湖北省孝感市安陸市第一中學2023年高二數學第一學期期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數列{}中，已知=8，+=4，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.52．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.3．已知直線為拋物線的準線，直線經過拋物線的焦點，與拋物線交于點，則的最小值為（）A. B.C.4 D.84．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點，且，則（）A.4 B.2C. D.6．從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中偶數的個數為（）A.24 B.18C.12 D.67．九連環是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串，按一定規則移動圓環的次數決定解開圓環的個數.在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環所需的最少移動次數，若數列滿足，且當時，則解開5個圓環所需的最少移動次數為（）A.10 B.16C.21 D.228．已知函數，則（）A. B.C. D.9．已知隨機變量服從正態分布，，則（）A. B.C. D.10．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直11．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，12．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.14．二項式的展開式中，項的系數為__________.15．已知數列滿足，則其通項公式_______16．若圓C：與圓D2的公共弦長為，則圓D的半徑為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）任意，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）【2018年新課標I卷文】已知函數（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；（2）證明：當時，19．（12分）已知數列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；（2）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?21．（12分）設函數（1）求在處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值22．（10分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統，獨家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結果用含π的式子表示）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由等比數列性質求出公比，將原式化簡后計算【詳解】設等比數列{}的公比為，則＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故選：C2、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來3、D【解析】先求拋物線的方程，再聯立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因為直線為拋物線的準線，故即，故拋物線方程為：.設直線，則，，而，當且僅當等號成立，故的最小值為8，故選：D.4、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.5、B【解析】依題意可得，設，根據可得，，根據為拋物線上一點，可得.【詳解】依題意可得，設，由得，所以，，所以，，因為為拋物線上一點，所以，解得.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量加法的坐標運算，考查了求拋物線方程，屬于基礎題.6、C【解析】根據題意，結合計數原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據題意，要使組成無重復數字的三位數為偶數，則從0，2中選一個數字為個位數，有種可能，從1，3，5中選兩個數字為十位數和百位數，有種可能，故這個無重復數字的三位數為偶數的個數為.故選：C.7、D【解析】根據題意，結合數列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據題意，由，得.故選：D.8、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故選：B.9、B【解析】直接利用正態分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結果【詳解】根據隨機變量服從正態分布，所以密度曲線關于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題10、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B11、A【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A12、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負值舍去）故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值【詳解】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則，當且僅當，上式取得等號，可得的最小值為故答案為：【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的性質，主要是離心率，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用14、80【解析】利用二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為：，令，所以項的系數為，故答案為：8015、【解析】構造法可得，由等比數列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.16、【解析】首先根據圓與圓的位置關系得到公共弦方程，再根據弦長求解即可.【詳解】根據得公共弦方程為：.因為公共弦長為，所以直線過圓的圓心.所以，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的遞增區間為，遞減區間為（2）【解析】(1)先求出函數的導數，令、解出對應的解集，結合定義域即可得到函數的單調區間；(2)將不等式轉化為，令，利用導數討論函數分別在、時的單調性，進而求出函數的最值，即可得出答案.【小問1詳解】函數的定義域為，又當時，，當時，故的遞增區間為，遞減區間為.【小問2詳解】，即，令，有，，若，在上恒成立.則在上為減函數，所以有若，由，可得，則在上增，所以在上存在使得，與題意不符合綜上所述，.18、(1)a=；f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．(2)證明見解析.【解析】分析：(1)先確定函數的定義域，對函數求導，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數的解析式，之后觀察導函數的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數的增區間和減區間；(2)結合指數函數的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數g（x）=，利用導數研究函數的單調性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–由題設知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增（2）當a≥時，f（x）≥設g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點故當x>0時，g（x）≥g（1）=0因此，當時，點睛：該題考查的是有關導數的應用問題，涉及到的知識點有導數與極值、導數與最值、導數與函數的單調性的關系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數的生存權，先確定函數的定義域，之后根據導數與極值的關系求得參數值，之后利用極值的特點，確定出函數的單調區間，第二問在求解的時候構造新函數，應用不等式的傳遞性證得結果.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結合已知條件，即可容易求得通項公式；（2）根據（1）中所求，對數列進行裂項求和，即可求得.【小問1詳解】當時，.當時，，因為當時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，故數列的前項和.20、（1)1600,（平方米）；（2）池底設計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】（1）根據題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎題.21、（1）（2），【解析】（1）對函數求導，然后求出，，運用點斜式即可求出切線方程；（2）利用導數研究出函數在區間的單調性，即可求出函數在區間上的最大值與最小值【小問1詳解】，，，所以在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】，因為，所以與同號，令則，由，得，此時為減函數，由，得，此時為增函數，則，故，在單調遞增，所以