2023-2024學年德陽市重點中學高二數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.2．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉化為維生素，現從，兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數為 D.品種的中位數為3．定義運算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.4．圍棋起源于中國，據先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發意境、陶冶情操、修身養性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關聯，蘊含著中華文化的豐富內涵．在某次國際圍棋比賽中，規定甲與乙對陣，丙與丁對陣，兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據以往戰績，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.365．橢圓的左、右焦點分別為、，上存在兩點、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.6．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說法正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則8．正三棱柱各棱長均為為棱的中點，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.19．由1，2，3，4，5五個數組成沒有重復數字的五位數，其中1與2不能相鄰的排法總數為（）A.20 B.36C.60 D.7210．已知命題，，若是一個充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.812．函數，的值域為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設各層球數構成一個數列，其中，，，則______14．已知函數，則函數在上的最大值為_______15．若，且，則的最小值是____________.16．若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.18．（12分）設命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實數m的取值范圍.19．（12分）排一張有6個歌唱節目和5個舞蹈節目的演出節目單.（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？20．（12分）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）若直線和曲線C相交于E，F兩點，求.21．（12分）已知函數的圖像在處的切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，點是橢圓E上一點.（1）求E的方程；（2）設過點的動直線與橢圓E相交于兩點，O為坐標原點，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】連接Q和右焦點，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯立可得Q點坐標，Q點坐標代入橢圓標準方程可得a、b、c關系﹒【詳解】設橢圓右焦點為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D2、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計算出眾數、中位數、方差，然后對各選項進行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數據波動比品種的數據波動大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數為與，故C錯誤；品種的數據的中位數為，故D正確.故選.【點睛】本題主要考查了對數據的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計算出眾數、中位數、方差，即可對各選項進行判斷，較為基礎3、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關系時注意角的范圍.【詳解】解：因為，都是銳角，所以，，因為，所以，即，，所以，，因為，所有，故選：B.【點睛】信息給予題，已知三角函數值求三角函數值，考查根據三角函數的恒等變換求值，基礎題.4、B【解析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結果.【詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.5、A【解析】作點關于原點的對稱點，連接、、、，推導出、、三點共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導出，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點關于原點的對稱點，連接、、、，則為、的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因為，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.6、B【解析】根據曲線方程，結合充分、必要性的定義判斷題設條件間的關系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B7、B【解析】A．運用線面平行的性質，結合線線的位置關系，即可判斷；B．運用線面垂直的性質，即可判斷；C．運用線面垂直的性質，結合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運用線面平行的性質和線面垂直的判定，即可判斷【詳解】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯故選B【點睛】本題考查空間直線與平面的位置關系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質，記熟定理是解題的關鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型8、C【解析】建立空間直角坐標系，利用點面距公式求得正確答案.【詳解】設分別是的中點，根據正三棱柱的性質可知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，.設平面的法向量為，則，故可設，所以點到平面的距離為.故選：C9、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個位置上選2個排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個位置上選2個排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數為種，故選：D.10、A【解析】先化簡命題p，q，再根據是的一個充分不必要條件，由q求解.【詳解】因為命題，或，又是的一個充分不必要條件，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A11、C【解析】首先將圓心坐標代入直線方程求出參數a，求得點A的坐標，由切線與圓的位置關系構造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.12、A【解析】利用基本不等式可得，進而可得，即求.【詳解】∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴，，∴.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】由分析可知每次小球數量剛好是等差數列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1514、【解析】利用導數單調性求出的單調性，比較極小值與兩端點，的大小求出在上的最大值.【詳解】因為，則，令，即時，函數單調遞增.令，即時，函數單調遞減.所以的單調遞減區間為，的單調遞增區間為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數的極小值也是函數的最小值.，兩端點為，，即最大值為.故答案為：.15、【解析】應用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【詳解】由，有，則，當且僅當，且，即時等號成立，∴最小值為.故答案為：16、【解析】當圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時，橢圓和圓有四個不同的焦點，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點，故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡得，即①.由得，兩邊平方并化簡得，解得②.由①②得.故填.【點睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數方程華為普通方程，再轉化為極坐標方程即可.（2）首先聯立得到，再求的長度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數方程，（為參數）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.18、【解析】先求出命題為真時，的取值范圍，再取交集可得答案.【詳解】若命題，為真命題，則，解得；若命題，為真命題，則命題，為假命題，即方程無實數根，因此，，解得.又p、q都為真命題，所以實數m的取值范圍是.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的真假求參數值、一元二次函數的性質，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.19、（1）（2）【解析】(1)用插空法，現排唱歌，利用產生的空排跳舞；（2）先排唱歌再排舞蹈.【小問1詳解】解：先排歌唱節目有種，歌唱節目之間以及兩端共有7個空位，從中選5個放入舞蹈節目，共有種方法，所以任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有種方法.【小問2詳解】解：先排舞蹈節目有種方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有6個空位，恰好供6個歌唱節目放入.所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有種方法.20、（1），曲線是一個雙曲線，除去左右頂點（2）【解析】（1）設，則的斜率分別為，，根據題意列出方程，化簡后即得C的方程，根據方程可以判定曲線類型，注意特殊點的去除；（2）聯立方程，利用韋達定理和弦長公式計算可得.【小問1詳解】解：設，則的斜率分別為，，由已知得，化簡得，即曲線C的方程為，曲線一個雙曲線，除去左右頂點.【小問2詳解】解：聯立消去整理得，設，，則，.21、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小問1詳解】解：求導得，因為在出的切線斜率為，則，即①因為時，有極值，則.即②由①②聯立得，所以.【小問2詳解】解：由（1），令解得或，列表如下：極大值極小值所以，在［－3