2024屆浙江省湖州市八校聯盟數學高二上期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．世界上最早在理論上計算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學家朱載堉，他當時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2204．在等差數列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.245．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.6．若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是A. B.C. D.7．在正方體中，分別為的中點，為側面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．函數，則的值為（）A B.C. D.9．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知橢圓的右焦點為，則正數的值是（）A.3 B.4C.9 D.2111．在空間直角坐標系中，為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A. B.C. D.12．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線方程為______14．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則的取值范圍__________15．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.16．已知在四面體ABCD中，，，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：18．（12分）若函數在區間上的最大值為9，最小值為1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有兩個不同的解，求實數k的取值范圍.19．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個交點；（2）設直線與圓的兩個交點為、，求的取值范圍20．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.22．（10分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（3）若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據兩圓內切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當兩圓內切時，，解得或所以當，可得兩圓內切，當兩圓內切時，不能得出（可能）故“”是“兩圓內切”的充分不必要條件故選：B2、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.3、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構成一個等比數列，由，算出公比，結合，即可求出.【詳解】設第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構成一個等比數列，設公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數列通項公式的運算，解題的關鍵是分析題意將其轉化為等比數列的知識，考查學生的計算能力，屬于基礎題.4、B【解析】根據等差數列通項公式相關計算求出公差，進而求出首項.【詳解】設公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B5、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B6、D【解析】，∵函數在區間單調遞增，∴在區間上恒成立．∴，而在區間上單調遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點：利用導數研究函數的單調性.7、A【解析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，則，，設異面直線與所成角為（），則.故選：A8、B【解析】求出函數的導數，代入求值即可.【詳解】函數,故，所以，故選：B9、D【解析】根據長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.10、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A11、B【解析】由已知條件得出，結合空間向量數量積的坐標運算可求得實數的值.【詳解】因為，則，解得.故選：B.12、B【解析】根據圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得的導數，可得切線的斜率和切點，由斜截式方程可得切線方程【詳解】解：的導數為，可得曲線在處的切線斜率為，切點為，即有切線方程為故答案為【點睛】本題考查導數的運用：求切線方程，考查導數的幾何意義，直線方程的運用，考查方程思想，屬于基礎題14、【解析】聯立直線與雙曲線方程，可知二次項系數不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零，據此構造不等式組，解不等式組求得結果.詳解】將代入雙曲線方程整理可得：設直線與雙曲線右支交于兩點，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查根據直線與雙曲線位置關系求解參數范圍的問題，屬于基礎題.15、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結論成立；（2）①設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內部時，，可得.設點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯立，消去可得.，由韋達定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.16、24【解析】由線段的空間關系有，應用向量數量積的運算律及已知條件即可求.【詳解】由題設，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：24三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據導數幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導數可求得在上單調遞增，從而得到，由此可得結論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調遞增，，在上單調遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導數證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉化為函數最值的求解問題；通過構造函數，利用導數求函數最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結論.18、（1）（2）【解析】（1）令，則，根據二次函數的性質即可求出；（2）令，方程化為，求出的變化情況即可求出.【小問1詳解】令，則，則題目等價于在的最大值為9，最小值為1，對稱軸，開口向上，則，解得；【小問2詳解】令，則，于是方程可變為，即，因為函數在單調遞減，在單調遞增，且，要使方程有兩個不同的解，則與有兩個不同的交點，所以.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據直線的方程可得直線經過定點，而點到圓心的距離小于半徑，故點在圓的內部，由此即可證明結果（2）由圓的性質可知，當過圓心時，取最大值，當和過的直徑垂直時，取最小值，由此即可求出結果.【小問1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以恒過點，所以，所以點在圓內，所以直線與圓恒有兩個交點；【小問2詳解】解：當過圓心時，取最大值，即圓的直徑，由圓的半徑，所以的最大值為；當和過的直徑垂直時，取最小值，此時圓心到的距離，所以，故的最小值為綜上，的取值范圍.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據線面垂直的判定定理，結合面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式，結合線面角定義進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點F，平面，平面平面，∴平面，以為原點，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）聯立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，直線，聯立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.22、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據該校高一年級共有學生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數段內的人數，先列舉出從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數，再得到兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學生640人，

∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F.

若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，

(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15種.

如果兩名學生的數