第第頁改進遺傳算法及最小二乘法在計算機數學建模中的應用摘要遺傳算法的基本思想是基于模仿生物界一種的遺傳過程，把問題的用基因代表參數，把問題的用染色體代表二進制解從而得到一個群體，主要由三個基本操作構成：選擇、交叉、變異。最小二乘法則為已知一組實驗數據，求自變量x與因變量y之間的函數關系，只要求在給定點的誤差，殘差的平方和最小，

即。本文基于2015年全國大學生數學建模獲獎作品提出了一種改進遺傳算法，結合最小二乘法，利用MATLAB、JAVA軟件對太陽影子定位問題進行數學建模分析。

【關鍵詞】遺傳算法最小二乘法非線性超定方程組

1問題分析

（1）天安門廣場一根3m的直桿，時間確定為10月22日，根據廣場位置確定經緯度及太陽的直緯δ，推導出太陽高度角h、太陽方位角A及時角。直桿影子長度隨著各個參數的變化規律同時可得到。

（2）直桿太陽影子的端點的縱坐標和橫坐標之間的的關系與直桿自身的高度無關。缺少直桿的高度，采用最小二乘法進行曲線擬合最低點即影長最小點對應太陽直射時間，由真太陽時與北京時間的關系得出經度。再建立非線性超定方程組，求解得測量地點緯度。

（3）日期未知，赤緯δ不唯一，變量增多，求解難度增大，故選擇利用性能較優的遺傳算法求解，從而確定測量地點。

2模型建立與求解

2.1直桿影子端點變化模型

對任意直桿，設其桿高為H，太陽光線通過桿的最高點P，投影到了地面上端點P'，則其影長為OP'，定義太陽光和水平地面夾角h，即太陽高度角，可得如下數學關系：

（1）

得：，測量時差時，平太陽時t平及真太陽時t真關系如下：，m為分鐘，n為日期序號，，

，

，方位角

，而影長為影子端點P'到原點O的距離：

（2）

方位角滿足

（3）

利用MATLAB軟件做出影子的長度隨時間變化曲線如圖1。

圖1

2.2最小二乘法擬合影長隨時間變化關系

符合二次曲線關系：。原理如下：設定參數S，針對yi和當S取最小值時作為優化判據。模型一中日期確定得直緯δ，從而得緯度和高度角關系達到換元效果。對附件數據用此方法擬合，求解如下最小二乘法模型，當S取最小值時，a，b，c即為二次擬合函數系數：

（4）

2.3經度E的求解

對公式

時影長L有最小值，太陽直射本地，解

得經度E。21組數據則可得到含有21個超越方程的非線性方程組：

（5）

然后利用matlab軟件逼近求解此超越方程組得緯度，推算出日期序列號n=108，確定赤緯角δ=10.51。根據已求得δ，的值最后確定測量地點：（108.265E，2.846N）海南省樂東黎族自治縣（109.156E，18.615N）肯達旺岸西海域。

下面給出遺傳算法的具體步驟：

Step1：選擇編碼策略，把參數集合（可行解集合）轉換染色體結構空間；

Step2：確定適應函數，用于便于計算適應值，確定遺傳策略，包括群體大小的選擇，選擇、交叉、變異方法以及交叉概率的確定、變異概率等各遺傳參數；

Step3：初始化群體利用計算機隨機產生，先對群體中的個體或染色體對解碼，然后計算后群體中的個體或染色體的適應值

Step4：依據遺傳策略，使用選擇、交叉和變異算子作用于群體，產生下一代群體；

Step5：對群體性能進行判斷，看其對某一指標是否滿足、或者對預定的迭代次數是否已完成，如果不滿足，則返回第五步、或者對遺傳策略進行修改，然后再返回第4步。對于遺傳算法，針對問題三根據上述分析，可得目標函數R，

（6）

其中，m為太陽影子個數，Li為預測影子長度，為實際影子長度。利用MATLAB軟件對遺傳算法所分析模型進行求解。得到的結果如下：

附件2：（83.887E，35.701N）7月9日新疆西藏交界處（84.667E，37.472S）8月2日印度洋海域

附件3：（111.921E，41.735N）9月14日呼和浩特（115.423E，41.735N）9月14日山西

3小結

本文采用的遺傳算法是一種較為先進的現代優化算法，具有很強的并行性和全局搜索能力，其編碼技術和遺傳操作較為簡單，對優化問題的限制性條件要求低。目前各類遺傳算法已在機器學習、圖像處理、模式識別、優化控制、組合優化和管理決策等領域得到了很好的應用，遺傳算法的研究和推廣對于經濟社會發展具有重大意義。

參考文獻