2024屆四川省廣元川師大萬達中學數學高二上期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內，且，設異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.2．若，都是實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3．設拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8C.9 D.104．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，5．若雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.6．甲、乙、丙、丁四位同學一起去找老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有位優秀，位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙、丁可以知道對方的成績C.乙可以知道四人的成績 D.丁可以知道四人的成績7．4位同學報名參加四個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種8．若是函數的一個極值點，則的極大值為（）A. B.C. D.9．下列命題中，結論為真命題的組合是（）①“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題，則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線被點平分的弦所在的直線方程為⑤已知過點的直線與圓的交點個數有2個.A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤10．的展開式中的系數是（）A.1792 B.C.448 D.11．運行如圖所示程序后，輸出的結果為（）A.15 B.17C.19 D.2112．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在R上的函數的導函數，且，則實數的取值范圍為__________.14．已知不等式有且只有兩個整數解，則實數a的范圍為___________15．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員，面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態的情況，從全市抽取2000名人員進行調查，統計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據調查結果繪制的頻率分布直方圖（1）根據上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數；（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發言，求小組中至少有1人發言的概率？16．定義在上的函數滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項均為正數的等比數列前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求18．（12分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大小；（2）求的面積.條件①：；條件②：.19．（12分）已知橢圓的上下兩個焦點分別為，，過點與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知O為坐標原點，直線與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數，使得，求m的取值范圍20．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.22．（10分）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項的二項式系數的和等于37；條件②：第3項與第7項的二項式系數相等；問題：在二項式的展開式中，已知__________.（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）設，求的值；（3）求的展開式中的系數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設線段的中點為，連接，過點在平面內作，垂足為點，證明出平面，然后以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內，可設，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當的空間直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.2、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項.【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.3、A【解析】計算拋物線的準線，根據距離結合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，到軸的距離是4，故到準線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.4、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項.5、A【解析】首先求出橢圓的焦點坐標，然后根據可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點坐標為所以雙曲線的焦點在軸上，，因為，所以，所以雙曲線的標準方程為故選：A6、A【解析】分析可知乙、丙的成績中必有位優秀、位良好，結合題意進行推導，可得出結論.【詳解】由于個人中的成績中有位優秀，位良好，甲知道乙、丙的成績，還是不知道自己的成績，則乙、丙的成績必有位優秀、位良好，甲、丁的成績中必有位優秀、位良好，因為給乙看丙的成績，則乙必然知道自己的成績，丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績.故選：A.7、D【解析】利用分步乘法計數原理進行計算.【詳解】每位同學均有四種選擇，故不同的報名方法有種.故選：D8、D【解析】先對函數求導，由已知，先求出，再令，并判斷函數在其左右兩邊的單調性，從而確定極大值點，然后帶入原函數即可完成求解.【詳解】因為，，所以，所以，，令，解得或，所以當，，單調遞增；時，，單調遞減；當，，單調遞增，所以的極大值為故選：D9、C【解析】求出兩直線垂直時m值判斷①；由復合命題真值表可判斷②；化簡不等式結合充分條件、必要條件定義判斷③；聯立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗證判斷④；判定點與圓的位置關系判斷⑤作答.【詳解】若直線與直線相互垂直，則，解得或，則“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件，①正確；命題“”為假命題，則與至少一個是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；，，則是的必要不充分條件，③正確；由消去y并整理得：，，即直線與雙曲線沒有公共點，④不正確；點在圓上，則直線與圓至少有一個公共點，而過點與圓相切的直線為，直線不包含，因此，直線與圓相交，有兩個交點，⑤正確，所以所有真命題的序號是①③⑤.故選：C10、D【解析】根據二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數是.故選：D11、D【解析】根據給出的循環程序進行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D12、B【解析】根據圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得在R上單調遞增，再由，利用函數的單調性轉化為關于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數的導函數，在R上單調遞增，由，得，即實數的取值范圍為故答案為：14、【解析】參變分離后研究函數單調性及極值，結合與相鄰的整數點的函數值大小關系求出實數a的范圍.【詳解】整理為：，即函數在上方及線上存在兩個整數點，，故顯然在上單調遞增，在上單調遞減，且與相鄰的整數點的函數值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：15、（1）平均時長為，中位數為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數，中位數的公式即可求解；（2）先根據分層抽樣求出每一組抽取的人數，再列舉抽取總事件個數，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數為，，被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數滿足，解得，即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8，中位數為【小問2詳解】解：組的人數為人，設抽取的人數為，組的人數為人，設抽取的人數為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標記為，，，將中的標記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率16、【解析】利用構造函數法，結合導數來求得不等式的解集.【詳解】構造函數，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）9【解析】（1）根據題意列出關于等比數列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數列的前項和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設各項均為正數的等比數列首項為，公比為則有，解之得則等比數列的通項公式.【小問2詳解】由，可得18、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.19、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對的取值進行分類討論，當時，根據三點共線求得，聯立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理，結合直線交橢圓兩點，代值計算即可求得結果.【小問1詳解】對橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可得，則橢圓的方程為：.【小問2詳解】直線與y軸交于點P，故可得的坐標為，當時，則，由橢圓的對稱性可知：，故滿足題意；當時，因為三點共線，若存在實數，使得，即，則，故可得.又直線與橢圓交于兩點，故聯立直線方程，與橢圓方程，可得：，則，即；設坐標為，則，又，即，故可得：，即，也即，代入韋達定理整理得：，即，當時，上式不成立，故可得，又，則，整理得：，解得，即或.綜上所述：的取值范圍是或或.【點睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中范圍問題的處理；解決本題的關鍵一是要求得的取值，二是充分利用韋達定理以及直線和曲線相交，則聯立方程組后得到的一元二次方程的，屬綜合中檔題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質定理可證得；由菱形邊長和角度的關系可證得；利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）以為坐標原點建立起空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.詳解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四邊形為菱形且為中點，，又，，又，，平面，，平面.（2）以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面垂直關系的證明、空間向量法求解二面角的問題；涉及到面面垂直的性質定理、線面垂直的判定與性質定理的應用，屬于常考題型.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因為底面，底面，∴.因為，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點為坐