§2.2橢圓及其標準方程

用一個平面去截一個圓錐面，當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；

當平面與圓錐面的軸垂直時，截線（平面與圓錐面的交線）是一個圓．

當改變截面與圓錐面的軸的相對位置時，觀察截線的變化情況，并思考：●用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？

橢圓雙曲線拋物線生活中的橢圓

神舟六號在進入太空后，先以遠地點347公里、近地點200公里的橢圓軌道運行，后經過變軌調整為距地343公里的圓形軌道.太陽系

拱橋的橋拱采用基于橢圓的優化設計，無論從力學原理，還是從施工角度考慮都是優越于傳統的圓弧型和拋物線型的。中國水利水電科學研究院研究表明：探究：橢圓有什么幾何特征？動手試一試1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1、橢圓的定義：M

平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。注意：[3]常數要大于焦距[2]動點M與兩個定點F1和F2的距離的和是常數

[1]平面內----這是大前提思考：是否平面內到兩定點之間的距離和為定長的點的軌跡就是橢圓？

結論：（若

PF1＋PF2為定長）１）當動點Ｐ到定點F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2>F1F2時，P點的軌跡是橢圓。２）當動點Ｐ到定點F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2＝

F1F2時，P點的軌跡是一條線段F1F2

。３）當動點Ｐ到定點F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2<F1F2時,Ｐ點沒有軌跡。求曲線方程的一般步驟？設點建系列式代坐標化簡、驗證怎樣建立平面直角坐標系呢？2、橢圓的標準方程橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1、F2的距離的和為2a叫做橢圓的標準方程，焦點在x軸上。

焦點在y軸上，可得出橢圓它也是橢圓的標準方程。12yoFFMx12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)橢圓的標準方程求法：一定焦點位置；二設橢圓方程；三求a、b的值.橢圓的標準方程兩種標準方程a>b>0,a>c>o,a2=b2+c2.x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上.思考一:橢圓的標準方程中三個參數a、b、c的關系怎樣?思考二:如何由標準方程判定焦點位置?例1、已知橢圓的方程為：則a＝____，b＝____，c＝___，焦點坐標為：___，焦距等于____。該橢圓上一點P到焦點F1的距離為8，則點P到另一個焦點F2的距離等于______。1068(0,-8)、(0,8)1612練1判斷下列各橢圓的焦點位置，并說出焦點坐標、焦距。

（1）y軸（0,1）（0,-1）

（2）x軸2、將所表示的橢圓繞原點旋轉90度，所得軌跡的方程是什么？練習3.動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是10，則動點P的軌跡為（）變式：(1)動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是8，則動點P的軌跡為（）(2)動點P到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離和是7，則動點P的軌跡為（）A.橢圓B.線段F1F2C.直線F1F2D.無軌跡ABD例2．橢圓的兩個焦點的坐標分別是（－4，0）（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10，求橢圓的標準方程。12yoFFMx.解：∵橢圓的焦點在x軸上∴設它的標準方程為:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標準方程為

3？思考一個問題:把“焦點在y軸上”這句話去掉，怎么辦？

定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動點的軌跡方程.

待定系數法：所求曲線方程的類型已知，則可以設出所求曲線的方程，然后根據條件求出系數.用待定系數法求橢圓方程時，要“先定型，再定量”.求橢圓方程的一般方法：練.方程表示的曲線是橢圓，求k的取值范圍.變式：（1）方程表示焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍.（2）方程表示焦點坐標為（±2，0）的橢圓，求k的值.k>0且k≠5/4

k>5/4k＝1/4

練習、將圓x2+y2=上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線因為x′2+y′2=4,所以x2+4y2=4,即這就是變換后所得曲線的方程,它表示一個橢圓oxy解：設所得曲線上任一點P坐標為（x，y），圓x2+y2=4上的對應點P′的坐標為（x′,y′),由題意可得P′P?íì=