2024屆浙江省寧波市諾丁漢大學附中數學高二上期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則的值為（）A. B.C.或 D.或2．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知數列滿足，，.設，若對于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.94．已知方程表示的曲線是焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍A. B.C. D.5．各項均為正數的等比數列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.6．設函數的圖象為C，則下面結論中正確的是（）A.函數的最小正周期是B.圖象C關于點對稱C.函數在區間上是增函數D.圖象C可由函數的圖象向右平移個單位得到7．在空間直角坐標系中，已知點，，則線段的中點坐標與向量的模長分別是（）A.；5 B.；C.； D.；8．“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．設等差數列，的前n項和分別是，，若，則（）A. B.C. D.10．第屆全運會于年月在陜西西安順利舉辦，其中水上項目在西安奧體中心游泳跳水館進行，為了應對比賽，大會組委會將對泳池進行檢修，已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費用為元，設入水處的較短池壁長度為，且據估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數為，較長的池壁維修費用滿足代數式，則當泳池的維修費用最低時值為（）A. B.C. D.11．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個焦點，過的直線交于、兩點，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.12．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在等腰直角△ABC中，，點P是邊AB上異于A、B的一點，光線從點P出發，經BC、CA反射后又回到原點P.若光線QR經過△ABC的內心，則___________.14．已知等差數列的公差，等比數列的公比q為正整數，若，，且是正整數，則______15．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.16．直線被圓截得的弦長為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區間上的最值.18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題的題設條件中.問題：等差數列的公差為，滿足，________?（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和得到最小值時的值.19．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知圓.（1）若不過原點的直線與圓相切，且直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.21．（12分）已知（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）已知鈍角內角A，B，C的對邊長分別a，b，c，若，，．求a的值22．（10分）已知等差數列滿足；正項等比數列滿足，，（1）求數列，的通項公式；（2）數列滿足，的前n項和為，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據空間向量平行的性質得，代入數值解方程組即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得或.故選：C.2、D【解析】根據題意得出的符號，進而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.3、A【解析】整理數列的通項公式有：，結合可得數列是首項為，公比為的等比數列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項點睛：數列的遞推關系是給出數列的一種方法，根據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數列的各項，由遞推關系求數列的通項公式，常用的方法有：①求出數列的前幾項，再歸納猜想出數列的一個通項公式；②將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項4、A【解析】根據條件，列出滿足條件的不等式，求的取值范圍.【詳解】曲線表示交點在軸的橢圓，，解得：.故選A【點睛】本題考查根據橢圓的焦點位置求參數的取值范圍，意在考查基本概念，屬于基礎題型.5、D【解析】根據等比數列性質可知，，，成等比數列，由等比中項特點可構造方程求得，由等比數列通項公式可求得，進而得到結果.【詳解】由等比數列的性質可得：，，，成等比數列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.6、B【解析】化簡函數解析式，求解最小正周期，判斷選項A，利用整體法求解函數的對稱中心和單調遞增區間，判斷選項BC，再由圖象變換法則判斷選項D.【詳解】，所以函數的最小正周期為，A錯；令，得，所以函數圖象關于點對稱，B正確；由，得，所以函數在上為增函數，在上為減函數，C錯；函數的圖象向右平移個單位得，D錯.故選：B7、B【解析】根據給定條件利用中點坐標公式及空間向量模長的坐標表示計算作答.【詳解】因點，，所以線段的中點坐標為，.故選：B8、A【解析】方程表示雙曲線則，解得，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A9、B【解析】利用求解.【詳解】解：因為等差數列，的前n項和分別是，所以.故選：B10、A【解析】根據題意得到泳池維修費用的的解析式，再利用導數求出最值即可【詳解】解：設泳池維修的總費用為元，則由題意得，則，令，解得，當時，；當時，，故當時，有最小值因此，當較短池壁為時，泳池的總維修費用最低故選A11、A【解析】本題首先可根據題意得出，然后根據的周長為得出，最后根據求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因為橢圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因為的周長為，所以根據橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.12、B【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設出點的坐標，求得△的內心坐標，根據△內心以及關于的對稱點三點共線，即可求得點的坐標，則問題得解.【詳解】根據題意，以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設點關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，如下所示：則，不妨設，則直線的方程為，設點坐標為，則，且，整理得，解得，即點，又；設△的內切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內心坐標為，由及△的內心三點共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.14、【解析】由已知等差、等比數列以及，，是正整數，可得，結合q為正整數，進而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數，有，又為正整數，所以當時，解得，當時，解得不是正整數，故答案為：15、【解析】根據離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16、【解析】求出圓心到直線的距離，結合半徑，利用勾股定理可得答案.【詳解】的圓心坐標為，，圓心到直線的距離，則直線被圓截得的弦長為：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導數求得切線方程.（2）結合導數求得在區間上的最值.【小問1詳解】，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，所以在區間遞增；在區間遞減，，所以在區間上的最小值為，最大值為.18、（1）選擇條件見解析，（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，由，得到，選①，聯立求解；選②，聯立求解；選③，聯立求解；（2）由（1）知，令求解.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，得，選①，得，故，∴.選②，得，得，故，∴.選③，，得，故，∴；【小問2詳解】由（1）知，，，∴數列是遞增等差數列.由，得，∴時，，時，，∴時，得到最小值.19、（1）極小值為，無極大值；（2）.【解析】（1）對函數進行求導、列表、判斷函數的單調性，最后根據函數極值的定義進行求解即可；（2）對進行常變量分離，然后構造新函數，對新函數進行求導，判斷其單調性，進而求出新函數的最值，最后根據題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數的定義域為，當時，.由，得.當變化時，，的變化情況如下表-0+單調遞減極小值單調遞增所以在上單調遞減，上單調遞增，所以函數的極小值為，無極大值.（2）對，恒成立，即對，恒成立.令，則.由得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值、最值，考查了構造函數法、常變量分離法，考查了數學運算能力和分類討論思想.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據題意設出直線的方程，然后根據直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據題意判斷出最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，然后設出最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，從而可求出答案.【小問1詳解】因為直線不過原點，設直線的方程為，圓的標準方程為，若直線與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線的方程為或者；【小問2詳解】因為，所以直線與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線的垂線段上，即最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，設最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.21、（1），；（2）2.【解析】(1)利用三角恒等變換公式化簡函數，再利用三角函數性質計算作答.(2)由(1)的結論及已知求出角C，再利用余弦定理計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，則的最小正周期，由，解得，則在上單調遞增，所以的最小正周期為，遞增區間為.【小問2詳解】由(1)知，，即，在中，，，則，即，，于是得，解得，在中，由余弦定理得：，即，解得或