甘肅省嘉峪關市酒鋼三中2023-2024學年高二數學第一學期期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．直線：和圓的位置關系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切3．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.34．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.5．設是區間上的連續函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區間上可能沒有極值點D.在區間上可能沒有最值點6．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統民間藝術之一.如圖是一個窗花的圖案，以正六邊形各頂點為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現從該正六邊形中任取一點，則此點取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.7．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.8．已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．在平面直角坐標系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為（）A. B.C.1 D.10．德國數學家萊布尼茨是微積分的創立者之一，他從幾何問題出發，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數f（x）的導函數，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.11．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，12．如圖，在三棱錐中，點E在上，滿足，點F為的中點，記分別為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體,點在底面內運動,且始終保持平面,設直線與底面所成的角為,則的最大值為______.14．已知函數有三個零點，則實數的取值范圍為___________.15．曲線圍成的圖形的面積是__________16．如圖，在四棱錐中，O是AD邊中點，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求證：平面POC；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若存在實常數k和b，使得函數和對其公共定義域上的任意實數x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數，.（1）證明函數在內單調遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.18．（12分）已知函數的圖像為曲線，點、.（1）設點為曲線上在第一象限內的任意一點，求線段的長（用表示）；（2）設點為曲線上任意一點，求證：為常數；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請研究雙曲線的性質（從對稱性、頂點、漸近線、離心率四個角度進行研究）.19．（12分）如圖，P為圓上一動點，點A坐標為，線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）過點A的直線l交E于C，D兩點，若△BCD內切圓的半徑為，求直線l的方程.20．（12分）已知函數（1）解關于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實數的取值范圍21．（12分）某保險公司根據官方公布的歷年營業收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據已有的函數知識，某同學選用二次函數模型（b和a是待定參數）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數據見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據表中數據，建立y關于t的回歸方程（系數精確到個位數）；（2）根據（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業收入，以及營業收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數據：.22．（10分）已知命題：“曲線表示焦點在軸上的橢圓”，命題：“曲線表示雙曲線”.（1）若是真命題，求實數的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先由等面積法求得的長，再以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，運用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點，過點作于，則平面，則，設，則，則根據三角形面積得，代入解得以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系則，，設平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：2、C【解析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關系【詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關系是相交，故選C【點睛】本題考查的重點是直線與圓的位置關系，解題的關鍵是確定直線恒過定點，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在3、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.4、D【解析】根據條件設，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標準方程為.故選：D5、C【解析】根據連續函數的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據函數的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數在區間上單調，則函數在區間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數的極值與最值的概念辨析，屬于容易題6、D【解析】求得陰影部分的面積，結合幾何概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】設正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D7、B【解析】根據導數運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B8、D【解析】由在上恒成立，再轉化為求函數的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數，則在上恒成立，即，，當時，，所以故選：D9、D【解析】根據給定條件求出拋物線C的焦點、準線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準線的距離為.故選：D10、C【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C11、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.12、B【解析】利用空間向量加減、數乘的幾何意義，結合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設，，，，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出立體圖形,因為面面,在底面內運動,且始終保持平面,可得點在線段上運動,因為面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內運動,且始終保持平面可得點在線段上運動,面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當最短時,,即最大,即角最大設正方體的邊長為,故故答案為:【點睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點問題時,應畫出圖形,尋找幾何關系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.14、【解析】由題意可得與的圖象有三個不同的交點，經判斷時不符合題意，當時，時，兩個函數圖象有一個交點，可得時與的圖象有兩個交點，等價于與的圖象有兩個不同的交點，對求導，數形結合即可求解.【詳解】令可得，若函數函數有三個零點，則可得方程有三個根，即與的圖象有三個不同的交點，作出的圖象如圖：當時，是以為頂點開口向下的拋物線，此時與的圖象沒有交點，不符合題意；當時，與的圖象只有一個交點，不符合題意；當時，時，與的圖象有一個交點，所以時與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等的實根，即方程有兩個不等的實根，可得與的圖象有兩個不同的交點，令，則，由即可得，由即可得，所以在單調遞增，在單調遞減，作出其圖象如圖：當時，，當時，可得與的圖象有兩個不同的交點，即時，函數有三個零點，所以實數的取值范圍為，故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.15、【解析】當，時，已知方程是，即．它對應的曲線是第一象限內半圓弧（包括端點），它的圓心為，半徑為.同理，當，；，；，時對應的曲線都是半圓?。ㄈ鐖D）．它所圍成的面積是.故答案為16、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意，證明BCOA是平行四邊形，從而可得，然后根據線面平行的判斷定理即可證明；（2）證明BCDO是平行四邊形，從而可得，由題意，可建立以為軸建立空間直角坐標系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.【小問1詳解】證明：由題意，又，所以BCOA是平行四邊形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小問2詳解】解：，，所以BCDO是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，設平面ABP的一個法向量為，則，取x=1，則，，所以，設直線PC與平面PAB所成角為，則，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導數得出在上的單調性；（2）設和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設條件得出對任意恒成立，再由二次函數的性質求解即可.【小問1詳解】，當時，在上單調遞增在內單調遞增【小問2詳解】設和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對任意恒成立，即對任意恒成立由對任意恒成立，得當時，則有符合題意；當時，則有對任意恒成立的對稱軸為又的對稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點睛】關鍵點睛：在解決問題一時，求了一階導得不了函數的單調性，再次求導得，進而得出在恒成立，得在上的單調性.18、（1）；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）由兩點間的距離公式求出距離，進而將式子化簡即可；（2）求出，進而討論兩種情況，然后結合基本不等式即可證明問題；（3）根據為雙曲線的焦點，結合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關性質.【小問1詳解】由題意，.【小問2詳解】設，由（1），.若x>0，則，當且僅當時取“=”，則，，所以.若x<0，則，當且僅當時取“=”，則，，所以.綜上：，為常數.【小問3詳解】易知函數：為奇函數，則其圖象關于原點對稱.由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點，則它關于直線對稱，還關于與垂直且過原點的直線對稱.，則，易得.綜上：雙曲線關于原點（0,0）對稱，且關于直線對稱.容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實軸，將代入雙曲線解得頂點：.于是實軸長為焦距為，則離心率.19、（1）（2）【解析】（1）連接，由，利用橢圓的定義求解；（2）設點，，直線的方程為，與橢圓聯立，結合韋達定理，利用等面積法求解.【小問1詳解】解：連接，由題意知：，，即的軌跡為橢圓，其中，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設點，，直線的方程為，與橢圓聯立，消去整理得，顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為，則的面積，又由，得，從而得，即，整理得，解得，故，故直線的方程為.20、（1）當時，或；當時，；當時，或（2）【解析】（1）由題意得對的值進行分類