廣東省深圳市普通高中2024屆高二數學第一學期期末聯考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內 D.平行或在平面內2．在正項等比數列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2563．已知直線，兩個不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設其中一個切點為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且，點是的右支上一點，且，，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6．已知數列的通項公式是，則（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50527．某次生物實驗6個小組的耗材質量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數據的中位數是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.658．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.9．已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（）A B.C. D.10．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．已知實數，滿足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.12．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式是的解集為______14．從1，2，3，4，5中任取兩個不同的數，其中一個作為對數的底數a，另一個作為對數的真數b.則的概率為______.15．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點，若，則點到平面的距離為___________.16．曲線在點處的切線的方程為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數列中，已知且（1）求的通項公式；（2）設，求數列前項和18．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.19．（12分）已知拋物線C：上一點與焦點F的距離為（1）求和p的值；（2）直線l：與C相交于A，B兩點，求直線AM，BM的斜率之積20．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個作為：，使為真命題，求出實數a的取值范圍.①關于x的方程有兩個不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個解答計分.）21．（12分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經過坐標原點，求直線的方程及切點坐標.22．（10分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長；（2）圓M過點A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據題意，結合線面位置關系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關系是平行或在平面內故選：D2、C【解析】根據等比數列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.3、C【解析】對于A,可能在內，故可判斷A；對于B,可能相交，故可判斷B;對于C,根據線面垂直的判定定理，可判定C;對于D,和可能平行，或斜交或在內，故可判斷D.【詳解】對于A,除了外，還有可能在內，故可判斷A錯誤；對于B,，那么可能相交，故可判斷B錯誤；對于C,根據線面平行的性質定理可知，在內一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對于D，，，則和可能平行，或斜交或在內，故可判D.錯誤，故選：C.4、B【解析】設，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設，則，，，因為，所以，即，故選：B5、B【解析】畫出圖形，利用已知條件轉化求解，關系，利用，解得，即可得到雙曲線的方程【詳解】由題意雙曲線的圖形如圖，連接與軸交于點，設，，因為，所以，因為，所以，則，因為點是的右支上一點，所以，所以，則，因為，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，則，所以雙曲線的方程為：故選：B6、D【解析】根據已知條件，用并項求和法即可求得結果.【詳解】∵∴∴.故選：D.7、D【解析】將已有數據從小到大排序，根據中位數的定義確定該組數據的中位數.【詳解】由題設，將數據從小到大排序可得：，∴中位數為.故選：D.8、B【解析】根據圓的性質，結合圓的切線的性質進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B9、D【解析】根據導函數大于，原函數單調遞增；導函數小于，原函數單調遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數得圖象可得：時，，所以在單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.10、D【解析】由離心率求得，設出兩點坐標代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關系得結論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D11、B【解析】作出不等式組對應的平面區域，然后根據線性規劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對應的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動直線直線，可以看到當移動過點A時，在y軸上的截距最小,聯立，解得，當且僅當動直線即過點時，取得最小值為，故選：B12、C【解析】∵“”?“方程表示焦點在軸上的橢圓”，“方程表示焦點在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.14、##【解析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式以及對數的知識求得正確答案.【詳解】的所有可能取值為，，共種，滿足的為，，共種，所以的概率為.故答案為：15、【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】因為底面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故答案為：.16、【解析】求出導函數，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由等差數列基本量的計算即可求解；（2）由裂項相消求和法即可求解.【小問1詳解】解：由題意，設等差數列的公差為，則,，解得,；【小問2詳解】解：，.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設平面的法向量則，令，則，即，設平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.19、（1）（2）【解析】（1）結合拋物線的定義以及點坐標求得以及.（2）求得的坐標，由此求得直線AM，BM的斜率之積.【小問1詳解】依題意拋物線C：上一點與焦點F的距離為，根據拋物線的定義可知，將點坐標代入拋物線方程得.【小問2詳解】由（1）得拋物線方程為，，不妨設A在B下方，所以.20、答案見解析【解析】根據題意，分析、為真時的取值范圍，又由復合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據此分析可得答案.【詳解】解：選①時由知在上恒成立，∴，即又由q：關于x的方程有兩個不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實數a的取值范圍.選②時由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當且僅當時取“=”號，∴，由為真命題知，解得.實數a的取值范圍.21、(1)；(2)直線的方程為，切點坐標為.【解析】（1）先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式得結果，（2）設切點，根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，再根據切線過坐標原點解得結果.【詳解】（1）.所以在點處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設切點為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點坐標為.【點睛】本題考查導數幾何意義以及利用導數求切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據已知條件，結合垂徑定理，以及點到直線的距離公式，即可求解（2）根據已知圓的方程，令y＝0，結合韋達定理，求出圓心的橫坐標，即可求