第八章1.一個基于無紅利股票的一年期的歐式看跌期權，執行價格為25歐元，期權的即期交易價格為3.19歐元。股票的即期價格為23歐元，它的年波動率為30%。年無風險收益率為5%。那么基于相同股票的歐式看漲期權的價格是多少？以連續復利計算。解：根據看跌看漲平價，c=p+S-Xe-r(T-t)=3.19+23-25e-0.05*1=2.409美元2.一個無紅利支付股票的美式看漲期權的價格為$4。股票價格為$31，執行價格為$30，3個月后到期。無風險利率為8%。請推出相同股票、相同執行價格、相同到期日的美式看跌期權的價格上下限。解：由公式S-X<S-Xe-r(T-t)，可得：31－30<4－P<31－30e-0.25*0.08即1.00<4.00－P<1.59，該美式看跌期權的價格上下限為：2.41<P<3.003.你現在要對一個兩年期執行價格為45美元的歐式看漲期權定價。已知初始股票價格為50美元，連續無風險利率為3%。為了確定該期權的價格范圍，你考慮計算價格的上下限。那么該期權價格的上界與下界的差是多少？解：價格的上界是S=50，下界c>S-Xe-r(T-t)=50-45e-0.03*2=7.62美元那么上下界的差為50-7.62=42.38美元4.列舉影響期權價格的6個因素，并簡述其影響的機理。解：影響期權價格的6個因素有：標的資產價格、期權的執行價格、無風險利率、資產價格的波動率、期限以及持有期間收益。5.請解釋為什么對歐式看漲期權與看跌期權之間平價關系的討論用于美式期權不可能得到相同的結論。解：當不可提前執行時，我們可認為若兩資產價值在T期相同，則在前幾期也應相同。當可提前執行，以上論述則不成立。假設：P+S>C+Xe-rT，這并不存在套利機會。因為如果我們買看漲期權，賣空看跌期權并賣空股票，我們并不能確定其結果，因為我們并不確定看跌期權是否會被執行。6.一個期限為4個月的無紅利支付股票的歐式看漲期權現價為$5。股票價格為$64，執行價格為$60，一個月后發紅利$0.80。對所有期限的無風險年利率為12%。對套利者而言存在什么樣的機會？解：執行價格現值為60e-0.3333*0.12=$57.65,紅利現值為0.8e-0.08333*0.12=$0.7。因為5<64?57.65?0.79，所以，應買看漲期權的同時賣空股票，則無論如何，均將獲利。1）如果股價降到低于$60，套利者將在期權損失$5，但從空頭股票上至少可獲得64?57.65?0.79=$5.56（現值）利潤。2）如果到期日股價高于$60，套利者可獲5.56－5.00＝$0.56(現值)利潤。7.請直觀的解釋為什么當無風險利率上升且波動率減少時，提前執行美式看跌期權變得很有吸引力。解：當執行價格的利息（時間價值）大于保險價值損失時，提前執行美式看跌期權更具吸引力。1）當利率上升，執行價格的利息（時間價值）增加，這會使提前執行更具吸引力。2）當波動率減少，保險價值下降，也使提前執行更具吸引力。8.執行價格為$30，6個月后到期的歐式看漲期權的價格為$2，標的股票的價格為$29，2個月后和5個月后分紅利$0.5。期限結構為水平，無風險利率為10%。執行價格為$30，6個月后到期的歐式看跌期權的價格為多少？解：由看漲－看跌期權平價公式：C+Xe-r(T-t)+D=P+S,則有：P=C+Xe-r(T-t)+D?Sp=2+30e-0.5*0.1+0.5e-0.1667*0.1+0.5e-0.4167*0.1?29=2.51所以6個月后到期的歐式看跌期權價格為$2.519.在習題8中，如果歐式看跌期權的價格為$3，請說明存在什么樣的套利機會？解：若上題中，歐式看跌期權為$3，套利者可買入看漲期權、賣空看跌期權、賣空股票進行套利。無論在何種情形中，均可將利潤鎖定在3.00－2.51＝$0.49的現值水平。10.執行價格為$20，3個月后到期的歐式看漲期權和歐式看跌期權，售價都為$3。無風險年利率為10%，股票現價為$19，預計1個月后發紅利$1。請說明對投資者而言，存在什么樣的套利機會。解：因為P+S=3+19=22，而C+Xe-r(T-t)+D=3+20*e-0.10*0.25+1*e-0.10*0.0833=23.50所以，P+S>C+Xe-r(T-t)+D。因而存在套利機會，可通過買看跌期權，賣空股票及看漲期權來進行套利。11.“提前執行美式看跌期權是在貨幣的時間價值與看跌期權的保險價值之間的權衡。”請解釋這句話。解：美式期權能為其標的股票提供保險，它可使股票以執行價格X出售。如果期權提早執行，則保險消失，但期權多頭立即獲得股票價格，并可獲得提早執行日至到期日間資金X的時間價值。12.請給出兩個原因說明為什么早執行無紅利支付股票的美式看漲期權不是最好的。第一條原因應包括貨幣時間價值。第二條原因在利率為零時也成立。解：1）推遲執行可推遲支付期權的執行價格，期權持有者可賺取執行價格更長時間的時間價值；2）推遲執行可提供保值價值，避免執行日時股價低于執行價格。假設期權購買者有現金X，且利率為0。提早執行會使期權購買者頭寸在到期日為S,而推遲執行買方頭寸在到期日則為max（X,S）13.討論題股票期權是指給一個員工以一定的行權價格(一般是一個很低的價格),在一段時間里買入公司普通股的權利。公司在剛起步的時候,付不起很高的工資,而且要員工放棄原有穩定的工作,這個時候期權就對員工有很大的激勵作用。除了可以“吸引”員工加入之外,期權還可以起到“留住”員工的作用。一個員工如果拿了工資或者獎金,然后離開公司,對公司肯定有損害,但對員工自己沒有損害。員工如果拿了期權,情況就不一樣了:首先,期權需要幾年(一般是3~5年)才會被授予,早走就少拿。如果是5年綁定期,他工作了2年就走,只能拿五分之二。其次,一般的期權協議規定,辭職的員工在離職后90天內必須行使期權,過期作廢,這樣即使是一分錢、一角錢的美元期權,如果是幾萬股,員工也可能要拿出上萬元人民幣才能拿到這些普通股。在公司上市前,這些普通股是不流通的,只是一張白紙而已,所以對很多員工來講,買不買是一個困難的決定。第三,一個重要的員工走了,對公司造成損失,同樣他作為股東也要承受這些損失,這也會成為促使一個員工留在公司的原因之一,或者至少不太可能離開公司到競爭對手那里去,做出對公司有害的事情。在實際中,創業者經常會遇到這樣的問題:第一，最常見的問題是“給多少”。第二大問題是期權授予期限的問題，是3年、4年還是5年?第三大問題是期權授給多少人。第四大問題是行權價格該定多少。股票期權是小公司能夠吸引人才并且留住人才的最大法寶,而人是公司成功最重要的因素。答：《上市公司股權激勵辦法（試行）》對數量規定：上市公司全部有效的股權激勵計劃所涉及的標的股票總數累計不得超過公司股本總額的10%。非經股東大會特別決議批準，任何一名激勵對象通過全部有效的股權激勵計劃獲授的本公司股票累計不得超過公司股本總額的1%。有效期包含等待期和行權期。等待期是指自期權頒發后，職工需要在公司任職滿一定時間之后，期權的承諾才開始生效，等待期通常從1年到3年不等。行權的期限，指的是自期權生效后，職工能夠在必定的時刻內真實行使期權。普華永道的研究發現，從全球到我國，期權的有效期都呈現出縮短的趨勢。以往大多企業將有效期設定在10年甚至更多，如今設定在5年到7年的實踐會更多一些。一個重要原因是，影響期權估值的一個重要因素是行權期，有效期越長，經過等待期后，那么行權期就越長，期權的估值相應越大，也意味著公司的財務成本越高。所以公司開始恰當縮短有效期，在保持鼓勵作用的前提下合理計劃公司的財務成本。激勵對象一般為在公司領取報酬的董事（不含獨立董事）、高級管理人員、中層管理人員、核心技術、業務人員等，也有公司僅將董事、高級管理人員列為激勵對象。有些公司預留部分限制性股票、股票期權給將來引進的關鍵崗位人員。員工在行使期權的時按某一既定價格購買股票。行權價格定得越低也就意味著期權的價值越高，公司將會承擔越高的財務成本，這樣對公司的報表影響也越大。同時，在行權價格上也需要遵從上市法規中的相關要求。影響期權估值的要素有很多，包含公司現在股票報價情況，無風險利率的情況，行權期的長短等，許多要素都會影響到期權定價。關于期權定價，現在國內許多公司都在用Black-Scholes模型。《上市公司股權激勵辦法（試行）》規定，上市公司授予的行權價格不應低于下列價格較高者：股權激勵計劃草案摘要公布前一個交易日的公司標的股票收盤價，股權激勵計劃草案摘要公布前30個交易日內公司標的股票的平均收盤價。14.試證明有收益的資產的美式看漲期權與看跌期權的價格之間關系：S-D-K≤C-P≤S-D-Ke-r(T-t)。證明：首先驗證無收益歐式看漲期權與歐式看跌期權之間的平價關系。構造如下兩個資產組合:組合A:一份歐式看漲期權加上金額為的現金;組合B:一份有效期和協議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產。期權到期時，兩組合的價值都為。由于歐式期權不能提前執行，因此在t時刻兩組合必須具有相等的價值：這就是無收益歐式看漲期權與歐式看跌期權之間的平價關系。對于美式期權，由于，由(1)式可得對于無收益資產美式看漲期權來說，由于c=C，因此即為了推導出更嚴密的C與P的關系，考慮以下兩個資產組合：組合C：一份歐式看漲期權加上金額為K的現金組合D：一份美式看跌期權加上一單位標的資產如果美式期權沒有被提前執行，T時刻組合D的價值為組合C的價值為，組合C的價值大于組合D。若在τ時刻美式期權被提前執行，則在τ時刻組合D的價值為K，組合C的價值大于等于，因此組合C的價值也大于組合D。也就是說，無論美式期權是否被提前執行，組合C的價值都大于組合D，因此在t時刻，組合C的價值也應大于組合D，即：由于c=C，則綜上可得，對于有收益的美式看漲期權與美式看跌期權之間的價格關系，我們只需將組合C中的現金改為D+K，即可得：15.股票價格為52美元，無風險年利率為10%，一個基于這個股