初中數學規律性問題歸納●【教學目標】理解并掌握規律探究性問題的方法●【重點難點】理解并掌握規律探究性問題的方法●【基礎知識】專題詮釋規律探索型題是根據已知條件或題干所提供的若干特例，通過觀察、類比、歸納，發現題目所蘊含的數字或圖形的本質規律與特征的一類探索性問題。這類問題在素材的選取、文字的表述、題型的設計等方面都比較新穎新。其目的是考查學生收集、分析數據，處理信息的能力。所以規律探索型問題備受命題專家的青睞，逐漸成為中考數學的熱門考題。解題策略和解法精講規律探索型問題是指在一定條件下，探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規律．它體現了“特殊到一般”的數學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯想、歸納能力，以及探究能力和創新能力．題型可涉及填空、選擇或解答．。●【例題講解】(一)與數與式有關的規律探究性問題例1一組按規律排列的式子：－eq\f(b2,a)，eq\f(b5,a2)，－eq\f(b8,a3)，eq\f(b11,a4)，…(ab≠0)，其中第7個式子是________，第n個式子是______________(n為正整數)．[解析]第7個式子是－eq\f(b20,a7)，第n個式子是(－1)neq\f(b3n－1,an).觀察給出的一列數，發現這一列數的分母a的指數分別是1、2、3、4、…，與這列數的項數相同，故第7個式子的分母是a7，第n個式子的分母是an；這一列數的分子b的指數分別是2、5、8、11、…，這一組數首項為2，從第二項起，每一項與它的前一項的差等于3，第n項應為2＋3(n－1)＝3n－1.故第7個式子的分子是b3×7－1＝b20，第n個式子的分子是b3n－1；特別要注意的是這列數字每一項的符號，它們的規律是奇數項為負，偶數項為正，故第7個式子的符號為負，第n個式子的符號為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))eq\s\up12(n).例2小東玩一種“挪珠子”游戲，根據挪動珠子的難度不同而得分不同，規定每次挪動珠子的顆數與所得分數的對應關系如下表所示：按表中規律，當所得分數為71分時，則挪動的珠子數為________顆；當挪動n顆珠子時(n為大于1的整數),所得分數為___________(用含n的代數式表示)．[解析]從表格中能看出所得分數為5、11、19、29、41….從上圖中，我們能看出這一組數的增幅不相等，但是增幅以2的幅度在增加，∴所得分數是挪動珠子數的二次函數．設挪動n顆珠子時(n為大于1的整數),所得分數為yn＝an2＋bn＋c，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝5，,9a＋3b＋c＝11，,16a＋4b＋c＝19，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,c＝－1，))∴yn＝n2＋n－1.令yn＝71，解得n＝8.例3如圖Z2－1為手的示意圖，在各個手指間標記字母A，B，C，D.請你按圖中箭頭所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)，從A開始數連續的正整數1，2，3，4，…，當數到12時，對應的字母是_____；當字母C第201次出現時，恰好數到的數是______；當字母C第2n＋1次出現時(n為正整數)，恰好數到的數是________(用含n的代數式表示)．[解析]通過對字母觀察可知：前六個字母為一組，后邊就是這組字母反復出現.12除以6剛好余數為零，則表示這組字母剛好出現兩次，∴最后一個字母應該是B.當字母C第201次出現時，由于每組字母中C出現兩次，則這組字母應該出現100次后還要加一次C字母出現，而第一個C字母在第三個出現，∴100×6＋3＝603.當字母C第2n＋1次出現時，則這組字母應該出現2n次后還要加一次C字母出現，∴應該是n×6＋3＝6n＋3.例4如圖Z2－2所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直作下去，得到了一組線段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，AnCn，則A1C1＝______，AnCn＝__6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2n)______．[解析]在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理得AB＝10，可由△A1CA∽△CBA計算得CA1＝eq\f(24,5)(也可由Rt△ABC斜邊上的高h＝eq\f(ab,c)求得)，同理可求A1C1＝eq\f(96,25)，AnCn＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2n).例5例5在平面直角坐標系xOy中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．已知點A(0，4)，點B是x軸正半軸上的整點，記△AOB內部(不包括邊界)的整點個數為m.當m＝3時，點B的橫坐標的所有可能值是__________；當點B的橫坐標為4n(n為正整數)時，m＝________(用含n的代數式表示)．[解析]根據題意畫出圖形，再找出點B的橫坐標與△AOB內部(不包括邊界)的整點m之間的關系．當點B在(3，0)點或(4，0)點時，△AOB內部(不包括邊界)的整點為(1，1)(1，2)(2，1)，共三個點，∴當m＝3時，點B的橫坐標的所有可能值是3或4；學生通過在試卷上精確作圖，能夠發現當n＝1時，點B的橫坐標為4，此時m＝3；當n＝2時，點B的橫坐標為8，此時m＝9；當n＝3時，點B的橫坐標為12，此時m＝15.我們能夠發現3、9、15為首項為3，公差為6的等差數列，很容易能夠得到6n－3.此類題解答的關鍵是先練后想，通過精確作圖，列出關于兩個變量變化情況的表格，再通過尋找數式規律得到解答．例6在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖Z2－4所示，點A的坐標為(1，0)，點D的坐標為(0，2)．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規律進行下去，第3個正方形的面積為________；第n個正方形的面積為________(用含n的代數式表示).[解析]觀察圖形可知，正方形都相似，△A1B1A2∽△A2B2A3，這些三角形的三邊比等于1∶2∶eq\r(5)，可求出A1B1∶AB＝2∶3.同理可知每一個正方形與后一個正方形的相似比等于3∶2，∵第1個正方形的面積為5，∴2個正方形的面積為5(eq\f(3,2))2，第3個正方形的面積為5(eq\f(3,2))4，第n個正方形的面積為5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2n－2)以平面直角坐標系為載體的規律探究性問題，體現了“數”與“形”的完美結合．在坐標系中研究幾何圖形，實現線段長度和點的坐標的正確轉換是關鍵，要注重橫、縱坐標兩者各自變化的規律以及兩者之間的關系．解決問題的方法與前兩種類型一致．例7在下表中，我們把第i行第j列的數記為ai，j(其中i，j都是不大于5的正整數)，對于表中的每個數ai，j規定如下：當i≥j時，ai，j＝1；當i<j時，ai，j＝0.例如：當i＝2，j＝1時，ai，j＝a2，1＝1.按此規定，a1，3＝________；表中的25個數中，共有________個1；計算a1，1·ai，1＋a1，2·ai，2＋a1，3·ai，3＋a1，4·ai，4＋a1，5·ai，5的值為________．[解析]因為1<3，根據規定，當i<j時，ai，j＝0，所以a1，3＝0；按照方格中排序可知，滿足i＝j的恰好為對角線上的五個數，從而可知i≥j的數共有15個；第3空按規律可知后四項都為0，因此結果為1.定義新運算是指用一種新的運算符號或表達式表示一種新的運算規則，解決此類題的關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數值代入算式中，再把它轉化為一般的四則運算，然后進行計[達標檢測]A組1..對于任意兩個實數對（a，b）和（c，d），規定：當且僅當a＝c且b＝d時，（a，b）=（c，d）．定義運算“”：（a，b）（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）（p，q）=（5，0），則p＝，q＝．2.在平面直角坐標系xOy中,正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,…,按如圖所示的方式放置.點A1、A2、A3,…和B1、B2、B3,…分別在直線y=kx+b和x軸上.已知C1(1,-1),C2(),則點A3的坐標是.第2題 第3題3、將邊長分別為1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐標系第一象限，如圖中方式疊放，則按圖示規律排列的所有陰影部分的面積之和為▲.4、若是不等于1的實數，我們把稱為的差倒數，如2的差倒數是，的差倒數為，現已知，是的差倒數，是的差倒數，是的差倒數，……，依次類推，則=▲．5、觀察圖給出的四個點陣，s表示每個點陣中的點的個數，按照圖形中的點的個數變化規律，猜想第n個點陣中的點的個數s為（） A.3n﹣2 B.3n﹣1C.4n+1 D.4n﹣3B組6、如圖所示，直線y＝x＋1與y軸相交于點A1，以OA1為邊作正方形OA1B1C1，記作第一個正方形；然后延長C1B1與直線y＝x＋1相交于點A2，再以C1A2為邊作正方形C1A2B2C2，記作第二個正方形；同樣延長C2B2與直線y＝x＋1相交于點A3，再以C2A3為邊作正方形C2A3B3C3，記作第三個正方形；…，依此類推，則第n個正方形的邊長為_________． 6題 7、設,,,…,，設，則S=_______________(用含n的代數式表示，其中n為正整數)。8、如圖，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．則點A2012的坐標為______．第7題 第8題 第10題9.如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC1，交斜邊AC于點C1，C1B1⊥AB于點B1，設弧BC1，C1B1，B1B圍成的陰影部分的面積為S1，然后以A為圓心，AB1為半徑作弧B1C2，交斜邊AC于點C2，C2B2⊥AB于點B2，設弧B1C2，C2B2，B2B1圍成的陰影部分的面積為S2，按此規律繼續作下去，得到的陰影部分的面積S3=．10、（如圖，已知△ABC的周長為m，分別連接AB，BC，CA的中點A1，B1，C1得△A1B1C1，再連接A1B1，B1C1，C1A1的中點A2，B2，C2得△A2B2C2，再連接A2B2，B2C2，C2A2的中點A3，B3，C3得△A3B3C3，…，這樣延續下去，最后得△AnBnCn．設△A1B1C1的周長為l1，△A2B2C2的周長為l2，△A3B3C3的周長為l3，…，△AnBnCn的周長為ln，則ln=．C組11、如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1,M2,M3,……Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=。(用含n的式子表示)12、如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn．下列結論正確的有（）①四邊形A2B2C2D2是矩形；②四邊形A4B4C4D4是菱形；③四邊形A5B5C5D5的周長是QUOTE
④四邊形AnBnCnDn的面積是QUOTE
．A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④13．已知是正整數，是反比例函數圖象上的一列點，其中．記，，若（是非零常數），則的值是________________________（用含和的代數式表示）．14．如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，…，（n為正整數），那么第8個正方形的面積＝_______。15．如下數表是由從1開始的連續自然數組成，觀察規律并完成各題的解答．1234567891011121314151