廣東省惠州市惠州中學2023-2024學年高二上數學期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.2．已知是等比數列，，，則（）A. B.C. D.3．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．正三棱錐的側面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，6．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.7．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯構成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現故障的概率為（）A. B.C. D.8．散點圖上有5組數據：據收集到的數據可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.29．動點P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.10．設函數，則（）A.4 B.5C.6 D.711．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或12．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若在定義域內有兩個零點，那么實數a的取值范圍為___________.14．拋物線的焦點坐標為___________.15．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.16．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等比數列的各項均為正數，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列前項和.18．（12分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點M，使得三角形MAB的面積為，求點M的坐標19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長20．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系，經過調查得到如下數據：間隔時間x/分101112131415等候人數y/人232526292831調查小組先從這6組數據中選取4組數據求線性回歸方程，再用剩下的2組數據進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數，再求與實際等候人數y的差，若差值的絕對值都不超過1，則稱所求方程是“恰當回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數據，求y關于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”.（2）假設該起點站等候人數為24人，請你根據（1）中的結論預測車輛發車間隔多少時間合適?附：對于一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為21．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標原點）22．（10分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.2、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數的通項公式，則可求出，得數列是一個等比數列，然后利用等比數的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數列是一個等比數列.所以=.故選：D3、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.4、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側面都是直角三角形，E，F分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面PEF的法向量，則，取，得，設PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.5、A【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.6、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A7、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，進而結合對立事件的概率公式得，再根據條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A8、C【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C9、B【解析】設，根據兩點間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據圓的幾何性質，即可得答案.【詳解】設，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B10、D【解析】求出函數的導數，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.11、D【解析】設圓心坐標，由點到直線距離公式可得或，進而求得答案【詳解】設圓心坐標，因為圓與直線相切，所以由點到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程，屬于一般題12、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求定義域，再求導，針對分類討論，結合單調性，極值，最值得到，研究其單調性及其零點，求出結果.【詳解】定義域為，，當時，恒成立，在單調遞減，不會有兩個零點，故舍去；當時，在上，單調遞增，在上，單調遞減，故，又因為時，，時，，故要想在定義域內有兩個零點，則，令，，，單調遞增，又，故當時，.故答案為：14、【解析】化成拋物線的標準方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點坐標為.故答案為：15、【解析】根據球的體積公式計算可得；【詳解】解：因為球的半徑，所以球的體積；故答案為：16、【解析】取的中點G，連接FG，BG，FB，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據是側面內一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，FB，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意求出首項和公比即可得出通項公式；（2）可得是等差數列，利用等差數列前n項和公式即可求出.【詳解】解：（1）設等比數列的公比為，則，由題意得，解得，因此，；（2），則，所以，數列是等差數列，首項，記數列前項和為，則.18、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點式求AB所在直線的斜率，結合點坐標求AB的垂直平分線，根據已知確定圓心、半徑即可得圓C的方程；（2）求AB所在直線方程，幾何關系求弦長，由三角形面積求點線距離，設M所在直線為，由點線距離公式列方程求參數，進而聯立直線與圓C求M的坐標【小問1詳解】由題意知，AB所在直線的斜率為，又，中點為，所以線段AB的垂直平分線為，即，聯立，得，半徑，所以圓C的方程為.【小問2詳解】由題意，AB所在直線方程為，即，圓心到直線AB的距離為，故，因為三角形MAB的面積為，則點M到直線AB的距離為，設點M所在直線方程為，所以，所以或，當時，聯立得：或，當時，聯立，無解；所以或19、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問根據面面垂直的性質和線面垂直的性質得出線線垂直的結論，注意在書寫的時候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關系，得出向量的坐標，根據線面平行得出向量垂直，利用其數量積等于零，求得結果.（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，且平面平面，因為⊥，且平面所以⊥平面因為平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因為，，，所以，所以⊥.所以，建立空間直角坐標系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即，令，則.設二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因為點在棱，所以，因為，所以，.又因為平面，為平面的一個法向量，所以，即，所以所以，所以.20、（1），是“恰當回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計、時的值，結合“恰當回歸方程”的定義判斷是否為“恰當回歸方程”.（2）根據（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問1詳解】中間4組數據是：間隔時間（分鐘）11121314等候人數（人）25262928因為，所以，故，又，所以，當時，，而；當時，，而；所以所求的線性回歸方程是“恰當回歸方程”；【小問2詳解】由（1）知：當時，，所以預測車輛發車間隔時間10分鐘較合適.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據拋物線的定義以及拋物線通徑的性質可得，從而可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結合韋達定理可得的值，由點到直線的距離公式，根據三角形面積公式可得，從而可得結果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點O到直線l的距離，所以，解得，即【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系的相關問題，意在考查綜合利用所學知識解決問題能力和較強的運算求解能力，其常規思