湖南省古丈縣一中2023年數學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的周長等于10，，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.2．對于兩個平面、，“內有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現在距今五千年前長江下游地區的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為，有一點從點出發每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經過次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.4．數列中前項和滿足，若是遞增數列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.6．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.47．1202年，意大利數學家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數，則有(n＞2)，．設數列{an}滿足：an＝，則數列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.188．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.9．設、是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．某校開展研學活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現的結果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種11．橢圓與(0<k<9)的（）A.長軸的長相等B.短軸的長相等C.離心率相等D.焦距相等12．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.14．設函數（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.15．將某校全體高一年級學生期末數學成績分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現需要隨機抽取60名學生進行問卷調查，采用按成績分層隨機抽樣，則應抽取成績不少于60分的學生人數為_______________.16．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設數列的前項和為，且__________.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值20．（12分）已知等差數列的首項為2，公差為8.在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，，，，是從中抽取的若干項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，，令，求數列的前項和.21．（12分）已知函數，其中（1）當時，求函數的單調區間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.22．（10分）已知數列的前項和滿足（1）證明：數列為等比數列；（2）若數列為等差數列，且，，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據橢圓的定義進行求解即可.【詳解】因為的周長等于10，，所以，因此點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點的軌跡方程可以是，故選：A2、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有三個點到的距離相等，當這三個點不在一條直線上時，可得；當這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.3、B【解析】本題首先可根據題意列出次跳動的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達點的事件，最后根據古典概型的概率計算公式即可得出結果.【詳解】點從點出發，每次向右或向下跳一個單位長度，次跳動的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達點的事件有：（下，下，右），故到達點的概率，故選：B.4、B【解析】由已知求得，再根據當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.5、B【解析】直接根據圖表得到答案.【詳解】根據圖表：樣本數據均小于等于10，樣本數據均大于等于10，故；樣本數據波動大于樣本數據，故.故選：B.6、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C7、B【解析】由奇數+奇數＝偶數，奇數+偶數＝奇數可知，數列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n為偶數，其余項都為奇數，再根據an＝，即可求出數列{an}的前36項和【詳解】由奇數+奇數＝偶數，奇數+偶數＝奇數可知，數列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n為偶數，其余項都為奇數，∴前36項共有12項為偶數，∴數列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B8、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C9、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關系可得結論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關系可知，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：C.10、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據分步計數原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數原理知有種情況故選：D.11、D【解析】根據橢圓方程求得兩個橢圓的，由此確定正確選項.【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D12、D【解析】根據共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進而求出的值，即可求出結果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】由題設可得，結合等比數列的定義知從第二項開始是公比為2的等比數列，進而寫出的通項公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因為，所以，兩式相除得，整理得.因為，故從第二項開始是等比數列，且公比為2，因為，則，所以，則，由得：，故故答案為：11.14、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據的表達式和正弦函數的性質可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據三角形的面積公式即可【小問1詳解】已知則的最小正周期為：則的最大值為：【小問2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：15、48【解析】根據頻率分布直方圖，求出成績不少于分的頻率，然后根據頻數頻率總數，即可求出結果【詳解】根據頻率分布直方圖，成績不低于（分）的頻率為，由于需要隨機抽取名學生進行問卷調查，利用樣本估計總體的思想，則應抽取成績不少于60分的學生人數為人故答案為：16、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）若選①：根據，利用數列通項與前n項和的關系求解；若選②：構造利用等比數列的定義求解；（2）根據（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:若選①：，當時，，當時，滿足上式，故若選②：易得于是數列是以為首項，2為公比的等比數列，【小問2詳解】若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，可得，，，設平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質可得、，再根據線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）構建空間直角坐標系，設，結合已知確定相關點坐標，進而求面、面的法向量，結合已知二面角的余弦值求出參數t，再根據空間向量夾角的坐標表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設與平面所成的角為，又，，所以.20、（1）；（2）【解析】（1）由題意在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列，可知的公差，進而可求出其通項公式；（2）根據題意可得，進而得到，再代入中得，利用錯位相減即可求出前項和.【小問1詳解】由于等差數列的公差為8，在中每相鄰兩項之間插入三個數，使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列，則的公差，的首項和首項相同為2，則數列的通項公式為.【小問2詳解】由于，是等比數列的前兩項，且，，則，則等比數列的公比為3，則，即，.①.②.①減去②得..21、（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）①1；②證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，在定義域內，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）①分離參數得，令，利用函數的單調性求出的最大值即可；②由①知：，時取“=”