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以計算出A、B兩點間的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，并且在C、D兩點分別測得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°.

在⊿ADC和⊿BDC中，應用正弦定理得測得CD=40m,這樣在⊿ABC中,∠BCA=60°,由余弦定理得：答：A,B兩點間的距離為米.解2：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，并且在C、D兩點分別測得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°.

在⊿ADC和⊿BDC中，應用正弦定理得測得CD=40m,這樣在⊿ABD中,∠BDA=60°,由余弦定理得：答：A,B兩點間的距離為米.

例2.

如圖A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間的距離的方法。想一想：還有沒有別的測量方法.

例3.

AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法.分析：由于建筑物的底部B是不可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高.

由解直角三角形的知識，只要能測出一點C到建筑物的頂部A的距離CA,并測出由點C觀察A的仰角,就可以計算出建筑物的高。所以應該設法借助解三角形的知識測出CA的長。解：選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點在同一條直線上。

例3.

AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法.由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α,β，CD=a,測角儀器的高是h.

那么，在⊿ACD中，根據正弦定理可得例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=，在塔底C處測得A處的俯角=。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)例4.一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.(精確到1m).分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。解：在⊿ABC中，∠A=15°,∠C=25°－15°=10°.由正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m).答：山高約1047米.

根據已知條件，可以計算出BC的長。例6.一艘海輪從A出發，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發到達C,此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1°,距離精確到0.01nmile）?解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－7