本文格式為Word版，下載可任意編輯——坐標變換總結Clark變換和Park變換一個坐標系的坐標變換為另一種坐標系的坐標的法則。

由于交流異步電動機的電壓、電流、磁通和電磁轉矩各物理量之間是相互關聯的強耦合，并且其轉矩正比與主磁通與電流，而這兩個物理量是隨時間變化的函數，在異步電機數學模型中將出現兩個變量的乘積項，因此，又為多變量，非線性系統（關鍵是有一個繁雜的電感矩陣），這使得建立異步電動機的確鑿數學模型相當困難。為了簡化電機的數學模型，需從簡化磁鏈入手。

解決的思路與基本分析：

1.已知，三相(ABC)異步電動機的定子三相繞組空間上互差120度，且通以時間上互差120度的三相正弦交流電時，在空間上會建立一個角速度為?1的旋轉磁場。

又知，取空間上相互垂直的（?，?）兩相繞組，且在繞組中通以互差90度的兩相平衡交流電流時，也能建立與三相繞組等效的旋轉磁場。此時的電機數學模型有所簡化。2.還知,直流電機的磁鏈關系為：F勵磁繞組

軸線主磁通的方向，即軸線在d軸上,稱為直軸(Directaxis)。A電樞繞組

軸線由于電樞繞組是旋轉的，通過電刷饋入的直流電產生電樞磁動勢，其軸線始終被限定在q軸，即與d軸成90度，稱為交軸(Quadratureaxis)。

由于q軸磁動勢與d軸主磁通成正交，因此電樞磁通對主磁通影響甚微。換言之，主磁通唯一地由勵磁電流決定，由此建立的直流電機的數學模型十分簡化。

假使能夠將三項交流電機的物理模型等效的變換成類似的模型，分析和控制就變得大大簡單了。

電機模型彼此等效的原則：不同坐標系下產生的磁動勢(大小、旋轉）完全一致。

關于旋轉磁動勢的認識：

1)產生旋轉磁動勢并不一定非要三相繞組不可。結論是：

除了單相電機之外，兩相、三相或四相等任意對稱（空間）的多相繞組，若通以平衡的多相電流，都可產生旋轉磁動勢。

根據這一道理，利用其在空間上互差90度的靜止繞組，并通以時間上互差90度的平衡交流電流，同樣可產生旋轉磁場（或磁動勢F），因而可等效代替三相繞組的作用。這就是ABC——??(3-2)變換的思路。

2)進而認識到，若直流電機電樞繞組以整體同步速度旋轉，使其相互正交或垂直的繞組M，T分別通以直流電流，產生的合成磁動勢F相對于繞組是固定不變的，但從外部看，它的合成磁動勢也是旋轉的。因此還可產生??——dq(2-2)變換。

矢量變換控制的基本思想：通過數學上的坐標變換方法，把交流三相繞組中的電流變換為兩相靜止繞組中的電流。可以使數學模型的維數降低，參變量之間的耦合因子減少，使系統數學模型簡化。

以產生同樣的旋轉磁動勢為準則，可以用以下關系來表示三相交流繞組空間互差120，通以時間上互差120的三相平衡交流電兩相交流繞組空間互差90，通以時間上互差90的兩相平衡交流電整體旋轉直流繞組空間互差90，分別通以直流電流，且整個鐵心以同步速度旋轉（即磁動勢與坐標系一起旋轉）

所謂坐標變換的方法就是用一組新的變量來代替原方程中的一組變量，使得原方程（數學模型）得以簡化（弱化強耦合或解耦）。

1．變換原則功率不變約束條件設電壓方程為u=Zi

新定義的變量為

u'、i'

設電壓變換矩陣為Cu，電流變換矩陣為Ci，則變換前后的電壓和電流關系式為

u?Cuu'i?Cii'

假設變換前后功率不變，即

P?iTuP'?i'Tu'P?P'iTu?i'Tu'

經代入整理后，有CiTCu?E

為簡化變換陣，一般取Cu?Ci?C代入上式，則有CC?E

TCT?C?1

式中，C為單元變換矩陣，這種變換屬于正交變換。

滿足上述功率不變約束條件的正交變換實現了簡化的統一變換關系。2．(3s/2s變換)三相靜止軸系A-B-C到兩相靜止軸系???的變換為便于分析，取三相繞組匝數相等：

NA?NB?NC?N3

并取兩相繞組匝數也相等，N??N??N2

可得到，兩相繞組的旋轉磁動勢與三相繞組的磁動勢等效表達式：

N?i??NAiA?NBiBcos120??NCiCcos240?N?i??0?NBiBsin120??NCiCsin240?

從而找出3/2磁動勢等效下的兩種電流間的對應關系及其變換矩陣，

?i??N?1cos120?i??N?0sin120????32???icos240??i??sin240???i??ABC?????

（為保證推導的嚴謹性，在非方陣中引入一個獨立變量，稱為零軸電流。當定子繞組為Y形接線時，可在變換矩陣中消去該獨立因子）經推導整理可以得到3/2變換表達式，

1?1??i??2?2???i?33????0?21??i?A?2?i?3??B???i??2??C??已知無零線Y形接線時，iA?iB?iC?0，則有ic??iA?iB。代入上式進而可簡化為：

?3?2?i????1?i??????2?2??i?3?i???????16?AB?0??i?????i2????AB?0??i????1??i???2?

上式對電壓和磁鏈也成立。

3．(2s/2r變換)二相靜止軸系?，?到二相旋轉軸系d，q的變換

假使有兩個相互垂直的繞組，在兩繞組中分別通以直流電流，并且將此固定磁場以同樣的角速度旋轉，則兩相旋轉繞組產生的合成磁場也是一個旋轉磁場。再進一步使兩繞組軸線與三相繞組（或與兩相靜止繞組的軸線同方向）的旋轉磁場方向一致。由此即可用兩個直流分量來替代三相交流電。這可進一步簡化參變量間的關系。

設兩相靜止坐標系與兩相旋轉坐標系間的夾角為（且隨時間變化）

???1t??0

由兩相靜止軸系與兩相旋轉軸系的等效磁動勢表達式可以得到變換關系，

?i?i?dq??sin?????cos????cos???i?????i?sin?????

當定子三相電流為：

iA?Imsin(?1t??)2?iB?Imsin(?1t???)34?iC?Imsin(?1t???)3代入3/2變換式，有

?id??sin(?1t??)??i??Im2???cos(?t??)1???q?其中

Im2?3Im2式說明，從靜止三相A-B-C變換到靜止二相d-q，在D、Q繞組中通以互差90度的與三一致頻率的兩相平衡正弦交流電流，即可獲得與三相靜止繞組等效的磁動勢。

又可知，將上式部分（d軸）展開后有，

idp?Im2cos?sin?1tidq?Im2sin?cos?1t?

因此，d軸分量又可分別定義為瞬時有功電流和瞬時無功電流之和，

id?idp?idq????

因此，d軸分量又可分別定義為瞬時有功電流和瞬時無功電流之和，?

5．3/2變換結果代入2/2變換后有

id?idp?idq???id?sin??i???Im2???cos??q????Im2cos???id?i????Isin????q??m2?cos???sin(?1t??)???cos(?t??)???sin???1?

上式說明，在D-Q軸上通以兩個直流電流，其大小分別為三相繞組中的有功電流和無功電

流。這樣也可獲得與三相繞組等效的磁動勢。

6．由3/2變換的瞬時無功功率理論可以獲得與上述同樣的結果已知，

?p??ip??e??q??e?i???e???q????e???e?????3?sin?1t?Em?2??cos?1t??e???i???i??e??????

假定三相瞬時電壓為三相平衡電壓源，A相電壓為，代入電壓3/2

變換有

代入上式整理后，有

?p?3?sin?1t?cos?1t??i???q??2Em??cos?t?sin?t??i???11??????ip??sin?1t?cos?1t??i???i????cos?t?sin?t??i?11?????q??

可見，上式與2/2變換結果一致。

7.進一步引申還可知道

可以看出，經過3/2和2/2變換，三相交流系統中的基波有功分量和基波無功分量在d-q坐標系表示為直流分量，或者講，被變換的三相電流中若既含有基波電流，又有高次諧波電流，則經過變換后所獲得的直流分量對應原來的基波電流，而變換獲得的諧波分量將對應原來的（n-1）次諧波電流（注意到，3/2變換的結果仍保持頻率不變，且兩變量為正交分量）。由此啟發人們利用這樣的變換/反變換結果來獲取除了基波成分之外的其它畸變分量。

應注意到，雖然上述對電壓的3/2變換代入到瞬時功率表達式中，可以得到與2/2變換同樣的結果。但在實際應用時卻屬兩種檢測算法。例如，它們的低通濾波器設計參數不同；由于d-q坐標系是以w1旋轉的，它與軸的夾角是隨時間變化的，還需從系