第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第二章函數(shù)考試要求：1．了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)．2．了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，了解指數(shù)函數(shù)的概念．3．能畫具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．必備知識·回顧教材重“四基”01

xn＝anaa

2．有理數(shù)指數(shù)冪冪的有關(guān)概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于__，0的負分數(shù)指數(shù)冪_________指數(shù)冪的運算性質(zhì)aras＝______(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝____(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝_____(a＞0，b＞0，r∈Q)

0沒有意義ar＋sarsarbr3.指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.形如y＝kax(k≠1)，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．4．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<a<1a>1圖象定義域R值域____________(0，＋∞)

0<a<1a>1性質(zhì)過定點_________，即x＝0時，y＝1當x<0時，_____；當x>0時，________當x>0時，_____；當x<0時，______________________(0，1)y>10<y<1y>10<y<1減函數(shù)增函數(shù)

34512×××√×

345123．函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是(

)A．4 B．3C．2 D．1B

解析：由指數(shù)函數(shù)的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.34512

34512

34512關(guān)鍵能力·研析考點強“四翼”考點1指數(shù)冪的化簡與求值——基礎(chǔ)性02考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用——綜合性考點3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用——應(yīng)用性

3412考點1指數(shù)冪的化簡與求值——基礎(chǔ)性

3412

3412

34121．解決這類問題要優(yōu)先考慮將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算．在運算過程中要先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)，如果底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)．2．這類問題的運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式要力求統(tǒng)一．例1

(1)已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax-1(a>1且a≠1)的圖象恒過點P，則點P的坐標是(

)A．(1，6) B．(1，5)C．(0，5) D．(5，0)A

解析：當x＝1時，f(1)＝6，與a無關(guān)，所以函數(shù)f(x)＝4＋2ax-1的圖象恒過點P(1，6)．故選A.考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用——綜合性(2)若函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為_________．(0，1)

解析：作出曲線y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b如圖所示．由圖象可得b的取值范圍是(0，1)．在本例(2)中，若將條件中的“有兩個公共點”，改為“有一個公共點”，則結(jié)果如何？b≥1或b＝0

解析：作出曲線y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b如圖所示．由圖象可得b的取值范圍是b≥1或b＝0.指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用問題的求解方法(1)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．

2．若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是_________．[－1，1]

解析：作出曲線|y|＝2x＋1的圖象，如圖所示，要使該曲線與直線y＝b沒有公共點，只需－1≤b≤1.

考點3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用——應(yīng)用性

比較冪的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小．(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小．

解簡單指數(shù)不等式的方法先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，要注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．

求函數(shù)f(x)＝ag(x)單調(diào)性的方法(1)先將f(x)＝ag(x)視為是由y＝au與u＝g(x)復合而成的．(2)分別討論函數(shù)y＝au與u＝g(x)的單調(diào)性，利用“同增異減”的方法得出函數(shù)f(x)＝ag(x)的單調(diào)性．

1．研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致．2．研究復合函數(shù)的單調(diào)性，要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，借助“同增異減”，將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決．

34122．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，對任意x1，x2，當x1>x2≥1時，f(x)單調(diào)遞增，則關(guān)于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集為(

)A．(－∞，1) B．(－∞，log32)C．(log32，1) D．(1，＋∞)3412B

解析：因為函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝1對稱．因為函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)為增函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，1]為減函數(shù)．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等價于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a?3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t－6<0.當t2－t＋6<0時，無解．當t2＋t－6<0時，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32.34123．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2，1)，則f(x)的值域為(

)A．[9，81] B．[3，9]C．[1，9] D．[1，＋∞)C

解析：由f(x)的圖象過定點(2，1)可知b＝2.因為f(x)＝3x-2在[2，4]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(2)＝32-2＝1，f(x)max＝f(4)＝34-2＝9.故選C.341