安徽省安慶市白澤湖中學2023-2024學年數學高二上期末經典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是拋物線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知數列滿足：，數列的前n項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.34．已知動直線的傾斜角的取值范圍是，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若橢圓對稱軸是坐標軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對6．圓與圓的位置關系是（）A.相離 B.內含C.相切 D.相交7．若直線l與橢圓交于點A、B,線段的中點為,則直線l的方程為()A. B.C. D.8．設平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.79．已知直線，若異面，，則的位置關系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面10．已知實數x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.111．各項均為正數的等比數列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.12．直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列，的前n項和分別為，若，則=______14．已知直線與平行，則___________.15．若向量，，，且向量，，共面，則______16．在2021件產品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數的數學期望的值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且長軸長為4（1）求C的標準方程；（2）直線，分別經過點與C相切，切點分別為A，B，證明：18．（12分）某項目的建設過程中，發現其補貼額x（單位：百萬元）與該項目的經濟回報y（單位：千萬元）之間存在著線性相關關系，統計數據如下表：補貼額x（單位：百萬元）23456經濟回報y（單位：千萬元）2.5344.56（1）請根據上表所給的數據，求出y關于x的線性回歸直線方程；（2）為高質量完成該項目，決定對負責該項目的7名工程師進行考核.考核結果為4人優秀，3人合格.現從這7名工程師中隨機抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優秀的人數，求隨機變量X的分布列與期望.參考公式：19．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.20．（12分）已知空間中三點，，，設，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數的值21．（12分）在平面直角坐標系中，有一條長度為3的線段，端點，分別在軸、軸上運動，為線段上一點，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知不過原點的直線與相交于，兩點，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時直線的方程.22．（10分）茶樹根據其茶葉產量可分為優質茶樹和非優質茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗田來檢驗某種茶樹在不同的環境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗田中進行種植，成熟后統計每株茶樹的茶葉產量，將所得數據整理如下表所示：優質茶樹非優質茶樹甲試驗田a25乙試驗田10b已知甲試驗田優質茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據表中數據判斷，是否有99%的把握認為甲，乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設點的坐標為，有，由圓的圓心坐標為，是拋物線的焦點坐標，有，由圓的幾何性質可得，又由，可得的最小值為故選：C.2、D【解析】由于，所以利用裂項相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價于，即恒成立，化簡得到，因為，當且僅當，即時取等號，所以故選：D3、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.4、B【解析】根據傾斜角與斜率的關系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設知：直線斜率范圍為，即，可得.故選：B.5、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.6、D【解析】先由圓的方程得出兩圓的圓心坐標和半徑，求出兩圓心間的距離與兩半徑之和與差比較可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為圓的圓心為，半徑為兩圓心間的距離為由，所以兩圓相交.故選：D7、A【解析】用點差法即可獲解【詳解】設.則兩式相減得即因為,線段AB的中點為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A8、C【解析】根據，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據，可知向量，則有，解得.故選：C9、D【解析】以正方體為載體說明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關系是相交或異面.故選：D10、A【解析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當直線過直線的交點時取最大值，即故選：11、D【解析】根據等比數列性質可知，，，成等比數列，由等比中項特點可構造方程求得，由等比數列通項公式可求得，進而得到結果.【詳解】由等比數列的性質可得：，，，成等比數列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.12、A【解析】由直線恒過定點，且定點圓內，從而即可判斷直線與圓相交.【詳解】解：因為直線恒過定點，而，所以定點在圓內，所以直線與圓相交，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差數列的性質和等差數列的前項和公式可得，再令即可求解.【詳解】由等差數列的性質和等差數列的前項和公式可得：因為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用等差數列的性質可得，再轉化為前項和公式的形式，代入的值即可.14、【解析】根據平行可得斜率相等列出關于參數的方程，解方程進行檢驗即可求解.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，又因為時，，，所以直線，重合故舍去，而,,，所以兩直線平行.所以，故答案為：3.【點睛】(1)當直線的方程中存在字母參數時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論15、##【解析】由向量共面的性質列出方程組求解即可.【詳解】因為，，共面，所以存在實數x，y，使得，得，解得∴故答案為：16、【解析】設抽到的次品的個數為，則，求出對應的概率即得解.【詳解】解：設抽到的次品的個數為，則，所以所以抽到次品個數的數學期望的值是故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據共焦點求出參數c，由長軸長求參數a，即可確定C的標準方程；（2）令過切線為，聯立橢圓C結合得到關于k的一元二次方程，根據根與系數關系即可證明結論.【小問1詳解】由題設，對于橢圓C有，又橢圓的焦點為，則，所以，故C的標準方程.【小問2詳解】由題設，直線，的斜率必存在，令橢圓C的切線方程為，聯立橢圓方程并整理可得：，由相切關系知：，整理得：，所以，即直線，相互垂直，則.18、（1）（2）分布列答案見解析，數學期望：【解析】（1）根據表中的數據和公式直接求解即可，（2）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，然后求各自對應的概率，從而可求得分布列和期望【小問1詳解】.，...【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為0，1，2，3.，，分布列為0123.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質得到、，即可得到平面，再根據，即可得證；（2）由面面垂直的性質得到平面，建立如圖所示空間直角坐標系，設，即可得到點，，的坐標，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；小問1詳解】證明：連接DE因為，且D為AC的中點，所以因為，且D為AC的中點，所以因為平面BDE，平面BDE，且，所以平面因為，所以平面BDE，所以【小問2詳解】解：由（1）可知因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE兩兩垂直以D為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系設．則，，．從而，設平面BCE的法向量為，則令，得平面ABC的一個法向量為設二面角為，由圖可知為銳角，則20、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標表示出、，利用向量夾角的坐標表示求夾角余弦值；（2）坐標表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標表示列方程求的值.【詳解】由題設，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.21、（1）（2）【解析】(1)設，根據題意可得，，利用兩點之間的距離公式表示出，化簡即可得出結果；(2)設，，線段的中點為，利用兩點坐標表示直線斜率的公式和點差法求出直線的斜率，設的方程為，聯立橢圓方程并消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理表示、進而得出弦長，利用點到直線的距離公式求出原點到的距離，結合基本不等式計算即可.【小問1詳解】設，由為線段上一點，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問2詳解】設，，線段的中點為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設