第四章特征值與特征向量4.1方陣的特征值與特征向量4.2矩陣的相似對角化4.3正交矩陣4.4實對稱矩陣的對角化§4.1方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性質一、特征值與特征向量的概念1.定義12.說明特征多項式備注例如:備注由(2)可得A的跡tr(A)4.滿足方程|A-

E|=0的

都是A的特征值含義：②一個特征向量只能對應一個特征值③屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．非零對嗎？即一個特征向量不能屬于不同的特征值;①一個特征值一定有特征向量，且不唯一;5.例

解二、特征值與特征向量的求法行(1重根)21行(自由)(2重根)(x3為自由未知量)行(x3為自由未知量)行的基礎解系所含向量的個數≤

i

的重數說明:(組員數)1.(幾何重數)(代數重數)(書P127)即1對應的特征向量集合中的一個最大無關組2.由1可知,對應單重根,求得線性無關的特征向量有

個.且只有13.

說明:

求矩陣An

特征值與特征向量的步驟：4.（要求：每一個特征值都涉及）三、特征值和特征向量的性質證明：例則思考:

設，證明：A的特征值只能為0或1。(書P126例4.7)22證則即類推之，有2222設有把上列各式(有m個方程)合寫成矩陣形式，得B把上列各式合寫成矩陣形式，得B推論說明:

屬于不同特征值的特征向量必線性無關.

練習11:

121頁第三章提高題6141-143頁一13;14;15

三32四41

一.求矩陣特征值與特征向量的步驟：四、小結二.特征值與特征向量的關系:②一個特征向量只能對應一個特征值③屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．即一個特征向量不能屬于不同的特征值．①一個特征值一定有特征向量，且不唯一⑤屬于不同特征值的特征向量的和

就不再是A的特征向量．④屬于不同特征值的特征向量必線性無關.(另：書P143四41)思考：§4.2矩陣的相似對角化一、相似矩陣的概念二、矩陣的相似對角化一、相似矩陣的概念記為A~B問：

“相似”是等價關系嗎？(等價定義在書P26)重要結論在書P29顯然，矩陣的相似滿足如下三個基本性質：(1)反身性A~A；(2)對稱性A~B

，則B~A

；(3)傳遞性A~B,B~C,則A~C

。二、矩陣的相似對角化證明定理1推論

若階方陣A與對角陣定理1定理1三、矩陣可對角化的條件(見書P129)

如果階方陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似．推論2.屬于不同特征值的特征向量必線性無關.注：1.對于單重特征根,其線性無關的特征向量有

個.且只有1（A能對角化的充分非必要條件）說明

如果階方陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似．推論

如果A

的特征方程有重根，此時不一定有

n

個線性無關的特征向量，（A與對角陣相似的充分條件）從而矩陣A不一定能對角化，但如果能找到n

個線性無關的特征向量，還是能對角化．A能否對角化？若能對角例1解(注:

A3有三個線性無關的特征向量P1,P2,P3,故A可對角化)(線性無關)所以可對角化.注:矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應!因此P1,P2,P3線性無關，注意故矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應．

如果階方陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似．推論（A與對角陣相似的充分條件）參見書P130即方陣A可對角化

A的k重特征值所對應的線性無關的特征向量有

個.(組員數)(

i的重數)(秩=階數-代數重數)k恰例2設問x為何值時，矩陣A能對角化？解：所以(另題型：書P143例4.9)

練習12:

141-143頁二24;

三34;35;37

四42

四、小結1.相似矩陣相似是矩陣之間的一種關系，它具有很多良好的性質，除了課堂內介紹的以外，還有：２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉化為比較簡單的對角矩陣的運算．

相似變換是對方陣進行的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進行這一變換的相似變換矩陣．§4.3正交矩陣一、內積及其性質二、正交向量組三、正交矩陣及其性質一、內積及其性質定義1設有n維向量,,則稱為向量與的內積，記為，即內積的運算性質定義2

設長度范數向量的長度具有下述性質：(),,22221nxxxxxx+++==L4.施瓦茨不等式解單位向量夾角１

正交的概念２

正交向量組的概念正交

若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．二、正交向量組證明３

正交向量組的性質定理1244

標準正交化方法下面介紹施密特正交化方法(2)單位化

,取(1)正交化

,

取

，施密特正交化過程例２

用施密特正交化方法，將向量組標準正交化.解

先正交化，取施密特正交化過程再單位化，得標準正交向量組如下例3解把基礎解系正交化，即所求．問：把基礎解系正交化，即所求．取

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．定義4定理2三、正交矩陣與正交變換(見書P135)例

判別下列矩陣是否為正交陣．所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于定義4定理3設A,B都是n階正交方陣，則（1)(2)定義5

若為正交陣，則線性變換稱為正交變換．定義4(見書P11)性質

正交變換保持向量的長度不變．證明1．將一組線性無關向量組規范正交化的方法：先用施密特正交化方法將這向量組正交化，然后再將其單位化．四、小結2．為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：

課后思考：設A

是奇數階正交矩陣且detA=1.證明：1是A的特征值.

證§4.4實對稱矩陣的對角化一、實對稱矩陣的特征值與特征向量二、實對稱矩陣的相似對角化定理1

實對稱矩陣的特征值都是實數.說明：本節所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣．一、實對稱矩陣的特征值與特征向量進一步有：實對稱矩陣的特征向量是實向量.定理2：實對稱矩陣的相異特征值所對應的特征向量必定正交。證說明：對一般方陣，只能保證相異特征值所對應的特征向量

。線性無關二、實對稱矩陣的相似對角化：說明：①實對稱矩陣A一定與對角矩陣相似;定理2：即實對稱矩陣A一定能對角化.②實對稱矩陣A的k重特征值所對應的線性無關的特征向量有

個.(證明從略)k(即組員數=

i的重數)恰25解(下將P1,P2,P3正交化,單位化,可得正交陣Q)(1)再單位化，得：單將將(2)(下將P1,P2,P3正交化,單位化,可得正交陣Q)再單位化，得：單將將(2)利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣的步驟為：將特征向量正交化;3.2.將特征向量單位化得.4.5.寫出正交陣，1.解設A的屬于特征值1的特征向量為得(*)的基礎解系為∴是A的屬于特征值1的兩個線性無關的特征向量例2.

練習13:

143-144頁三38;40

四46;47;48

1.

對稱矩陣的性質：三、小結(1)特征值為實數；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重數和與之對應的線性無關的特征向量的個數相等；

(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：