第7章凸輪機構及其設計1.平面齒輪機構(1)直齒圓柱齒輪機構圖7-1為直齒圓柱齒輪機構，各輪齒方向與齒輪的軸線平行。

7.1齒輪機構的分類Fig.7-1Spurgears(直齒圓柱齒輪)Fig.7-2Helicalgears(斜齒圓柱齒輪)(2)斜齒圓柱齒輪機構圖7-2為斜齒圓柱齒輪機構，輪齒方向與其軸線方向有一傾斜角，稱為斜齒圓柱齒輪的螺旋角。Fig.7-3Herringbonegears(人字齒輪)(3)人字齒輪機構圖7-3為人字齒輪機構,其齒形如人字，可看成由兩個螺旋方向相反的斜齒輪構成。2.空間齒輪機構(1)錐齒輪機構錐齒輪的輪齒分布在圓錐體的表面上，兩齒輪的軸線相交。圖7-4a為直齒錐齒輪，圖7-4b為斜齒錐齒輪，圖7-4c為曲齒錐齒輪。

特點：直齒錐齒輪制造較為簡單，應用廣泛；斜齒錐齒輪的輪齒傾斜于圓錐母線，制造困難，應用較少；曲齒錐齒輪的輪齒為曲線形，傳動平穩，適用于高速、重載傳動中，但制造成本較高。

Fig.7-4Bevelgears(錐齒輪)Fig.7-6Wormgears(蝸輪蝸桿)(2)交錯軸斜齒輪機構圖7-5為交錯軸斜齒圓柱齒輪機構，其中的每一個齒輪都是斜齒圓柱齒輪。

(3)蝸桿傳動機構蝸桿傳動通常用于兩垂直交錯軸之間的傳動，如圖7-6所示。Fig.7-5Crossedhelical

gears(交錯軸斜齒輪)1.齒廓嚙合的基本定律Fig.7-7Fundamentallawofgearing(齒廓嚙合的基本定律)7.2齒廓基本定律齒輪傳動是靠主動齒輪的齒廓推動從動齒輪的齒廓來實現的，圖7-7所示齒輪機構中，O1、O2分別為兩齒輪的轉動中心。主動輪1與從動輪2的角速度比值稱為瞬時傳動比，用i12表示。i12=ω1/ω2，ω1和ω2分別為兩輪的角速度。如果節點P的位置是變動的，則為變傳動比齒輪機構。這時節點在兩個齒輪的運動平面上的軌跡為非圓曲線，稱為節線，這種齒輪機構稱為非圓齒輪機構，如圖7-8所示的非圓齒輪機構即為變傳動比齒輪機構的示例。Fig.7-8Noncirculargears(非圓齒輪)2.共軛齒廓及齒廓曲線的選擇(1)共軛齒廓能滿足齒廓嚙合定律的一對齒廓稱為共軛齒廓。

(2)齒廓曲線的選擇給出一個齒輪的齒廓曲線，可根據齒廓嚙合的基本定律求出與之共軛的另一個齒輪的齒廓曲線。實際中選擇齒廓曲線時除了滿足給定傳動比的要求外，還應考慮設計、制造、測量、安裝、互換性和強度等方面的問題。漸開線齒廓能夠較為全面地滿足上述幾方面的要求，因此漸開線是定傳動比齒輪傳動中最常用的齒廓曲線，此外擺線和圓弧曲線也有應用。1.漸開線的形成、特性及漸開線方程(1)漸開線的形成如圖7-9所示，當一直線L沿半徑為rb的圓的圓周作純滾動時，直線L上任意一點K的軌跡AK稱為該圓的漸開線，簡稱漸開線；這個圓稱為漸開線的基圓，其半徑用rb表示；直線L稱為漸開線的發生線；A為漸開線在基圓上的起始點；角θK(∠AOK)稱為漸開線AK段的展角。

7.3漸開線齒廓及其嚙合特點Fig.7-9Developmentofthe

involute(漸開線的形成)(2)漸開線的特性1)發生線沿基圓作純滾動，因此發生線沿基圓滾過的長度等于基圓被滾過的弧長。

2)漸開線上任意一點的法線必是基圓的切線。

3)發生線與基圓的切點N是漸開線在K點的曲率中心，線段KN是漸開線在K點的曲率半徑。

4)漸開線的形狀取決于基圓的大小。Fig.7-10Shapeofinvolutes

andradiusofbasecircles

(漸開線的形狀與基圓半徑)2.漸開線齒廓嚙合傳動的特點(1)瞬時傳動比恒定不變圖7-11所示為一對漸開線齒廓嚙合示意圖。

(2)漸開線齒廓傳動中心距具有可分性一對漸開線齒廓齒輪嚙合，其傳動比i12恒等于兩輪基圓半徑的反比。

(3)輪齒受力方向不變如圖7-11所示。Fig.7-11Gearingofinvoluteprofiles

(漸開線齒廓的嚙合)Fig.7-12Spurgearnomenclatures(漸開線直齒圓柱齒輪名詞術語)7.4漸開線標準直齒圓柱齒輪的基本參數和幾何尺寸1.漸開線齒輪各部分的名稱(1)齒頂圓通過各輪齒頂部的圓，其半徑和直徑分別用ra和da表示。

(2)齒根圓通過各齒槽底部的圓，其半徑和直徑分別用rf和df表示。

(3)分度圓在齒頂圓和齒根圓之間規定的一個參考圓，此圓被作為計算齒輪各部分幾何尺寸的基準。

(4)基圓生成輪齒漸開線齒廓的圓。

(5)齒厚、齒槽寬、齒距在半徑為rK的任意圓周上，一個輪齒兩側齒廓間的弧長叫該圓上的齒厚，用sK表示，分度圓上的齒厚用s表示；一個齒槽兩側齒廓間的弧長叫該圓上的齒槽寬，用eK表示，分度圓上的齒槽寬用e表示；相鄰兩齒的同向齒廓之間的弧長叫這個圓上的齒距，用pK表示，分度圓上的齒距用p表示。

(6)齒頂高、齒根高、全齒高輪齒在分度圓至齒頂圓沿半徑方向的高度叫齒頂高，用ha表示；由分度圓至齒根圓沿半徑方向的高度叫齒根高，用hf表示；由齒根圓至齒頂圓沿半徑方向的高度叫全齒高，用h表示。(7)法向齒距相鄰兩齒同向齒廓沿公法線方向所量得的距離稱為齒輪的法向齒距。

(8)齒寬齒輪的軸向長度，用B表示。2.漸開線齒輪的基本參數(1)齒數z圓周上分布的輪齒數目，用z表示，z為整數。

(2)模數m設齒輪的分度圓周長等于πd，也等于齒距之和，因此有πd=pz。

Fig.7-13Gearsizewithsamenumber

ofteethanddifferentmoduleofteeth

(同齒數、不同模數齒輪尺寸)(3)壓力角α

齒輪齒廓上各點的壓力角不同，通常所說的壓力角是指齒輪分度圓上的壓力角。

(4)齒頂高系數h*齒輪的齒頂高ha=h*m，h*稱為齒頂高系數。

(5)頂隙與頂隙系數c*一個齒輪的齒頂圓和另一個齒輪的齒根圓之間的徑向距離，稱為頂隙，用c表示。3.漸開線標準直齒圓柱齒輪幾何尺寸計算具有標準模數m、標準壓力角α、標準齒頂高系數h*a、標準頂隙系數c*，并且分度圓上的齒厚s等于分度圓上的齒槽寬e的齒輪稱為標準齒輪。已知齒輪的基本參數，由表7-2即可計算出漸開線標準直齒圓柱齒輪各部分的幾何尺寸。4.任意圓弧齒厚

圖7-14所示為外齒輪的一個齒,r、s、α和θ分別為分度圓的半徑、齒厚、壓力角和展角。Fig.7-14Tooththicknessalonganarbitrarycircle(任意圓齒厚)5.內齒輪的特點

輪齒分布在圓柱體的內表面上，稱為內齒輪。圖7-15為一內齒圓柱齒輪的一部分。內齒輪的齒槽相當于外齒輪的輪齒，內齒輪的輪齒相當于外齒輪的齒槽；內齒輪的齒頂圓在內，齒根圓在外，即齒頂圓半徑小于齒根圓半徑；為保證內齒輪齒頂以外為漸開線，內齒輪的齒頂圓大于基圓。Fig.7-15Terminologyforinternal

gears(漸開線內齒圓柱齒輪術語)6.齒條的結構及其特點當標準齒輪的齒數為無窮多時，其分度圓、齒頂圓、齒根圓分別演變為分度線、齒頂線、齒根線，且相互平行，此時基圓半徑為無窮大，漸開線演變為一條直線，齒輪則演變為圖7-16所示的作直線移動的齒條。

Fig.7-16Terminologyforarack(齒條術語)齒條有如下特點：1)齒條齒廓為斜直線，齒廓上各點的壓力角均為標準值，且等于齒條齒廓的齒。

2)在平行于齒條齒頂線的各條直線上，齒條的齒距均相等，其值為p=πm，其法向齒距pb=πmcosα；與齒頂線平行且其上齒厚等于齒槽寬的直線稱為齒條分度線，它是計算齒條尺寸的基準線。

3)分度線至齒頂線的高度為齒頂高ha=h*m，分度線至齒根線的高度為齒根高hf=(h*+c*)m。1.漸開線齒輪的正確嚙合條件7.5漸開線直齒圓柱齒輪機構的嚙合傳動Fig.7-17Meshingofteeth(齒輪嚙合)齒輪傳動是靠主動輪齒依次撥動從動輪齒的嚙合來實現的，如圖7-17所示。要使嚙合正確進行，應保證處于嚙合線上的各對輪齒都處于嚙合狀態，即前一對輪齒在嚙合線N1N2上的K點嚙合,后一對輪齒應在嚙合線N1N2上的K′點嚙合。線段KK′是齒輪1和齒輪2的法向齒距。為保證兩齒輪正確嚙合，其條件是兩輪的法向齒距必相等。一對漸開線直齒圓柱齒輪傳動的正確嚙合條件為兩輪的模數和壓力角分別相等，且為標準值。2.漸開線齒輪的連續傳動條件(1)輪齒的嚙合過程圖7-18所示的齒輪機構中，輪1為主動輪，以角速度ω1順時針方向轉動。

(2)連續傳動條件圖7-18所示的輪齒嚙合過程中，要使齒輪傳動連續進行，應使前一對輪齒在點B1退出嚙合之前，后一對輪齒就已經從點B2進入嚙合。

Fig.7-18Meshingprocessofteeth(輪齒的嚙合過程)1)外嚙合直齒圓柱齒輪傳動的重合度。Fig.7-19Contactratioforexternal

gears(外嚙合齒輪重合度計算)(3)重合度的計算公式一對外嚙合直齒圓柱齒輪的重合度的計算公式為2)內嚙合直齒輪傳動的重合度。圖7-20所示為一對內嚙合直齒圓柱齒輪傳動，其重合度計算公式可參考上述過程推導。

內嚙合直齒輪傳動重合度的計算公式為Fig.7-20Contactratioforinternalgear

(內嚙合齒輪重合度計算)3)齒輪與齒條嚙合的重合度。Fig.7-21Contactratioforapinionand

arack(齒輪齒條嚙合的重合度計算)當齒輪2的齒數增大到無窮多時即為齒輪與齒條嚙合，圖7-21所示的實際嚙合線長度為重合度為Fig.7-22Natureofteethaction(重合度的意義)如果εa=1，只有在B1和B2兩點接觸的瞬間，才有兩對輪齒同時嚙合，其余時間內只有一對輪齒嚙合；如果εa=2，只有瞬間才有三對輪齒嚙合，其余時間為兩對輪齒嚙合。如果εa不是整數，如圖7-22所示εa=1.2,表明在嚙合線上B2K′和B1K（長度各為0.2pb）兩段范圍內,有兩對輪齒同時嚙合，稱雙齒嚙合區；在節點P附近的KK′（長度為0.6pb）段內，只有一對輪齒嚙合,稱單齒嚙合區。3.齒廓嚙合的相對滑動

由圖7-22可以看出，齒輪1齒根部點B2到齒頂的齒廓和齒輪2齒根部點B1到齒頂的齒廓是實際接觸的齒廓，稱為工作齒廓。節點P嚙合時，兩輪嚙合點具有相等的速度;非節點嚙合，如點K′嚙合，兩輪在點K′的速度不相等。這說明兩齒廓在其公切線方向存在相對滑動速度。相對滑動速度越大，磨損越嚴重。采用運動分析方法可求解各嚙合點的相對滑動速度。齒根部漸開線部分磨損較大，小齒輪根部的磨損最大。4.齒輪傳動的中心距及標準齒輪的安裝(1)齒輪傳動的中心距兩齒輪轉動中心之間的距離，稱為齒輪傳動的中心距a。

(2)齒側間隙一齒輪節圓齒槽寬與另一齒輪節圓齒厚的差值，稱為齒側間隙。

Fig.7-23Normalcenterdistance(無側隙嚙合的徑向間隙)(3)徑向間隙c一齒輪齒根圓和另一齒輪齒頂圓之間徑向距離的差值，稱為徑向間隙，如圖7-23所示。

(4)齒輪的標準安裝一對標準齒輪按標準中心距安裝，作無側隙嚙合并具有標準頂隙。5.齒輪和齒條傳動例7-1已知一對標準安裝外嚙合標準直齒圓柱齒輪的參數z1=22,z2=33，α=20°，2.5mm，h*=1，c*=0.25，求這對齒輪的主要尺寸和重合度。若兩輪的中心距分開1mm,重合度又為多少？

Fig.7-24Meshingofapinionandarack(齒輪與齒條嚙合)1.漸開線齒輪輪齒的加工(1)仿形法仿形法利用刀具的軸面齒形與所切制的漸開線齒輪的齒槽形狀相同的特點，在輪坯上直接加工出齒輪的輪齒。

7.6漸開線圓柱齒輪的加工及其根切現象Fig.7-25Formingcutting(仿形加工)(2)展成法展成法是利用互相嚙合的兩個齒輪的齒廓曲線互為包絡線的原理加工齒輪輪齒的。1）齒輪插刀插制齒輪。圖7-26所示齒輪插刀是帶有切削刃的外齒輪。其模數和壓力角與被切制齒輪相同。插齒機床的傳動系統使插齒刀和輪坯按傳動比i12=ω1/ω2=z被加工齒輪/z刀具轉動，此運動稱為展成運動。為切出齒槽，刀具還需沿輪坯軸線方向作往復運動，稱為切削運動。另外，為切出齒高，刀具還有沿輪坯徑向的進給運動及插刀每次回程時輪坯沿徑向的讓刀運動。Fig.7-26Shapingteethwith

apinioncutter(齒輪插刀)2)齒條插刀插制齒輪。圖7-27所示齒條插刀是帶有切削刃的齒條。加工時，機床的傳動系統使齒條插刀的移動速度v刀與被加工齒輪的分度圓線速度相等，即v刀=rω。Fig.7-27Shapingteethwith

arackcutter(齒條插刀)3）滾齒加工。插齒加工存在不連續的缺點，為了克服這個缺點可以采用齒輪滾刀加工，如圖7-28所示。滾刀的外形類似一個螺桿，它的軸向剖面齒形與齒條插刀的齒形類似。當滾刀轉動時，相當于直線齒廓的齒條連續不斷的移動，從而包絡出待加工的齒廓。此外，為了切制出具有一定寬度的齒輪，滾刀在轉動的同時，還需沿輪坯軸線方向作進給運動。Fig.7-28Hobbingteeth(滾齒加工)2.漸開線齒廓的根切用展成法加工齒輪時，刀具頂部可能把被加工齒輪的齒根部漸開線齒廓切去一部分，這種現象稱為根切現象，如圖7-29所示。發生根切的齒輪會削弱輪齒的抗彎強度，使實際嚙合線縮短，重合度降低，影響傳動的平穩性。因此，在設計齒輪時應避免發生根切現象。Fig.7-29Undercutting(根切現象)Fig.7-30Rackcutterprofile

(齒條插刀的齒廓)(1)根切原因齒條插刀在齒條的基礎上，使齒頂增加高度為c*m的圓角部分，所示為標準齒條插刀的齒廓形狀。Fig.7-31Undercuttingprocess(根切的形成)加工標準齒輪時，齒條插刀的中線與齒輪毛坯的分度圓相切，節點為P,如圖7-31所示。當刀具處于位置1時，右切削刃與被切制齒輪在B1點嚙合，開始加工輪坯上的漸開線齒廓，當刀刃處于位置2時，達到嚙合極限點N，加工出輪齒由基圓至齒頂圓間的漸開線齒廓。設刀具移動距離s23=rφ，到達位置3。(2)避免根切的最少齒數用展成法加工標準齒輪時，刀具的齒頂線如超過了嚙合極限點N，就會出現根切。Fig.7-32Minimumnumberofteethtoavoid

undercutting(避免根切的最少齒數)1.變位齒輪的概念7.7變位齒輪概述加工標準齒輪時，當刀具齒頂線超過嚙合極限點N時將發生根切。若刀具向遠離輪坯輪心方向移動一段距離xm，使刀具齒頂線落在點N之下，此時則避免根切發生。由于這時刀具的節線與中線不再重合，而是分離了xm，故加工出的齒輪在分度圓上的齒厚與齒槽寬不相等，這種齒輪稱為變位齒輪，x稱為變位系數。通常，刀具由標準安裝位置遠離輪坯中心時，x為正值，稱為正變位，加工出的齒輪稱為正變位齒輪；如果被切制的齒輪齒數比較多，為了滿足齒輪傳動的某些要求，也可將刀具由標準安裝位置移向輪坯中心xm，此時x為負值，稱為負變位，加工出的齒輪稱為負變位齒輪。2.最小變位系數Fig.7-33Smallestcoefficientofoffset(最小變位系數)當刀具的齒頂線剛好通過輪坯與刀具的嚙合極限點N時，齒輪便完全沒有根切。如圖7-33所示，不發生根切的條件為3.變位齒輪與標準齒輪的異同點(1)齒厚與齒槽寬如圖7-34所示，對于正變位齒輪來說，刀具節線上的齒厚比中線上的齒厚減少了2JK，因此被切制齒輪分度圓上的齒槽寬將減少2JK。

Fig.7-34Tooththicknessofapositivemodifiedgear(正變位齒輪齒厚)故正變位齒輪齒槽寬的計算公式為e=πm/2-2xmtanα齒厚的計算公式為s=πm/2+2xmtanα(2)齒頂高及齒根高正變位齒輪的齒根高變小，齒頂高變大；負變位齒輪則反之。同參數的標準齒輪與變位齒輪的齒形比較見圖7-35。Fig.7-35Toothprofilesofthestandardgearand

modifiedgears(變位齒輪與標準齒輪的齒廓)4.變位齒輪傳動簡介設一對互相嚙合的變位齒輪的變位系數分別為x1、x2，根據變位系數的不同，可以分為以下傳動類型。1)x1+x2=0，且x1=x2=0，此時為標準齒輪傳動。

2)x1+x2=0，且x1=-x2≠0，此時為等移距變位齒輪傳動，一般小輪采用正變位，大輪采用負變位。

3)x1+x2≠0，此時為不等移距變位齒輪傳動。1.斜齒圓柱齒輪齒廓曲面的形成Fig.7-36Toothsurfaceofaspurgearandahelicalgear(漸開線圓柱齒輪和斜齒輪輪齒的齒面)7.8平行軸斜齒圓柱齒輪機構圖7-36a所示，將直齒圓柱齒輪的齒廓形成擴展到空間，基圓成為基圓柱，發生線成為發生面，漸開線成為漸開面。當發生面S在基圓柱上作純滾動時，與基圓柱母線NN′平行的直線KK′的軌跡形成直齒圓柱齒輪的漸開線齒廓曲面。兩齒廓嚙合點成為嚙合線KK′，各嚙合線均平行基圓柱母線，直齒圓柱齒輪嚙合傳動中是沿全齒寬同時進入嚙合與同時退出嚙合的。2.斜齒輪的基本參數(1)斜齒輪的螺旋角將圖7-37a所示的斜齒圓柱齒輪的分度圓柱延長到螺旋線的導程，其分度圓柱面展開成圖7-37b所示三角形，底邊πd表示分度圓周長。

Fig.7-37Helixangles(螺旋角)(2)法向模數mn與端面模數mt圖7-38b所示的斜齒圓柱齒輪分度圓柱面展開圖中，有剖面部分為輪齒，空白部分為齒槽。Fig.7-38Helicalgeartoothrelations(斜齒輪模數關系)Fig.7-39Normalpressureangle

andtransversepressureangle

(法向壓力角和端面壓力角)（3）齒頂高系數斜齒輪的齒頂高和齒根高，不論從法向或端面上看都是相同的，但齒頂高系數不同。

（4）頂隙系數斜齒輪在法向和端面上的頂隙相同，但頂隙系數不同。

（5）壓力角斜齒輪壓力角分為法向壓力角αn與端面壓力角αt3.斜齒圓柱齒輪的幾何尺寸計算

斜齒輪的幾何尺寸與同樣端面參數的直齒輪完全相同，相關計算公式與直齒輪完全一樣，不過要換成斜齒輪的端面參數。當法向參數為標準值時，還需進一步用法向參數表達斜齒輪幾何尺寸的計算公式。4.斜齒輪傳動的正確嚙合條件

一對斜齒圓柱齒輪正確嚙合時，除滿足兩個齒輪的模數和壓力角應分別相等外，它們的螺旋角還應匹配。因此，一對斜齒圓柱齒輪的正確嚙合條件為mn1=mn2或mt1=mt2

αn1=αn2或αt1=αt2

β1=-β2（“-”代表旋向相反）5.斜齒輪連續傳動的條件Fig.7-40Contactratioforhelicalgears(斜齒輪傳動重合度)斜齒輪連續傳動的條件仍由重合度的大小判斷。用端面參數代入直齒輪重合度計算公式即可求得斜齒輪的端面重合度圖7-40a所示是齒輪寬度為B的直齒輪基圓柱展開圖，B1B2為嚙合線長度，圖7-40b所示為斜齒輪基圓柱展開圖。若嚙合開始點在B2，當斜齒輪的輪齒上端在B1點脫離接觸時，其下端仍在嚙合，直到嚙合到B′1點才脫離接觸，所以其嚙合線要增大ΔL。重合度增量斜齒圓柱齒輪的總重合度ε=εa+εβ。6.當量齒輪與當量齒數

圖7-41的斜齒輪中，作分度圓柱螺旋線點P的法平面。該法平面與分度圓柱的交線為一橢圓，它的長軸為a=r/cosβ，短軸為b=r。橢圓上點Fig.7-41Equivalentspurgear

(當量齒輪)P的齒形為斜齒輪的法向齒形。以橢圓在點P處的曲率半徑ρ畫圓，該圓與點P處橢圓弧段非常相近。該圓作為一個虛擬齒輪的分度圓，其模數、壓力角均為斜齒輪的法向參數，稱該虛擬齒輪為斜齒圓柱齒輪的當量齒輪。其齒數稱為斜齒輪的當量齒數，用zv表示。橢圓在點P的曲率半徑為當量齒數為7.斜齒圓柱齒輪傳動的優缺點

與直齒圓柱齒輪相比，斜齒圓柱齒輪傳動的優點為：傳動平穩，沖擊、振動和噪聲小，重合度大，承載能力強，結構緊湊，因而在大功率和高速齒輪傳動中廣泛應用。

主要缺點為：因存在螺旋角β，傳動時齒面間會產生軸向推力。為了發揮斜齒輪的優點，又消除傳動中軸向推力對軸承的不利影響，可采用齒向左、右完全對稱的人字齒輪。所產生的軸向力可完全抵消，但人字齒輪制造比較困難。斜齒輪的主要優缺點都與螺旋角β有關，β越大優點越顯著，缺點也越突出。通常斜齒輪的螺旋角β在8°~15°之間選取，人字齒輪螺旋角β可達25°~40°。1.蝸桿傳動及特點Fig.7-42Wormandwormgear(蝸輪蝸桿)7.9蝸桿傳動機構圖7-42所示的蝸桿傳動機構用于傳遞垂直交錯的兩軸間的運動和動力。蝸桿通常作為減速傳動的主動件，蝸桿傳動的傳動比大，結構緊湊，工作平穩、噪聲小，廣泛地應用于各類機械和儀器中。但蝸桿傳動效率較低，故不適用于大功率長期連續工作。2.蝸桿傳動的類型

Fig.7-43WormTypes(蝸桿傳動類型)3.蝸桿傳動的主要參數和幾何尺寸(1)蝸桿傳動的主要參數圖7-44為蝸輪與阿基米德圓柱蝸桿的嚙合情況。1)模數。

2)壓力角