2024屆咸陽市重點中學高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.2．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車，80及以上為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經過的小時數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.93．我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項公式是（）A. B.C. D.5．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.86．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.47．如果在一實驗中，測得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（）A. B.C. D.8．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.9．已知拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準線與雙曲線(，)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.4C.6 D.910．圓C：的圓心坐標和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和11．當實數(shù)，m變化時，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.612．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.90二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，雙曲線左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，則雙曲線的漸近線方程為___________.14．若滿足約束條件，則的最大值為_________.15．已知點，，，則外接圓的圓心坐標為________16．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.20．（12分）如圖，已知橢圓：經過點，離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）設是經過右焦點的任一弦（不經過點），直線與直線：相交于點，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列21．（12分）在平面直角坐標系中，圓外的點在軸的右側運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為（1）求的方程；（2）過點的直線交于，兩點，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點，線段交于點，證明：是的中點22．（10分）已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點.（1）求雙曲線的焦點坐標；（2）若點到拋物線的焦點的距離是5，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分別取的中點，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因為正方體的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C2、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對數(shù)冪的互化和對數(shù)的運算公式即可解出不等式.【詳解】設該駕駛員至少需經過x個小時才能駕駛汽車，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經過約8個小時才能駕駛汽車.故選：C3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C4、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項公式.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為，所以可以看成一元二次方程的兩個根，因為，所以，所以，解得，所以故選：C【點睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項公式和性質，屬于基礎題.5、B【解析】設等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準線方程為設等軸雙曲線與拋物線的準線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選6、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A7、B【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點，由樣本中心點在回歸直線上，將其代入各選項的回歸方程驗證即可.【詳解】由題設，，因為回歸直線方程過樣本點中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B8、D【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.9、A【解析】由題意求得拋物線的準線方程為，進而得到準線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C的離心率.故選：A.10、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為故選：C11、D【解析】根據(jù)點到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點到直線的距離，利用圓的性質結合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點到直線的距離，設，因直線，即表示恒過定點，根據(jù)圓的性質可得.故選：D.12、B【解析】設為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項和為能求出結果【詳解】設，等比數(shù)列的前項和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先根據(jù)已知條件得到，再結合雙曲線的幾何性質求解即可.【詳解】如圖所示：，，所以，即.設，則，.即，，，，所以，漸近線方程為.故答案為：14、7【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象和直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)可化為，當直線過點點時，此時直線在軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，即,所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為：.15、【解析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點，則問題得解.【詳解】線段中點坐標為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點坐標為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標為.故答案為：.【點睛】本題考查直線方程的求解，直線交點坐標的求解，屬綜合基礎題.16、2【解析】由已知得，，然后計算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標系.（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過平面證得，結合證得，由此證得平面.（2）通過平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，可得，，，.（1）證明法一：因為，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平面.證明法二：因為平面，平面，所以，又因為，即，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一個法向量，設平面的法向量，又，，且所以所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取中點，結合三角形中位線性質可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結論；（2）利用菱形特點和線面垂直的性質可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結論.【詳解】（1）取中點，連接，分別為中點，，四邊形為菱形，為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點，，平面，平面，，又平面，，平面.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，因為E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點，所以，所以，因為,所以平面，所以平面的一個法向量為，因為，所以,因為平面，所以EF//平面PDC；【小問2詳解】設平面的法向量為，因為，，所以，令，則，設平面的法向量為，因為,所以，令，則，設平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為20、（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由點在橢圓上得到，再由，得到，聯(lián)立方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）由（1）得橢圓右焦點坐標，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，及，結合斜率公式得到，結合，求得，即可得到，，成等差數(shù)列【詳解】（1）由題意，點在橢圓上得，可得①又由，所以②由①②聯(lián)立且，可得，，，故橢圓的標準方程為（2）由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標，顯然直線斜率存在，設的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因為共線，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數(shù)列【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設點，求得到圓上的最小距離為，根據(jù)題意得到，整理即可求得曲線的方程；（2）當直線的斜率不存在時，顯然成立；當直線的斜率存在時，設直線的方程，聯(lián)立方程組求得和，得到，結合拋物線的定義和方程求得，，結合，即可求解.【小問1詳解】解：設點，（其中），由圓，可得圓心坐標為，因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為，又由到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，可得，即，整理得，即曲線的方程為【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，可得點為拋物線的交點，點為坐標原點，點為拋物線的準線與軸的交點，顯然滿足是的中點；當直線的斜率存在時，設直線的方程，設，，，則，聯(lián)立方程組，整理得，因為，且，則，故，由拋物線的定義知，設，可得，所以，又因為，所以，