2023/11/6§2線性空間的定義與簡單性質§3維數·基與坐標§4基變換與坐標變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構§6子空間的交與和小結與習題第六章線性空間2023/11/6§6.7

子空間的直和§6.7子空間的直和一、直和的定義二、直和的判定三、多個子空間的直和2023/11/6§6.7

子空間的直和引入有兩種情形：由維數公式設為線性空間V的兩個子空間，此時

即，必含非零向量.

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子空間的直和情形2）是子空間的和的一種特殊情況直和此時

不含非零向量，即

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子空間的直和一、直和的定義設為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的，和就稱為直和，記作注:若有則①分解式唯一的，意即中每個向量的分解式2023/11/6§6.7

子空間的直和②分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立.例如，R3的子空間這里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.2023/11/6§6.7

子空間的直和而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事實上，對故是直和.

都只有唯一分解式：2023/11/6§6.7

子空間的直和二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式2023/11/6§6.7

子空間的直和充分性.故是直和.設，它有兩個分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.2023/11/6§6.7

子空間的直和2、和是直和則有即是直和.“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故2023/11/6§6.7

子空間的直和證：由維數公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）2023/11/6§6.7

子空間的直和總之，設為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)設U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個余子空間.則必存在一個子空間W，使2023/11/6§6.7

子空間的直和證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則余子空間一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設則但2023/11/6§6.7

子空間的直和5、設分別是線性子空間的一組基，則是直和線性無關.證：由題設，若線性無關，則它是的一組基.從而有2023/11/6§6.7

子空間的直和反之,若直和，則從而的秩為r＋s.所以線性無關.是直和.2023/11/6§6.7

子空間的直和1、定義中每個向量的分解式三、推廣多個子空間的直和都是線性空間V的子空間，若和是唯一的，則和就稱為直和，記作2023/11/6§6.7

子空間的直和四個條件等價:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設都是線性空間V的子空間，則下面1）是直和

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子空間的直和例1、每一個n

維線性空間都可以表示成

n

個一維子空間的直和.證：設是

n

維線性空間V的一組基,則

而

故得證.2023/11/6§6.7

子空間的直和例2、已知，設2）當時，證：1）任取有是的子空間.證明：1）是的子空間.2023/11/6§6.7

子空間的直和又對有從而有

故是的子空間.下證是的子空間.2023/11/6§6.7

子空間的直和又2）先證任取其中再證又是的子空間，2023/11/6§6.7

子空間的直和任取從而所以2023/11/6§6.7

子空間的直和練習1設V1、V2分別是齊次線性方程組①與②的證：解齊次線性方程組①，得其一個基礎解系①②解空間：證明:2023/11/6§6.7

子空間的直和再解齊次線性方程組②.由即得②的一個基礎解系考慮向量組2023/11/6§6.7

子空間的直和由于

線性無關，即它為Pn的一組基.又2023/11/6§6.7

子空間的直