2024屆上海市寶山區寶山中學高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.642．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.3．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數列的首項，則（）A. B.為等比數列C. D.4．命題“對任意，都有”的否定是（）A.對任意，都有 B.存在，使得C.對任意，都有 D.存在，使得5．設是區間上的連續函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區間上可能沒有極值點D.在區間上可能沒有最值點6．已知函數的圖象如圖所示，則其導函數的圖象可能是（）A. B.C. D.7．若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，8．已知等差數列的前n項和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.89．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一條直線 B.一個橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個橢圓10．已知實數x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.12．已知等比數列的公比為，則“是遞增數列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為坐標原點，、分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上不同于、的動點，直線、與軸分別交于點、兩點，則________14．已知數列滿足0，，則數列的通項公式為____，則數列的前項和______15．已知數列是遞增等比數列，，則數列的前項和等于.16．將一枚質地均勻的骰子，先后拋擲次，則出現向上的點數之和為的概率是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項均為正數的等比數列前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求18．（12分）已知命題p：點在橢圓內；命題q：函數在R上單調遞增（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若為假命題，求實數m的取值范圍19．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.20．（12分）已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內的部分上取橫坐標為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標軸，且點B與點A的橫坐標之差為，求直線AP的方程.21．（12分）已知函數（1）求函數單調區間；（2）函數在區間上的最小值小于零，求a的取值范圍22．（10分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】把化成，故可得為等比數列，從而得到的值.【詳解】數列中，，故，因為，故，故，所以，所以為等比數列，公比為，首項為.所以即，故，故選C.【點睛】給定數列的遞推關系，我們常需要對其做變形構建新數列（新數列的通項容易求得），常見的遞推關系和變形方法如下：（1），取倒數變形為；（2），變形為，也可以變形為；2、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C3、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數列，所以，所以，所以，不是常數，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.4、B【解析】根據全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.5、C【解析】根據連續函數的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據函數的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數在區間上單調，則函數在區間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數的極值與最值的概念辨析，屬于容易題6、A【解析】根據原函數圖象判斷出函數單調性，由此判斷導函數的圖象.【詳解】原函數在上從左向右有增、減、增，個單調區間；在上遞減.所以導函數在上從左向右應為：正、負、正；在上應為負.所以A選項符合.故選：A7、B【解析】由空間向量內容知，構成基底的三個向量不共面，對選項逐一分析【詳解】對于A：，因此A不滿足題意；對于B：根據題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內，與向量不共面，因此B正確；對于C：，故C不滿足題意；對于D：顯然有，選項D不滿足題意.故選：B8、B【解析】根據等差數列前n項和公式，結合等差數列下標的性質、等差數列通項公式進行求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，，，故選：B9、A【解析】根據題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.故選：A.10、B【解析】實數，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數，滿足，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，其圖象不存在，當時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是故選：B【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上任意兩點間的距離公式為；（2）點到直線的距離公式：點到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.11、B【解析】根據空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.12、D【解析】由等比數列滿足遞增數列，可進行和兩項關系的比較，從而確定和的大小關系.【詳解】由等比數列是遞增數列，若，則，得；若，則，得；所以等比數列是遞增數列，或，；故等比數列是遞增數列是遞增數列的一個充分條件為，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】求得坐標，設出點坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的縱坐標，進而求得.【詳解】依題意，設，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：14、①.②.【解析】第一空：先構造等比數列求出，即可求出的通項公式；第二空：先求出，令，通過錯位相減求出的前項和為，再結合等差數列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項，2為公比的等比數列，則，則；第二空：，設，前項和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.15、【解析】由題意，，解得或者，而數列是遞增的等比數列，所以，即，所以，因而數列的前項和，故答案為.考點：1.等比數列的性質；2.等比數列的前項和公式.16、【解析】將向上的點數記作，先計算出所有的基本事件數，并列舉出事件“出現向上的點數之和為”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】將骰子先后拋擲次，出現向上的點數記作，則基本事件數為，向上的點數之和為這一事件記為，則事件所包含的基本事件有：、、，共個基本事件，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算概率，解題時一般要列舉出相應的基本事件，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）9【解析】（1）根據題意列出關于等比數列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數列的前項和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設各項均為正數的等比數列首項為，公比為則有，解之得則等比數列的通項公式.【小問2詳解】由，可得18、（1）（2）【解析】（1）根據題意列不等式組求解（2）判斷的真假性后分別求解【小問1詳解】由題意得，解得且故m的取值范圍是【小問2詳解】∵為假命題，∴p和q都是真命題，對于命題q，由題意得：恒成立，∴，∴，∴，解得故m的取值范圍是19、(1)；(2).【解析】（1）根據題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，聯立方程，根據韋達定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標準方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設直線的方程為，由方程組得，設，，所以，，所以，所以，令（），則，，因為在上單調遞增，所以當，即時，面積取得最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關于參數的方程，解之即可得到結果；（Ⅱ）設直線AP的斜率為k，聯立方程結合韋達定理可得A點坐標，同理可得B點坐標，結合橫坐標之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標準方程是；（Ⅱ）由題可知點，設直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設，，直線AP的方程為，即.聯立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成，得.∴，解得，當時，直線BP的方程為，經驗證與橢圓C相切，不符合題意；當時，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點睛】關鍵點點睛：兩條直線關于直線對稱，兩直線的傾斜角互補，斜率互為相反數.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）對求導并求定義域，討論、分別判斷的符號，進而確定單調區間.（2）由題設，結合（1）所得的單調性，討論、、分別確定在給定區間上的最小值，根據最小值小于零求參數a的范圍.【小問1詳解】由題設，且定義域為，當，即時，在上，即在上遞增；當，即時，在上，在上，所以在上遞減，在上遞增；【小問2詳解】由（1）知：若，即時，則在上遞增，故，可得；若，即時，則在上遞減，在上遞增，故，不合題設；若，即時，則在上遞減，故，得；綜