第一章完全信息靜態(tài)博弈2.為什么說納什均衡是博弈分析中*虐要的概念？參考答案t之所以說納什均衡是博弈分析（非合作博弈分析）最重要的概念，主要原因是納什均衡與其也博弈分析槪念和分析方法相比，具有兩方面的優(yōu)秀性質(zhì)。第一是一致預(yù)測(cè)性質(zhì)。~致預(yù)測(cè)性是保證納什均衡具有內(nèi)在穩(wěn)定性”能作出可靠的預(yù)測(cè)的抿本基礎(chǔ)。而且只有納什均衡才有這種性質(zhì)■莢他均衡概念要么不具有一致預(yù)測(cè)性，要么本身也是納什均衡，是納什均衡的組成部分,18此一致預(yù)測(cè)性是納什均衡的本質(zhì)屬性°笫二是普遍存在性口納什定理及其他相關(guān)定理保證在允許采用混合策略的情況下，在我們關(guān)心的所有類型博弈中都存在納什均衡。這意味著納什均衡分析方袪具有普遍適用性。相比之下，其他各種均衡概念和分析方法，如上策均衡、嚴(yán)格下第反復(fù)消去法、嚴(yán)格上策均衡等，則可能在許多博弈中不存在，從而限制了它們的作用和價(jià)值口納什均衡是惟j同時(shí)具有上述兩大性質(zhì)的博弈分祈概念?而且它也是其他各種博弈分析方法和均衡概念的基礎(chǔ)，因此納什均衡是博弈分析中最重要、作用最大的概念。5.下面的得遊矩陣表示兩博弈方之間的…個(gè)靜態(tài)博弈。該博弈有沒有純策略納什均衡？博弈的結(jié)果是什么？2?011142341■223130923f0博弈方2TMB參考g首先，運(yùn)用嚴(yán)格下策反復(fù)消去法的思偲，不難左現(xiàn)在博弈方1的策略中，B是相對(duì)于T的嚴(yán)格下策，因此可以把該策略從博弈方1的策略空間中消去。把博弈方1的B策略消去后又可以發(fā)現(xiàn),博弈方2的策略中C是相對(duì)于R的嚴(yán)格下策,從而也可以消去。在下面的得益矩陣中相應(yīng)策略和得益處劃水平線和垂直線表示消去了這些策略。兩個(gè)博弈方各消去一個(gè)策略后的博弈是如下的兩人2X2博弈,已經(jīng)不存在任何嚴(yán)格下策。再運(yùn)用劃線法或箭頭法，很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)2X2博弈有兩個(gè)純策略納什均衡(M,L)和(T,R)。2

方

弈

博博弈方1202

方

弈

博博弈方12041234293TM由于兩個(gè)純策略納什均衡之間沒有帕累托效率意義上的優(yōu)劣關(guān)系,雙方利益有不一致性，因此如果沒有其他進(jìn)一步的信息或者決策機(jī)制?一次性靜態(tài)博弈的結(jié)果不能肯定。由于雙方在該博弈中可能采取混合策略，因此實(shí)際上該博弈的結(jié)果可能是4個(gè)純策略組合中的任何一個(gè)。6?求出下圖中得益矩陣所表示的博弈中的混合策略納什均衡。博弈方2L R21012123■0TB博弈方1埃考答案：根據(jù)計(jì)算混合策略納什均衡的一般方法，設(shè)博弈方1采用T策略的概率為則采用E策略的概率為1—P;再設(shè)博弈方2采用策略L的概率為s那么采用策略R的概率是1一4根據(jù)上述概率分別計(jì)算兩個(gè)博弈方采用各自兩個(gè)純策略的期望得益，并令它們相等：2g=g十3(1 7)p+2(l—p)=2p解上述兩個(gè)方程，得〃二2/3,g=3/4,即該博齊的混合策略納什均衡為:博弈方1以概率分布2/3和1/3在T和R中隨機(jī)選擇；博弈方2以概率分布3/4和1/4在【’和R中隨機(jī)選擇＜7?博弈方I和博弈方2就如何分10000萬元錢進(jìn)行討價(jià)還價(jià)。假設(shè)確定了以下規(guī)則：雙方同肘提出自己要求的數(shù)額必和0W釘，吐W10000。如果，+s2＜10000,則兩博弈方的要求都得到滿足，即分別得幾和吐■但如果賢+$2＞10000，則該筆錢就被沒收。問該博弈的純策略納什均衡是什么？如果你是其中一個(gè)博弈方，你會(huì)選擇什么數(shù)額，為什么?歩考答案:我們用反應(yīng)函數(shù)法來分析這個(gè)博弈J先討論博弈方1的選擇。根據(jù)問題的假設(shè)，如果博弈方2選擇金額52(0＜也＜10000),則博弈方1選擇.升的利益為:

當(dāng)w10000-Sv當(dāng)當(dāng)w10000-Sv當(dāng)51>10000一5?因此博弈方1采用打=10000-32時(shí)，能實(shí)現(xiàn)自己的最大利益M(“)=山=10000—$?。囚此5|=10000—52就是博弈方1的反應(yīng)函數(shù)。博弈方2與博弈方1的利益函數(shù)和策略選擇是完全相似的,因此對(duì)博弈方1所選擇的任意金額S.，博弈方2的最優(yōu)反應(yīng)第略,也就是反應(yīng)函數(shù)是切=10000—S}o顯然，上述博弈方1的反應(yīng)函數(shù)與博弈方2的反應(yīng)函數(shù)是完全重合的，因此本博弈有無窮多個(gè)納什均衡，所有滿足該反應(yīng)函數(shù)，也就足氧+52=10000的數(shù)紐g,$2)都是本博弈的純策什均衡。如果我是兩個(gè)博弈方中的-個(gè)，那么我會(huì)要求得到5000元。理由是在該博弈的無窮多個(gè)純策略納什均衡中J5000,5000)既是比較公平和容易被雙方接受的，也是容易被雙方同時(shí)想到的一個(gè)，因此是一個(gè)聚點(diǎn)均衡。8?設(shè)古諾模型中有刃家廠商。G為廠商d的產(chǎn)■&=°+???+g_為市場(chǎng)總產(chǎn)為市場(chǎng)出清價(jià)格，且己知P=P(Q]=a-。(當(dāng)Q<a時(shí)，否則P=0)。假設(shè)廠商i生產(chǎn)a產(chǎn)■的總成本為G=C($)=岡門也就是說沒有固定成本且各廠商的邊際成本都相同■為常數(shù)c(c<a)o假設(shè)各廠商同時(shí)選擇產(chǎn)■，該模型的納什均衡是什么？當(dāng)?趨向于無窮大時(shí)博弈分析是否仍然有效？(I)根據(jù)何題的假設(shè)可知各廠商的利潤(rùn)函數(shù)為:■其中i=1，…，小將利潤(rùn)函數(shù)對(duì)q,求導(dǎo)并令其為0得：襯=a_工q丿—=o解得各廠商對(duì)其他廠商產(chǎn)逐的反應(yīng)函數(shù)為：中,+苓中,+苓2： j33an(a—為匚_c)/2

fXI根據(jù)卅個(gè)廠商之間的對(duì)稱性，可知gf=q；=…=q；必然成立。代入上述反應(yīng)函數(shù)可解得：因此該博弈的納什均衡是所冇?個(gè)廠商都生產(chǎn)產(chǎn)雖三"力+1當(dāng)兀趨于無窮時(shí)，所分析的市場(chǎng)不再是一個(gè)感頭市場(chǎng)而是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng),此時(shí)上述博弈分析方法其實(shí)杲不適用的。9?兩摞頭古諾棧型，P(0)=a-Q竿與上題相同，但兩個(gè)廠商的邊際成本不同，分別為€,和燈。如栗OV?Va/2,問納什均術(shù)產(chǎn)■各為多少？如果e,<Cj<a,但2°>a+?■則納什均衡產(chǎn)■又為多少？(】)兩個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù)為；饑工 一c,qt_(a—q,_巒)q,—g將利潤(rùn)函數(shù)對(duì)產(chǎn)星求導(dǎo)并令芹為0得:鬻i-幻7-縮解得兩個(gè)廠商的反應(yīng)函數(shù)為：?|=(0—S—<\)/2或具體寫成：彳」u(a—%—6)/2Q?=(a— G)/2與0VG<“2時(shí)，我們根據(jù)上述兩個(gè)廠商的反應(yīng)函數(shù).直接求岀兩個(gè)J商的納什均衡產(chǎn)凰分別為：g】a—2ci十<2g】當(dāng)?shù)?c>>a+g時(shí)，糧據(jù)反應(yīng)函數(shù)求出來的廠商2產(chǎn)雖《<0?這倉味著廠商2不令生產(chǎn)，這時(shí)廠商1成了壟斷廠商，廠商1的最優(yōu)產(chǎn)屋選擇是利潤(rùn)最大化的壟斷產(chǎn)杲如=q如=q因此這種情況下的納什均衡為［(“一g>/2,0］『10?甲、乙兩公司分愿兩個(gè)國家?在開發(fā)菓種新產(chǎn)品方面有下面得益矩陣喪示的幢弈關(guān)蔡(單位；百萬美元)。該博弈的納什均衡有哪些？如果乙公司所在國政府想保護(hù)本國公司利益■有什么好的方法？甲

公

mJ-10,-1Q100,00.甲

公

mJ-10,-1Q100,00.1000,0乙公司開發(fā)不卄發(fā)開發(fā) 不開發(fā)用劃線法或箭頭法等不難找岀本博弈的兩個(gè)純策略納什均衡(開發(fā)，不開發(fā))和(不開發(fā)，開發(fā))，即甲乙兩個(gè)公司中只有「家公司開發(fā)是納什均衡，而兩家公司都開發(fā)或都不開發(fā)不是納什均術(shù)。此外該傅弈還有-?個(gè)混合策路納什均衡。根據(jù)混合策略納什均衡的計(jì)算方法，不難算出本博弈的混合策略納什均衡是兩個(gè)公司都以(10/11?1/11)的槪率分布晞機(jī)選擇開發(fā)或不開發(fā)。本博弈的兩個(gè)純策賂納什均衡前一個(gè)對(duì)甲冇利?厲一個(gè)對(duì)乙有利。混合策路納什均衡也井不是好的選擇，因?yàn)榻Y(jié)果除了仍然最多是對(duì)一方有利的純策略納什均衡以外，還可能出現(xiàn)大家不開發(fā)浪贊了機(jī)會(huì)，或者大家開發(fā)描車的可能。⑵根抿上述分析我們知道，如果沒有其他因素的影響?該博弈的兩個(gè)博弈方誰都無法保證博弈的結(jié)果有利于自己。乙公司所在國政府可能保護(hù)本國公司的利益，促使博弈結(jié)呆有利于本國乙公司的途徑?疑設(shè)法改變上述博弈的利益結(jié)構(gòu)?從而促使有利于本國乙公司的均衡出現(xiàn)。政府改變博弈得益結(jié)構(gòu)的有效方法是對(duì)本國公司的開發(fā)活動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)貼。例如若乙?公司所在國政府對(duì)乙公司的開發(fā)活動(dòng)提供20單位（百萬美元〉財(cái)政補(bǔ)貼,則該謁弈的得益矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)榧坠鹃_發(fā)不開發(fā)-10,甲公司開發(fā)不開發(fā)-10,10100,00.12()0.0發(fā)開發(fā)開不不難發(fā)現(xiàn)乙公司所在國政府對(duì)乙公司開發(fā)活動(dòng)的補(bǔ)貼，已經(jīng)使得開發(fā)變成乙公司相對(duì)于不開發(fā)的嚴(yán)格上策，即使甲公司選擇開發(fā)，乙公司選擇開發(fā)也比選擇不開發(fā)更有利，因此乙公司此時(shí)的惟一選擇是開發(fā)。根據(jù)上述得益矩陣，甲公司完全可以判斷出乙公司的選擇，甲公司只能選擇不開發(fā)，因此現(xiàn)在該遍弈惟一的納什均術(shù)是（不開發(fā)，開發(fā)）。結(jié)果是乙公司可以保證獲得120單位的利潤(rùn)。雖然乙公司所柱國政府為此付出了20單位的代價(jià),但這顯然是值得的。如果乙公岡所在國政府能從乙公司的利潤(rùn)中獲得20單位或以上的稅收或其他利益,那么政府最終也沒有損失甚至還能獲利。這正是現(xiàn)代世界各國政府對(duì)本國企業(yè)的國際競(jìng)爭(zhēng)進(jìn)行補(bǔ)貼的主要理論根據(jù)。

12.運(yùn)用本章的均衡概念和思想討論下列得益矩陣表示的靜態(tài)博弈。解答提示：在納什均衡分析的基礎(chǔ)上■再進(jìn)一步考慮運(yùn)用其他均衡槪念或分析方法?如風(fēng)險(xiǎn)上策均衡等進(jìn)行分析。參考學(xué)Uh首先，很容易根據(jù)劃線法等找出本博弈的兩個(gè)純策略納什均術(shù)(U,R)秋D,L)o本博弈還有一個(gè)混合策略納什均衡，即兩博弈方各自以2/3、1/3的概率在自己的兩個(gè)策略U、D和1八R中隨機(jī)選擇。但本博弈的兩個(gè)純策略納什均衡中沒有帕異托上策均衡，曲個(gè)博弈方各倔好其中一個(gè)，而且另一個(gè)策08組合(U,IJ從整體利益角度優(yōu)于這兩個(gè)純策略納什均衡，因此博弈方很難在兩個(gè)純策略納什均衡的選擇上達(dá)成共識(shí)。混合策略納什均衡的效率也不是很高,因?yàn)橛幸欢Ｂ蕰?huì)岀現(xiàn)(D,R)的結(jié)呆:。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)上策均衛(wèi)的思想進(jìn)行分析?當(dāng)兩個(gè)腎弈方各自的兩種集略都有…半可能性被選到時(shí)，本博弈的兩個(gè)純策略納什均衡都不是風(fēng)險(xiǎn)上策均衡，i幣策略組合(U,L)卻是岡險(xiǎn)上策均衡。因?yàn)榇藭r(shí)博弈方1選擇U的期望得益是4?選擇D的期望得益是3.5?博弈方2選擇I.的期望得益妃4?選擇R的期塑得益是3.5。因此出兩個(gè)博弈方考慮到上述風(fēng)險(xiǎn)因索吋，他們的選擇將是(U.L),結(jié)果反而比較理想。如果博弈問題的基本背疑支持,對(duì)本博弈還可以用相關(guān)均衡的想想進(jìn)行分析&讀考可自己作一些討論。1,判err列表述是否正確，并作簡(jiǎn)單分析：納什均衡即任一博弈方單獨(dú)改變策略都只能得到更小利益的策酩組合。如杲一博弈有兩個(gè)純策略納什均術(shù)，則一定還存在一個(gè)混合策略均衡。純第略納什均衡和混合策略納什均衡都不一定存在"上策均衡一定是帕累托最優(yōu)的均衞。(1＞錯(cuò)渓。只要任一為弈方單獨(dú)改變策略不會(huì)增加得益，策昵組合就是納什均衡了e單獨(dú)改變黃略只龍得到更小得益的策略組合足嚴(yán)格納什均衡，是比納什均衡更強(qiáng)的均衡概念。正確。這是納什均衡的基本性質(zhì)之 奇數(shù)性所保證的。不正確。雖然純策略納什均衡不一定存在，但在我們所分析的博弈中混合鍰略納檸均衡息是存在的E這正杲納什定理的根本結(jié)論。也許在有些博弈中只有惟一的純棗咯納什均衡?沒有嚴(yán)格徹義上的混合策路納什均衡，這時(shí)把純策略理解成特殊的混合策略,混合策略納什均衡就存在了。不正確。囚徒的困境博弈中的(坦白，坦白)就是上第均衡(同時(shí)也疑納什均衡〉，但該均衡顯然不是帕累托最優(yōu)的，否則該博弈也不會(huì)稱囚徒的困境了。2.找出下列得益矩陣所表示的博弈的所有納什均衡策昭組合。博奔方2M R3,1Z.25?32.31.34.14,52.33.4首先用嚴(yán)格下策反復(fù)消去法簡(jiǎn)化博弈。對(duì)選擇行策略的博弈方l,u策咯嚴(yán)格優(yōu)于M策珞，所以M為嚴(yán)格下策,消去得到如下博弈；博弈方2M R3.12,25,34,$2,33,4然后分析選擇列策略的詢弈方2的策略，現(xiàn)在其M策略嚴(yán)格劣■于R策略，涓去M策略得到矩陣；3,15,34,53,4uD陣奪方1在上述2X2博弈中已經(jīng)不存在任何嚴(yán)格下策。此時(shí)用劃線法不難找出純弟路納什均衡為（D,L）和（U.R）,相應(yīng)的得益為（4,5）和（5.3）。最后求該博弈的混合策略納什均衡。因?yàn)楸粐?yán)格下策反復(fù)消去法消去的策略不可能包含在納什均衡中，因此只需要考慮耒被嚴(yán)格下貪反復(fù)梢去法消去的幾個(gè)第略。設(shè)浦弈方1選擇U的概率為a?D的概率為1一“博弈方2選擇L的槪率為伏R的槪率為1―熊此時(shí)?博弈方1選擇U的期里得益為3/3十5（1—0>,選擇D的期望得益為鈿十"1一0）。令這兩個(gè)期望得益相等：30+5（1— =40+3（1可解得P=2/3。博弈方2選擇L的期望得益為a+5（l-a）,選擇R的期望得益為3a十4（1 令這兩個(gè)期望得益相等；a+5（1—a）=3a+4（l—a）,可解得a=1/3。因此該博弈的混含銖略納什均伺為,禱弈方1以】/3和2/3的概率分布在U和D中隨機(jī)選擇,博弈方2以2/3和1/3的概率分布在L和R中隨機(jī)選擇。

3?找出下列傅孟矩陣表示靜態(tài)博弈的納什均衡°4,35,16.22,18.43,63.09.62.8傅棄方zuMD博弈方1同樣可先考慮嚴(yán)格下策反復(fù)消去扶簡(jiǎn)化博弈，然后再運(yùn)用劃線法等進(jìn)行分析。請(qǐng)讀者口行練習(xí)「6?在一個(gè)靜亦博弈中，博郵方1選擇U、D,fl|奔方2選擇L、R,博奔方3選擇矩陣?、b、c、d。若博弈方3的樽益如下列矩陣所示?謂證明d既不可能是對(duì)博弈方1和博弈方2混合憚奔的最優(yōu)反應(yīng)?也不是一個(gè)嚴(yán)格下策。L RLR—u矩附d90U矩陣b°090090L RL RU矩哄D007 U矩哄D600g06棗考答案，首先證明d不是對(duì)博弈方I和博弈方2混今博弈的最優(yōu)反應(yīng)，因?yàn)楫?dāng)博弈方1和2的策絡(luò)組合是（U、L）時(shí)d的得益6小于8的得益9；當(dāng)博弈方1和2的策路組合是（D,R）時(shí)＜1的得益6小于f的得益9；當(dāng)轄弈方1和2的策略組合杲（D,L）時(shí)d的得益0小于b的得益9；當(dāng)博弈方1和2的策略組合是（U,R）時(shí)d的得益0小于b的得益9?因此d不可能是博弈方3對(duì)博弈方1和博弈方2混合博弈的晟優(yōu)反應(yīng)。其次證明d不是一個(gè)嚴(yán)格下策。因?yàn)楫?dāng)博弈方1和2的策咯組合是（U,L）時(shí)d的得益6大于b、c的得益0$當(dāng)博弈方1和2的策略組合是（D,R）時(shí)d的得益6大于日、b的得益0；當(dāng)博弈方1和2的策略組合是（D,L）時(shí)d的得益0等于a、c的得益0；當(dāng)博弈方1和2的第略組合是（U,R）時(shí)日的得益0等于取c的得益0,因此d也不是博弈方3相對(duì)于自己任何策略的嚴(yán)格下策。

7?假定三個(gè)博弈方1、2、3要在三個(gè)項(xiàng)目A、B、C中投票選擇一個(gè)。規(guī)則是同時(shí)投票且不允許棄權(quán)?得票IS多的項(xiàng)目當(dāng)選。如果得票魏相局(毎個(gè)項(xiàng)目1黨)，則項(xiàng)目A當(dāng)邈。再假設(shè)不同項(xiàng)目當(dāng)選時(shí)三個(gè)博奔方的得誌分別為?i(A)=mz(B)=⑷(C)=2,=?i(C)=w3(A)=1,尙(C)=wjA)=Uj(B)=0。要求找出該博弈所有的納什均衡。奉考答案；該博弈共有腎=27種可能的策略組合?可以用三個(gè)得益矩陣表示如下(具中捋弈方1選擇行，博弈萬2選擇列■博弈方3選擇矩陣)，t?弈方12,叭1趴0,1W wt?弈方12,叭1趴0,1W w?,g,i2.0,11>2t0益o,】2.O>1■?.o.10,lr2ABC博弈方2B C矩陣1—博弈方3選A博弈方12,0.1X2,02.0.1W ■■ 41,纟?01, 2, 0b ■ ■Is2.o■2.0.1X，00.U2亠博弈方2ABC定陣2——博奔方3選B2,0.1?,0,10>h2W2.0.1I,2.00t1,2■0.lf20.1.20.1.2■■博弈方2BCABC矩陣3—博弈方3選C運(yùn)用劃線法不難找到該博弈的納什均衡共有5個(gè),分別是(A.A,A)、(A,B.A).(B,B,B)、(A,C,C)和(C.CfC)o利用劃線法等也容易找出得益矩陣2博奔的納什均衡為(活著，活看〉、(活著,死了)和(死了，活著〉。這三個(gè)納什均衡說明這對(duì)夫妻共同生活很不幸福，甚至一方死了另一方反而能更好，但也若企業(yè)i的編求函數(shù)為(Pt?pJ=a—Pi+p“企業(yè)2的褥求函數(shù)為qAfliIPi}=“一仞+Pm何這兩個(gè)企業(yè)之間的豈爭(zhēng)或市場(chǎng)有什么特點(diǎn)？若假設(shè)兩個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)成本都為0、兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策時(shí)的納什均衡是什么？這是-?個(gè)價(jià)格竟?fàn)幉┺摹Ｔ摬┺谋硎緝蓚€(gè)企業(yè)的產(chǎn)晶是不完全相冋的相互瞽代品，或者消費(fèi)者對(duì)價(jià)格差異不是非常敏感。根據(jù)問題的假設(shè)，兩企業(yè)的利潤(rùn)頃數(shù)分別為：m(pi,pQ=(a— +p?^{p\,4)=(a4-pi—p；)p2各自對(duì)自己的價(jià)格求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0得；話1=(a+p：)-2pi=0=(a+ )—2/>2=0dfh分別得到兩個(gè)企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)為；Ai=(a+p?>/2P2=(a+pi)/2如果雙寡頭空斷的市場(chǎng)需求函數(shù)是p<Q] Q?兩個(gè)廠商都無固定生產(chǎn)成本，邊際成本為相同的c。如果兩個(gè)廠商都只能要么生產(chǎn)壟斷產(chǎn)■的一半?要么生產(chǎn)古諾嚴(yán)《h證明這是一個(gè)囚徒困境型的博弈。參考答案『根據(jù)市場(chǎng)需求函數(shù)p3=q_Q和廠商的生產(chǎn)成本,不難計(jì)算出該市場(chǎng)的壟斷產(chǎn)龜為弘=牙.雙為頭壟斷的古諾產(chǎn)量(納什均衡產(chǎn)冒)為條=號(hào)°兩個(gè)廠商都生產(chǎn)壟斷產(chǎn)盤的一半

寧時(shí)，各自的利潤(rùn)為■ （「寧寧=屮兩個(gè)廠商都生產(chǎn)古諾產(chǎn)量寧時(shí)，各自的利潤(rùn)為：:一退—C）卜f_{a-c）2L3cr3r-若一個(gè)廠商生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量的一半寧，另一方生產(chǎn)古諾產(chǎn)危三二，前者利潤(rùn)為2后者利潤(rùn)為；（「寧-于寧=答產(chǎn)因此上述博弈用下列得益矩陣茯示就是；企業(yè)乙企業(yè)甲(a-c?8企業(yè)甲(a-c?8f85(u—c)25(a—c)2―48-■~36~5(d—eV5(q—c)z38 ' 48{u-ey(a-e)2-9~~9/?分析這個(gè)得益矩陣可以看岀，因?yàn)?韋6＜少匚‘），g?產(chǎn),因此仏^2對(duì)兩個(gè)廠商都是相對(duì)于彳的嚴(yán)格下策。所以該博弈惟一的納什均衡，也杲上策均衡，是（幺，綣）。這個(gè)納什均衡的雙方得益汽上上，顯然不如雙方都采用心血的得益u~c）\因此這個(gè)博弈是一個(gè)囚徒困境型的博弈。12?假設(shè)兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品完全同質(zhì)?而且消費(fèi)者對(duì)價(jià)格很敏感■因此只有定價(jià)低的企業(yè)才能銷出產(chǎn)品。進(jìn)一步設(shè)p{<力時(shí)企業(yè)f產(chǎn)品的需求為a—pitp,=Pj時(shí)企業(yè)i產(chǎn)品的純求為pt>pf時(shí)企業(yè)i產(chǎn)品的需求當(dāng)然為0。再假設(shè)兩個(gè)企業(yè)都不存在固定成本，且邊際成本為常數(shù)c(c<0)0?證明在兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇價(jià)格時(shí)■該博弈傕一的tfl什均衡墨兩個(gè)企業(yè)的定價(jià)均為Co首先?(“<?)是該博弈的個(gè)純策峪納什均衡。因?yàn)橐逻@個(gè)策略組合下雙方的得益郡等于0,如果某個(gè)企業(yè)單獨(dú)提價(jià)，則會(huì)失去所有的顧客，得益仍然是0,而如果某個(gè)企業(yè)亙獨(dú)降價(jià)，則利潤(rùn)會(huì)變成負(fù)數(shù)?因此在(?C的情況下任何企業(yè)單獨(dú)改變定價(jià)對(duì)自己都是不利的。囚此這是一個(gè)純策珞納什均衡。扶次，我們假設(shè)另…個(gè)策賂組合G,〃)也是一個(gè)納什均衡，而且其中至少有?個(gè)博奔方的得益不等于J首先，兩個(gè)企業(yè)的定價(jià)必須是大于C的，因?yàn)榉駝t利潤(rùn)為負(fù)不可能是納什均衡〉如果b<厶則兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)分別為(b-cHa-b)和0?此時(shí)企業(yè)2將價(jià)格F降到低于。與b之間可以提高利益，因比Yd時(shí)(億〃)不可能是納什均術(shù)。同樣的道理〃)也不可能是納什均衡c如果b=a>j顯然也不可能是納什均亦，因?yàn)槿我庖粋€(gè)企業(yè)單獨(dú)把價(jià)格F降--點(diǎn)就可以使需求幾詰擴(kuò)大一倍，因此兩個(gè)企此都有單獨(dú)改變策略的動(dòng)機(jī)?此時(shí)(&,d)也不可能足納什均衡。囚此，(山d)工<)實(shí)際上根本不可能是納什均衡。這就證明了(c,U)姥本博弈惟i的純笫路納什均衡。第二章完全信息動(dòng)態(tài)博弈人導(dǎo)論中圖1Z2的先來后到博奔中有幾個(gè)捕什均衡■子博弈完美納什均衡是什么？券考答韋；導(dǎo)論中圖L12的先來后到博弈的擴(kuò)展形表示如下.根據(jù)納什均衡的定義?不難判斷（打進(jìn)，和平〉和｛不進(jìn)?打擊〉是本博弈的兩個(gè)納什竣衡、因?yàn)檫@兩個(gè)第略組合都滿足這一條件;任一方草獨(dú)改變策略不可能增加利益，柏反卻可能損害自己的利益。運(yùn)用逆椎歸納法不難找出,（打進(jìn),和平）是本博弈1f一的子博弈完美納什均衡■而（卞進(jìn)，打擊）不星子博弈完美納什均衡，因?yàn)锳針對(duì)B打進(jìn)的打擊是不可信的戚脅。瓷如果幵金礦憚弈中第三盼段乙迭擇打官司后的結(jié)果尚不倦肯定，即下圖中叭b的數(shù)值不確定*試討論聿博弈有卿幾科I可能的結(jié)果。如果養(yǎng)本fll弈中的編威脅"和**承諾"是可信的氾或b應(yīng)満足什么條件？<?rb、 (Or4)堆考菩囊：括號(hào)中的第一個(gè)數(shù)字代表乙的得益，第二個(gè)數(shù)字代表甲的得益■所以“表示乙的得益，而b表示甲的得益B在第三階段，如果口V0.則乙會(huì)選擇不打官司。這時(shí)逆推回笫-階段,甲會(huì)選擇不分，因?yàn)榉值牡靡?小于不分的得益4。再逆推回第-階段，乙肯定會(huì)選擇不借?因?yàn)榻璧年山K得帚0比不借的最終得益1小。過第三階段，如呆Q>0,則乙輪到選擇旳時(shí)候會(huì)選擇打官司，此時(shí)雙方得益足(S6)0逆推回第二階段?如果b>2、則甲在第二階段仍然選擇不分，這時(shí)侯雙方得益為在這種情況F再逆推回笫一階段，那么肖□<1時(shí)乙會(huì)選擇不借，雙萬得益(1.0),當(dāng)?>1時(shí)乙肯定會(huì)選擇借?最后雙方御益(-6)。在第二階段如果方V2,則甲會(huì)選擇分，此時(shí)雙方得益為(2,2)。再逆推冋第一階段，乙肯定選擇借、因?yàn)榻璧牡靡?大于不借的得益1,最后雙方的得益(2,2)c根據(jù)上述分析我們可以看出，該博弈比較明確可以預(yù)測(cè)的結(jié)果有這樣幾種倩況;(!)?<().此吋本博弈的結(jié)果是乙在第一階段不愿意借給對(duì)方，結(jié)束博弈，雙方得益(1,0),不管這時(shí)候〃的值是多少；(2)0V“<1且￡>2、此時(shí)博弈的結(jié)果仍然是乙在第一階段選擇不借，結(jié)束博弈，雙方得益(1,0);(3)a>1且b>2,此時(shí)博弈的結(jié)果墾乙在第…階段選擇借，甲在第二階段選擇不分，乙在第三階段選擇打?最后結(jié)果是雙方得益(S6);(4)?>0且"V2.此時(shí)乙在第一階段會(huì)選擇借，甲在第二階段會(huì)選擇分，雙方得益〈2,2)。要本博弈的"威脅”，即“打“是可信的，條件是a>0。要本博奔的??承諾”,即“分”是可信的?條件是<2>0且“V2。注意上面的討論中沒有考虎Q=0、m=l、b=2的幾種情況，因?yàn)檫@些時(shí)候博弈方的選擇很難用理論方法確定和預(yù)測(cè)。不過最終的結(jié)果并不會(huì)超出上面給出的范圍。5.設(shè)一四階段甫博奔方之間的功態(tài)博弈如下圖所示。試找岀全部子博奔?討論諫暉奔中的可信性問題■求子博弈竟美細(xì)什均衡策略組合和博弈的結(jié)果衡策略組合和博弈的結(jié)果0伍3)TOC\o"1-5"\h\z①、q 懇4)? 、?(&5) G6)參考饕集； ?該博弈共包括如下3個(gè)子博弈：①從博弈方1選擇a以后塢弈方2的第二階段選擇開始的三階段動(dòng)態(tài)博弈;②從博弈方2第二階段選擇e以后博弈方1的選擇開始的兩階段動(dòng)態(tài)博弈§③第三階段博弈方】選擇f以后博弈方2的單人博弈。該博弈最理想的，對(duì)雙方都比較有利的博弈結(jié)果是路徑g-c—f—g。但實(shí)現(xiàn)該路徑的雙方策略中，博弈方2衽第四階段選擇R是不可信的，因?yàn)榈靡?<6；逆推回第三階段，博弈方1選擇｛也變成不可信的，因?yàn)榈靡?V4：再逆推回第二階段，博弈方2在第二階段選擇c同樣也是不可信的，因?yàn)榈靡?<4：?后回到第一階段，博弈方1選擇a也不可信，因?yàn)?<5O因此上述較理想的結(jié)果是不可能實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)逆推!□納法先討論博奔方2第四階段的選擇。由干采用h的得益6大于采用g的5,因此博弈方2會(huì)采用h；倒退回第三階段，博弈方1根據(jù)對(duì)博弈方2第四階段選擇的判斷可知選擇(結(jié)果是得3,而選擇e的結(jié)果杲4,因此只有選擇佇再推回第二階段，博弈方2根據(jù)對(duì)后兩階段選擇的判斷，巳知選擇c將得到而選擇cl能得到4,因此應(yīng)該選擇山最后回到第一階段，博弈方1知道選擇密將得到2,而選擇b能得到5■因此會(huì)選擇b。該博弈的F博弈完美納什均衡為:博奔方1第一階段選岸b,第三階段選擇亡;博脊方2第二階段選擇d,第四階段選擇h0結(jié)果為博弈方I第"階段選擇b結(jié)束押弈，雙方得益(5,3)c6?三JT頭市場(chǎng)鬍求函數(shù)P=100—其中Q是三個(gè)廠商的產(chǎn)■之和，并且己知三個(gè)廠商都有常數(shù)邊際成本2而無固定成本。如果廠商」和廠商2先同時(shí)決定產(chǎn)■■廠商3根據(jù)廠商1和廠商2的產(chǎn)量決第■問它們各自的產(chǎn)■和利潤(rùn)是多少？首先?設(shè)三個(gè)廠曲的產(chǎn)罕分別為q“和加三個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù)為:m=(100—?缶—如)的一2刃比=(100—<7)~9?—</3)如—2qz

蘇3=(100—0一血—血)如—Z的根胭逆推歸納法，先分析第二庇段是廠商3的選擇。將廠商1的利潤(rùn)函數(shù)對(duì)其產(chǎn)畐求偏導(dǎo)數(shù)并令共為0得： *==100-6-g?-2g：?-2=0因此廠商3的反應(yīng)函數(shù)為：=(98—°—G)/2再分析第一階段是廠商1和廠商2的決策。先把廠商3的反應(yīng)函數(shù)代入廠商1和廠商2的利潤(rùn)函數(shù)得；/=(100一Qi—s—Qa)W—?Q\=—_￡i &=(100_?_@_如)q?—2的——_—丫2分別對(duì)g.和⑴求偏導(dǎo)數(shù)并令為0得；刃Tj_98—q?2聯(lián)立兩個(gè)方程可解得5=5=98/3。再代入廠商3的反應(yīng)函數(shù)得$3=(98—0—你)/2=98/6。把三個(gè)廠商的產(chǎn)量代入各口的利潤(rùn)函數(shù)，可得三個(gè)廠商的利潤(rùn)分別為4aOZ/9.4302/9和2401/9。1.判斷下列論述是否正確?并進(jìn)行分析:在動(dòng)態(tài)博弈中，因?yàn)楹笮袨榈馁忁姆娇梢韵扔^察對(duì)方行為后再選擇行為，因此總是有利的。動(dòng)態(tài)博弈本身也是自己的子博弈之一。逆推歸納法并不能排除所有不可置信的威脅°如果動(dòng)態(tài)博弈的一個(gè)策咯組合不僅在均衡路徑上繪納什均衡，而且在非均衡路徑上也杲納什均衡，就是該動(dòng)態(tài)博弈的一個(gè)子博弈完美納什均衡。額抖手均衡與第二章的風(fēng)險(xiǎn)上策均衡都是在有風(fēng)險(xiǎn)和不確定性情況下的穩(wěn)定性策賂組合,因此它們本質(zhì)上是一樣的。錨誤。實(shí)際上動(dòng)態(tài)塢弈中先行為的悌弈方往往有先行優(yōu)勢(shì),因此常常是先行為的博弈方更有利而不是后行為的博弈方有利。錯(cuò)誤。根據(jù)子博弈的定義，整個(gè)博弈本身不是自己的子博弈。錯(cuò)誤。逆推必納法最根本的特征就是能排除動(dòng)態(tài)博弈中所有不可信的行為.包括不可信的威脅和不可侑的承諾。因?yàn)槟孀禋w納法杲根據(jù)最大利益原則選擇博奔方每階段行為的，而且都考慮到了后續(xù)階段的行為選擇?因此用逆推歸納法找出的均衡策略組合中不可能包含不符合博弈方利益的不可信行為選擇。丄E確。這正是子博弈完美納什均衡的根本要求或另一種表示方法。錯(cuò)誤。?這兩個(gè)概念是有很大區(qū)別的。首先，前者是針對(duì)很小的犯鎧誤導(dǎo)致的偏劇概率的均衡概念，而后者是有較大偏離概率悄況下的均衡槪念。其決，前者對(duì)博弈方的理性假設(shè)與完全理性假設(shè)基本接近,后者對(duì)博弈方的理性假設(shè)比較臭雜，實(shí)際上更多考慮了理性的不對(duì)稱性。此外,顫抖手均衡本身是納什均術(shù)?而風(fēng)險(xiǎn)上策均衡則不一定足納什均衡。2?ift兩個(gè)博弈方之間的三階段動(dòng)態(tài)博奔如下圖所示。（】）若“和&分別等于100和150,該博弈的子博弈完美納什均衡是什么？（2） L-N-T是否可能成為該博弈的子博弈完美納什均衡路徑，為什么？（3） 在什么情況下博弈方2會(huì)獲得300單位或更高的得益？參書答案：（O當(dāng)?和b分別等于100和150吋，用逆推歸納法很容易找出，該博弈的子博弈完美納什均衡為：博弈方1在笫一階段選擇R?在第三階段選擇S；陣弈方2在第二翰段選擇M。（2） 不可能。因?yàn)镮，-N-T給博弈方1帶來的得益50明顯小干他（或她）在第一階段選R帶來的得益300■因此該路徑對(duì)應(yīng)的湊略組合在整個(gè)博弈中就不構(gòu)成納什均衡，所以無論。和方的數(shù)值是什么丄一N-丁都不可能成為該博弈的子博弈完美納什均衡路徑。（3） 第（2）小題的答案已經(jīng)說明L-N-T不可能妊本博弈的子博弈完美納什均衡，因此博弈方2不可能通過該路徑實(shí)現(xiàn)300單位得益，博殲方2惟一?冇可能實(shí)現(xiàn)300單位或以上得益的路徑是L-N—S。要使L-N-Si&為子博弈完美納什均衡路徑而且博弈方2能得到300單位或以上得益，必狽4>300.b>300。3?甲方是某國的一股企圖對(duì)抗中央的地方勢(shì)力，乙方是該國的中央政府■芮方是支持甲方的某種團(tuán)際勢(shì)力。三方之間互動(dòng)制約的利益關(guān)系可用下列擴(kuò)展形爆弈哀示，其中得益數(shù)組的第一個(gè)數(shù)字是甲方的得益，第二個(gè)數(shù)字是乙方的得益■第三個(gè)數(shù)宇是丙方的得益。

G)該博弈的均衡是什么？(2)如何對(duì)得益數(shù)字作最小程度的改動(dòng)，分別使")甲方選擇對(duì)抗，乙方選擇軟弱；(h)甲方選擇對(duì)抗，乙左選擇強(qiáng)硬，丙方選擇行動(dòng).(-1.-2,-2)(-2.1-1)(-1.-2,-2)(-2.1-1)解■答桜示；運(yùn)用逆推歸納法求子博弈完美納什均銜。根據(jù)給定子博弈完美納什均衡路徑■用逆推歸納法從最后?階段起逐個(gè)改變、確定得益數(shù)組。企業(yè)甲和企業(yè)乙都是彩電制遺商■都可以選擇生產(chǎn)低檔產(chǎn)品或離檔產(chǎn)品，毎個(gè)企業(yè)在四種不同惰況下的利澗如以下得益矩陣所示。如累企業(yè)甲先于企業(yè)乙進(jìn)行產(chǎn)品選擇并投入生產(chǎn)，即企業(yè)乙在決定產(chǎn)品時(shí)已經(jīng)知道企業(yè)甲的選擇，而且這一點(diǎn)雙方都清楚。用擴(kuò)展型表示這一博弈.這一懵弈的子傅弈完美納什均衝是什么？企業(yè)甲未才備案:髙檔企業(yè)甲未才備案:髙檔低檔高檔500,500?000,700低檔700110006001600企業(yè)乙(1)本博弈的擴(kuò)展形如下:(5C0.500) (1000,700)(7C0.1000)(600.600)(2)用逆推歸納法.如果第一階段甲選高檔?則到了第二階段，乙會(huì)選低檔，因?yàn)榇藭r(shí)得益700>500,結(jié)果為(I000,700);而如果第一階段甲選低檔，到T第二階段，乙會(huì)選高檔，因?yàn)榇藭r(shí)得益1000>600,結(jié)果為(700,1000)。甲知道乙的選擇方法?所以逆推回笫一階段，甲會(huì)選擇牛?產(chǎn)高檔彩電，因?yàn)?000A70S所以本博弈的子博弈完美納什均衡為；甲的策略:選擇生產(chǎn)高檔產(chǎn)品；乙的策略:若甲選擇了生產(chǎn)髙檔?則選擇低檔;若甲選擇了生產(chǎn)低檔，則選擇高檔。本博弈的子博弈完美納什均衡略徑為；甲選擇生產(chǎn)高檔彩電，然后乙選擇生產(chǎn)低檔彩電°本博弈的雙方得益為（1000,700〉。乙向甲5R￥Iooo元，并且威肋甲如果不給就與他同歸于盡。當(dāng)然甲不一定會(huì)相信乙的威的。請(qǐng)用擴(kuò)展形表示該睛弈.并找出純策略納什均衡和子博弈完美納什均衡。獲考答案』苴先我們可以把該團(tuán)弈抽象為一個(gè)先由甲選擇繪否給乙這1000元?而在甲選擇不給的怙況下?再由乙選擇是否實(shí)施冋歸于盡威脅的兩階段動(dòng)態(tài)搏弈。如果設(shè)甲給乙100D元自已有1000元損失，乙得到1000元凈利益，而一旦同歸于盡則雙方椰有無窮大的負(fù)利益，則該博弈表示成擴(kuò)展形如下：根據(jù)納什均衡的定義，不難發(fā)現(xiàn)該博弈有兩個(gè)純策略納什均衡（給,實(shí)施）和（不給，不實(shí)施）。因?yàn)檫@兩個(gè)策瑞組合都符合給定對(duì)方的第略。自己的策略是鍛好第略的定義。運(yùn)用逆推歸納法，可以解得該博弈的子博弈完英納什均衡是：甲在第一階段選擇不給?乙在第二階段選擇不實(shí)施,也就是（不給，不實(shí)施＞。另一個(gè)策略組合〈給,實(shí)施〉不是子博弈完美納什均術(shù).因?yàn)楦鶕?jù)本博弈的得益結(jié)構(gòu)，在第一階段甲不給旳情況下,乙第二階段選擇實(shí)施是不可信的威脅A6?兩個(gè)寡頭企業(yè)進(jìn)行價(jià)格竟?fàn)帒勣?企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù)是弟=—（卩一凹+C+「企業(yè)2的利潤(rùn)函JS是巾=—（q—b）'+p.其中P是企業(yè)1的價(jià)格/是企業(yè)2的價(jià)格.歡：（1） 兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策的純錨略納什均衡：（2） 企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡；（3） 企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡；（4） 規(guī)否存在參數(shù)“、6、c的特定值或范圍，便兩個(gè)企業(yè)都希望自己先決策？泰考答案：(1)兩個(gè)企業(yè)同時(shí)定價(jià)。根據(jù)兩今企業(yè)的得益函數(shù),很容易導(dǎo)出它們各自的反應(yīng)函數(shù)；第=—2(p—網(wǎng)4-c)=0因此兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策時(shí)的納什均術(shù)是:此時(shí)兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)兀1=_(p_兩+?+q=b

Ki=—(y_I/)?+p=ab_c(2)企業(yè)1先決策j根據(jù)逆推歸納法，先求企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù):

=-?2(g—0)=0=>q="代入企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù)，得到;K\u—(“一購+r)2+g

=—(p■ub十C+0再求企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)：因此企業(yè)1先決策時(shí)的子博弈完美納什均衡仍然是:企業(yè)X定價(jià)P=4j企業(yè)2定價(jià)q=b、與兩個(gè)企業(yè)同吋定價(jià)時(shí)相何。利潤(rùn)當(dāng)然也與同吋定價(jià)時(shí)相同。這實(shí)際上是因?yàn)楸静┺闹泻笮袨榈钠髽I(yè)2的選擇與先行為的企業(yè)】的選擇無關(guān)。企業(yè)2先決策。根據(jù)逆推歸納法，先求企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù):宴"2(/?-M+C=0因此企業(yè)1先決策時(shí)的子博弈完美納什均衡仍然是2企業(yè)I定價(jià)p二ab—j企業(yè)2定價(jià)q=b.與兩個(gè)企業(yè)同吋定價(jià)時(shí)相同。利淘當(dāng)然也與同吋定價(jià)時(shí)相同。這實(shí)際上是因?yàn)楸静┺闹泻笮袨榈钠髽I(yè)2的選擇與先行為的企業(yè)]的選擇無關(guān)。企業(yè)2先決策「根據(jù)逆推歸納法，先求企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)：OjT]祚"二—2(力一旳+c?)=0p=aq—c代入企業(yè)2的利潤(rùn)函數(shù)得：毗=?(q—川+/>=一(°一f)y+駒_r求企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)得：=-2(g-b)+a=0=q=號(hào)+/?再把該價(jià)格代入企業(yè)丨的反應(yīng)函數(shù)，得：2p=uq_I=三十血_〔因此企業(yè)2先決策時(shí)子博弈完美納什均術(shù)是：企業(yè)1定價(jià)為P=y+ ?企業(yè)2定價(jià)為q=今+b。此時(shí)兩個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)為！zti=—(p^aq+c)2+q=—牛+弘一￡—a—ab*￥c+尋+&因?yàn)橹挥邢葲Q策的利潤(rùn)大于后決策的利潤(rùn)時(shí)企業(yè)才希望先決策，因此當(dāng)；

牛+ab—c>ab—c4企業(yè)】希里自己先決策。這個(gè)不等式在aKO的情況下總能滿足。當(dāng)企業(yè)2希望自己先選擇。這個(gè)不等式要求?<0o因此根據(jù)上述兩個(gè)不等式，只要?<0,兩個(gè)企業(yè)都會(huì)希里自己先決策。如果進(jìn)一步考慮利潤(rùn)必須非負(fù)，那么幾個(gè)參數(shù)還必級(jí)滿足&>0、今+於2>0sab-c>0和？+〃?r>0°其中第四個(gè)不等式在4工0并4H第三個(gè)不年式成立時(shí)必然成立，前三個(gè)不等式結(jié)合上述a<0.得到兩個(gè)企業(yè)都希塑先決策的條件是QVO, 號(hào)和CV"。7.考慮如下的雙JT頭市場(chǎng)戰(zhàn)略投資模型：企業(yè)1和企業(yè)2目前倩況T的單位生產(chǎn)成本都是c=2o企業(yè)1可以引進(jìn)一項(xiàng)斷技術(shù)使單位成本降低到C=l.該項(xiàng)技術(shù)需要投資/。在企業(yè)1作出是否投資的決策(企業(yè)2可以規(guī)賽對(duì))后?兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)Bo假設(shè)市場(chǎng)譜求百數(shù)為p(g)=14-fl,其中p冕市場(chǎng)價(jià)格內(nèi)是兩個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)?。問上述投資除/■處干什么水平時(shí)，企業(yè)1會(huì)選擇引逬新枝術(shù)？參考答案：分企業(yè)1笫一階段未引進(jìn)和引進(jìn)投資兩種情況■毎種情況都用逆推歸納法進(jìn)行分析。假設(shè)企業(yè)1第一階段未投資引進(jìn)新技術(shù)。此吋兩個(gè)企業(yè)的邊際成本都是2,利潤(rùn)函數(shù)為；恥=(14一gi—的)?°=2?才2=(^4—7?_q?)，q?—2gz求兩個(gè)企業(yè)和澗對(duì)各自產(chǎn)象的偏導(dǎo)數(shù)并令為S得：14-一細(xì)_免一14-一細(xì)_免一2=014一2<12_q】_2=0聯(lián)立兩個(gè)反應(yīng)tfi數(shù)可解得納什均衡產(chǎn)量為G=4.山=4,此時(shí)企業(yè)1的利潤(rùn)為c=16。假設(shè)企業(yè)1第-階段引進(jìn)新技術(shù)。此時(shí)企業(yè)1的邊際成本下降到丨?兩個(gè)企業(yè)的利西函數(shù)為：山=(]4-0一上)?G~5—fKt*(]4一?—q?)?他一2g?求兩個(gè)企業(yè)利潤(rùn)對(duì)各自產(chǎn)畐?的偏導(dǎo)數(shù)并令為0,得：=14—2q】一代一1u0礬=14一2乞一gi▼2=0聯(lián)立兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)可解得納什均衡產(chǎn)ft為q^<￥，?=￥。企業(yè)1的利潤(rùn)為戀=晉一九現(xiàn)莊我們回到第一階段,很顯然只冇引進(jìn)新技術(shù)后得到總利潤(rùn)大干未引進(jìn)新技術(shù)的總利潤(rùn)，即兀;=攀一/鼻心=16,即當(dāng)時(shí)，企業(yè)1才會(huì)投資引進(jìn)新技術(shù)。8?三案頭壟斷市場(chǎng)有倒轉(zhuǎn)的需求函數(shù)為p(6)=?-2,其中費(fèi)■6+衍+5是廠商i的產(chǎn)■。毎一個(gè)廠商生產(chǎn)的邊際成本為常數(shù)6沒有固定成本。如果廠商1先選擇血，廠商2和廠商3觀察到務(wù)后冏時(shí)選擇形和升，問它們各自的產(chǎn)■是多少？斛答提示；該題與教材習(xí)題6相似。用逆推歸納法先分?jǐn)氐诙A段廠商1和廠商2的靜態(tài)博弈?再討論第一階段廠商1的選擇。參考答案，三個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù)為:m=(Q一0—5一qdq\—巾=(a—的一如一4)?—cqiE=(a—0—血—73)7s—cqi先分析第二階段廠齋2和廠商3的決第。令它們的利潤(rùn)對(duì)各自產(chǎn)星的偏導(dǎo)數(shù)為0得；

聯(lián)立解得廠商2和廠商3對(duì)廠商1產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)為:4 3.4_C_?的 3再分析第一階段廠商1的決策。先把上述兩個(gè)廠商的反應(yīng)函數(shù)代入企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù)，得；街=（a—尙_破_Qs）qi_f=-~ 91—e對(duì)0求偏導(dǎo)數(shù)得：解得；西i=2一並+空=o翻 3 3 3代入廠商:G=號(hào)+^?和廠商3的反應(yīng)函數(shù)得a—r—Qi <z一二一 3 _I-a—c—qia—4c93 3 6因此本博弈中廠商1將生產(chǎn)產(chǎn)儲(chǔ)6=專+“廠商2和廠商3生產(chǎn)產(chǎn)屋g?=a=a~^—c10?兩個(gè)兄弟分一塊冰激凌。哥哥先提出一個(gè)分割比例，弟弟可以接受或拒絕■接受則按哥哥的提墳分割，若拒絕就自己提出一個(gè)比例。但這時(shí)侯冰激凌己化得只剩1/2了。對(duì)弟弟提議的比例哥哥也可以選擇接受或拒絕■若接受則按弟弟的提議分割■若拒絕冰激凌會(huì)全部化光。因?yàn)樾值苤g不應(yīng)該做損人不利己的事■因此我們假設(shè)接受和柜絕利益相同時(shí)兄弟倆都余接受。求諫博弈的子博弈完美納什均衡。如果冰激凌每階段只化掉1/3,博弈的子博弈憲美納什均窗是什么？多考答嫖：根據(jù)問題?如果我們假設(shè)哥的方案堆s,!1-s,，其中$是自己的份額，弟的方案是s「l-Si.Ss是哥的份額，那么可用如下的擴(kuò)展形表示該毎弈；運(yùn)用逆推歸納法先分析晟后一階段哥的選擇。由于只要接受的利益不小于不接曼的利益硏就會(huì)接受，因此在這個(gè)階段只要弟的方案満足專S2》0,也就是s2>0,哥就會(huì)接受，否則不會(huì)接受。由于冰激凌的份額不可能罡負(fù)數(shù)，因此該條件實(shí)際上必然是成立的，也就是說因?yàn)楦绮唤邮艿艿姆桨副ち钑?huì)全部化淖，因此任何方案哥都會(huì)接受。現(xiàn)在回到前一階段弟的選擇。由于弟知道后一階段哥的選擇方法?因此知道如果不接受前一階段哥提岀的比例?自己可以取^=0,砂享此時(shí)還未化掉的1/2塊冰激凌;如果選擇接受前一階段哥的提議，那么自己將得到1一S】°顯然只要1一Si上1/2,即St>1/2,弟就會(huì)接受哥的提議。再回到第一階段哥的選擇。哥清楚后兩個(gè)階段雙方的選擇邏輯和結(jié)果■因此他在這一階段選擇S=1/2,正是能夠被弟接受的自己的最大限度份額?超過這個(gè)份純將什么都不能得到，因此S)="2是最佳選擇。綜上?該博弈的子博奔完美納什均術(shù)是:哥哥開始時(shí)就提議按(1/2,1/2)分割■弟弟接受。每階段只化掉1/3的情況請(qǐng)讀者自己分析。12.假te-個(gè)內(nèi)個(gè)廠商的市址有倒轉(zhuǎn)的需求函數(shù)p（@）-q_Q、其中Q是它們的總產(chǎn)■。如果廠商的產(chǎn)出①都等于雇傭的勞動(dòng)力數(shù)?J,并且除工資以外沒有其他成本。再假設(shè)菓工會(huì)是所有廠商惟一的勞動(dòng)力供給者。如果先由工會(huì)決定統(tǒng)一的工資率叭廠商者到r后同時(shí)選擇廉用數(shù)■?,工會(huì)的效用函數(shù)為3—％）U其中磯為工會(huì)成員到其他行業(yè)謀職的收入上=乙+???+比為工會(huì)的總就業(yè)水平）。求該博弈的子博奔完美納什均衡。參考答案：運(yùn)用逆推歸納法進(jìn)行分析。為了簡(jiǎn)單起見，假設(shè)勞動(dòng)力雇傭數(shù)是連續(xù)可分的C第一步先求第二階段廠商對(duì)工會(huì)工資率3的反應(yīng)函數(shù)?（他）。由于第二階段有”個(gè)廠商同時(shí)選擇雇用勞動(dòng)力數(shù)慟，因此該階段是一個(gè)靜態(tài)博弈問題。由于本博弈中每個(gè)廠商的收益取決于毎個(gè)廠冏的產(chǎn)呈，每個(gè)廠商的產(chǎn)量則取決于雇舟的勞動(dòng)力數(shù)最.成本取決于工資率和雇用勞動(dòng)力數(shù)量■因此每個(gè)廠商的利詢都是各個(gè)廠商雇用的勞動(dòng)力數(shù)@?和工會(huì)決定的工資率3的函數(shù)，廠曲F的利潤(rùn)函數(shù)是/r.CwjL,，…丄J=乙山＜2-另乙—s）令碼對(duì)匚的偏導(dǎo)數(shù)為0得：—2Lr4-?—-a,— =0可解得：匚?y（a-s—?引）L m因?yàn)楸緫勣闹械凝R個(gè)廠商是對(duì)稱的，因此4=???=厶，代入上式可解得；

a—it?力a—it?力+1所有廠商雇用勞動(dòng)力的總雖則為"2一繆。這些實(shí)際上也分別席十1是各個(gè)廠商的產(chǎn)量和市場(chǎng)總產(chǎn)星。現(xiàn)在回到第一階段工會(huì)的選擇。由于工會(huì)了解廠商的決簧方法，囚此淸楚對(duì)應(yīng)自己的工資率W,n個(gè)廠商的雇用總數(shù)一定是匸仙）=”⑺：叢）,從而工會(huì)自己的效用為令上述效用函數(shù)對(duì)W的偏導(dǎo)數(shù)為0得:匸十s—2w）=0解得’a-（aa-（a+嚴(yán)）1~因此該博弈的子博弈完美納什均衡是；工會(huì)選擇3（gtW°\每個(gè)廠商雇用工人數(shù)園為告罟。13.如果學(xué)生在考試之前全面復(fù)習(xí)，考好的柢率為90%?如果學(xué)生只夏習(xí)一部分■點(diǎn)，則有50%的概率考好。全面廈習(xí)花費(fèi)的時(shí)間A=100小時(shí)■童點(diǎn)復(fù)習(xí)只需要花費(fèi)冷=20小時(shí)。學(xué)生的效用函錐為卍=其中W是考試成績(jī)丫有高低兩種分?jǐn)?shù)W■和為努力學(xué)習(xí)的時(shí)間。問老師如何才能促便學(xué)生全面復(fù)習(xí)？本題中老師的調(diào)控手段是髙分和低分的水平,或者高分和低分的差距，分?jǐn)?shù)水平的作用與3.5.4節(jié)中工資獎(jiǎng)金制度中獎(jiǎng)金的作用相似，差別是本題中老師給學(xué)生高低分并沒有戒左，老師也不用老慮白己的收益或效用。如果引進(jìn)反映不確定性的博弈方》可以得到該博弈的擴(kuò)展形如卜；(Wi-200) (Wi-200) (W*-40) (W-40)學(xué)生選擇全面復(fù)習(xí)的期望得苕是U=0.9X（WA-200）+0.1X（^-200）重點(diǎn)復(fù)習(xí)的期盤得益：U?=O?5X〈W*-4O）+O?5X（叭一40）只有當(dāng)520時(shí)學(xué)生才會(huì)選擇全面復(fù)習(xí)。根據(jù)U26我們可以算出WA-Wr^40%這就定老師能夠有效促使學(xué)生全面更習(xí)需要滿足的條件&其實(shí)在獎(jiǎng)學(xué)金與考試成績(jī)掛鉤時(shí)，常人一妙，也可以理解成不同等圾獎(jiǎng)學(xué)金的差額。"?篥人正在打一場(chǎng)官司，不甫律師肯定會(huì)輸■請(qǐng)律師后的結(jié)果與律師的努力程度有關(guān)。假設(shè)當(dāng)律師努力工作（100小時(shí)）時(shí)有50%的槪率能廈.律師不努力工作（10小時(shí)）則只有15%的概事能賓。如果訴訟獲勝可穩(wěn)到250萬元賠償，失敗則沒有賠償。因?yàn)槲蟹綗o法監(jiān)督律師的工作■因此取方約定根據(jù)結(jié)果付費(fèi)，豪官司律卻可獲賠償金額的10%■失敗則律師一分錢也得不到。如果律師的效用函數(shù)為w-0.05et其中枷是報(bào)酬弋是努力小時(shí)數(shù)，且律師有機(jī)會(huì)成本5萬元。求這個(gè)博弈的均衡。以考答案：這是??個(gè)努力成果不確宦且不町監(jiān)習(xí)的委托人-代理人博弈問題。但由于本博弈中在律師接受委托后，將按照預(yù)先約定的比例根據(jù)結(jié)果付費(fèi),因此姿托人的選擇比較簡(jiǎn)單，只需要選擇是否提出委托。引進(jìn)表示隨機(jī)性的博奔方0,并計(jì)算出不同情況下雙方的效用和利益■可以得到本博弈的擴(kuò)展形如下(其中博弈方1是委托人，博亦方2超律師)：由于博弈方0是隨機(jī)選擇，因此我們直接用逆推歸納法從律師選擇接受委托后是否努力工作的第三階段開始分析。根據(jù)努力和不努力兩種悄況下窩和輸?shù)臉Ｂ?容易算出律師努力的期望效用足0.5X204-0.5X(-5)=17,5,不努力的期望效用是0.15X24,5+0.85X(-0.5)=3.25,因此在接受委托以石，律師的惟一選擇是努力事回到第二階段律師對(duì)繪否接受委托的選擇。由于接受并努力工作的期望效用17?5大于不接受委托的利益，也就是接受婁托的機(jī)會(huì)成本5萬元，因此律師肯定接受委托。再回到第一階段委托人的選擇。由于委托人可以判斷一旦自己提出委托，律師一定會(huì)選擇接受并努力工作，囚此自己提出委托的期望利益是0.5X225+0.5X0=112.5萬元(不提出委托利益為山提出委托杲必然的選擇。根據(jù)上述分析得到的結(jié)論是?打官司的某人提岀委托?律師接受委托并努力工作.是本博弈的子幡弈完莞納什均衡。15.上一題根據(jù)下面的悄況改變后?再分別求博弈的子博奔完美納什均衡?(】)律師努力工作時(shí)贏的概率改為0?3。底官司時(shí)仍然是按原定比例付酬?輸官司時(shí)委托人支付20000元固定贄用『委托人可以選擇委托合同中支付給律師酌賠償金比例。解答提示$(1＞仍然根據(jù)上一題的分析方法，亟新計(jì)算期望得益即可得到結(jié)論。(2)把上一題輸肯司時(shí)的雙方得益分別減、加20000元后再分析j(3＞委托人對(duì)付酬比例的選擇必須滿足參與約東和激勵(lì)相容約束兩個(gè)條件《＞可歩考教材3.4.4相關(guān)內(nèi)容°第三章不完全信息靜態(tài)博弈1、市場(chǎng)進(jìn)入博弈—個(gè)完全壟斷企業(yè)B正在壟斷一個(gè)行業(yè)市場(chǎng)，另一個(gè)潛在的試圖進(jìn)入該行業(yè)的企業(yè)A，稱A為進(jìn)入者，B為在位者。A不知道B的成本特征，設(shè)B有兩種可能的成本，即高成本和低成本。兩種成本情況下的博弈矩陣如表 6.1。表6.1市場(chǎng)進(jìn)入博弈40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000,400高成本低成本默認(rèn)斗爭(zhēng)默認(rèn)斗爭(zhēng)進(jìn)入不進(jìn)入假定B知道進(jìn)入者A的成本為高成本，且與B為高成本時(shí)的成本相同。假若信息是完全的，則當(dāng)B為高成本時(shí)，唯一的精煉納什均衡為(進(jìn)入，默認(rèn))，另一納什均衡(不進(jìn)入，斗爭(zhēng))是含有不可置信的威脅。當(dāng) B為低成本時(shí)，唯一的納什均衡為(不進(jìn)入，斗爭(zhēng))，即若A進(jìn)入行業(yè)，具有低成本優(yōu)勢(shì)的B將通過降低價(jià)格將A逐出市場(chǎng)。由于存在行業(yè)進(jìn)入成本，所以A被逐出市場(chǎng)后將有凈的10單位進(jìn)入成本的損失。當(dāng)A不知道B的成本情況時(shí)，他的選擇將依賴于他對(duì)B的成本類型的主觀概率或先驗(yàn)概率密度。設(shè)A對(duì)B是高成本的先驗(yàn)概率判斷為P，則A認(rèn)為B為低成本的概率為1P。如果A進(jìn)入，其期望支付為P(40) (1 P)(10)如果1不進(jìn)入，其期望支付為0。1 1當(dāng)且僅當(dāng)P(40) (1 P)(10) 0或P1時(shí)，A選擇進(jìn)入；反之，當(dāng)P-時(shí),5 5A不進(jìn)入。于是，貝葉斯均衡為：1(進(jìn)入，默認(rèn))，高成本，P-；51(進(jìn)入，斗爭(zhēng))，低成本，P-；51(不進(jìn)入，*)，P—5其中*表示可以是斗爭(zhēng)，也可以是默認(rèn)。2、成本信息不對(duì)稱的古諾博弈

之前給出的古諾博弈中，每個(gè)廠商的成本函數(shù)是共同知識(shí)。 這里，我們假設(shè)每個(gè)廠商的成本函數(shù)是私人信息，具體規(guī)定如下：兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)相同產(chǎn)品在同一市場(chǎng)上進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)性銷售，市場(chǎng)需求函數(shù)為 QaP，a0，P為產(chǎn)品價(jià)格，Q為市場(chǎng)需求量。假設(shè)a充分大時(shí)總有aP0，企業(yè)i的成本函數(shù)為Gbq，其中Ci為企業(yè)i的總成本，qi為其產(chǎn)量，bi為其平均成本，bi為常數(shù)且bi0，故bi也是邊際成本。bi是企業(yè)i的私人信息，企業(yè)j不知道bi但認(rèn)為bi在［d,e］上呈均勻分布，d0，e0，de。且進(jìn)一步假定0在［d,e］呈均勻分布是共同知識(shí)，i j，i j1,2。企業(yè)i的支付函數(shù)是其利潤(rùn)函數(shù) ii PqiG(aQ)qibiqi因 Q qi q2故i(a