空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖一、選擇題1.下列命題中正確的個數是（）由五個面圍成的多面體只能是四棱錐；②用一個平面去截棱錐便可得到棱臺；③僅有一組對面平行的五面體是棱臺；④有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐.B.1個AB.1個C.2個DC.2個【解析】對于①，五個面圍成的多面體也可以是三棱柱或三棱臺，故①錯;對于②，當平面與棱錐底面不平行時，截得的幾何體不是棱臺，故②錯；對于③，僅有一組對面平行的五面體也可能是三棱柱，故③錯；對于④，當三角形面沒有一個公共頂點時，也不是棱錐，故④錯.【答案】A2.（2013?青島質檢）將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖7-1-11所示，則該幾何體的側視圖為（A所示，則該幾何體的側視圖為（A【解析】如圖所示，點Q的投影為q,點D的投影為C,點A的投影為GBiCB左視圖GBiCB左視圖【答案】D3.如圖7-1-12所示正三棱柱ABC~A1B1C1的主視圖（又稱正視圖）是邊長為4的正方形，則此正三棱柱的側視圖（又稱左視圖）的面積為（）a2bmtB主視圖圖7-1-12A.16 B.2腰C.4? D.8展【解析】由主視圖知，正三棱柱底面邊長為4,側棱長為4,則正三棱柱的側視圖是高為4,底邊長為2項3的矩形，從而側視圖的面積為5^=4X273=側」8、B【答案】D4.（2013-武漢模擬）如圖7-1-13是一正方體被過棱的中點M、N和頂點A、d、q的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的正視圖為（）圖7-1-13【解析】由幾何體知，邊界線AM可視，DC】不可視，且點M在正方體后側面上的射影是邊的中點，故選B.【答案】B5.（2013-鄭州模擬）已知正三棱錐V-ABC的主視圖、俯視圖如圖7-1-14所示，其中VA=4,AC=2<3，則該三棱錐的左視圖的面積為（）2J3主視圖 俯視圖圖7-1-14A.9 B.6C.3、舟Da.''39【解析】由主視圖和俯視圖知，正三棱錐的底面邊長為2\&側棱長為4,由俯視圖知，正三棱錐的左視圖是以BC為底邊的等腰三角形，其高為正三棱錐的高，因為正三棱錐的高h=2胰，故左視圖的面積S左=|x^,''3X^1'，3=6.【答案】B6.對于長和寬分別相等的兩個矩形，給出下列三個命題：①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖7-1-15所示；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖7-1-15所示;③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如圖7-1-15所示.其中真命題的個數是（）正（主）視圖俯視圖圖7-1-15A.3 B.2C.1 D.0【解析】只要把底面為等腰直角三角形的直三棱柱的一個側面放在水平面上，就可以使得這個三棱柱的正視圖和俯視圖符合要求，故命題①是真命題；把一個正四棱柱的一個側面放置在水平面上，即可使得這個四棱柱的正視圖和俯視圖符合要求，命題②是真命題；只要把圓柱側面的一條母線放置在水平面即符合要求，命題③也是真命題.【答案】A

二、填空題7.如圖7—1—16,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內一動點，則三棱錐P—ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為.圖7圖7—1—16【解析】三棱錐P—ABC的主視圖與左視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1.【答案】18.已知AABC是邊長為a的等邊三角形，則其直觀圖△△'B'C的面積【解析】如圖所示，設△■'B'C'為、ABC的直觀圖，O'為A'B'的中點.由直觀圖的畫法知A由直觀圖的畫法知A'B'=a,OC=空=匝OC22 4，?.?SaA'B'C，=*'B'?(O'C'?sin45°)1/我"圭、還2=2?時4X2)=16a2.即邊長為a的等邊三角形的直觀圖的面積為*6^.【答案】率9.(2013?長春模擬)已知一幾何體的三視圖如圖7—1—17所示，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的 4個頂點，這些幾何形體是（寫出所有正確結論的編號）.圖7-1-17矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；每個面都是等腰三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體.【解析】由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面邊長為。，高為b的長方體，這四個頂點的幾何形體若是平行四邊形，則一定是矩形，故②不正確.【答案】①③④⑤三、解答題已知：圖①是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖②是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構成.俯視圖①②圖7-1-18【解】圖①幾何體的三視圖為：

圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱，下面為倒立的正六棱錐的組合體.如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出(單位：cm).正視圖 側視圖圖7-1-19在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;按照給出的尺寸，求該多面體的體積；【解】(1)如圖.⑵所求多面體的體積1 1 284一k=V長方體—V正"錐=4X4X6—3X(2X2X2)X2=-^(cm3).如圖7-1-20是一個幾何體的正視圖和俯視圖.俯視圖圖7-1-20(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；⑵畫出其側視圖，并求該平面圖形(側視圖)的面積.

【解】（1）由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個正六棱錐.⑵該幾何體的側視圖，如圖.BDCBDC其中AB=AC,ADVBC,且BC的長是俯視圖正六邊形對邊間的距離，即BC=、：&,AD是正棱錐的高，則AD=?.』&,所以該平面圖形（側視圖）的面積為1一一3-S=2X3aX-J3a=^a2.課后作業（四十一）空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.（2012?課標全國卷）如圖7-2-11，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）圖7圖7-2-11A.A.6B.C.12D.18【解析】由題意知，此幾何體是三棱錐，C.12D.18【解析】由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h=3,相應底面面積為S1=2X6X3=91 1V=3Sh=§X9X3=9.【答案】2.長方體的三個相鄰面的面積分別為2,3,6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的面積為（）A.2nB.A.2nC.14nDC.14nab=2【解析】設長方體的過同一頂點的三條棱長分別為a,b,c，則|bc=3,^ac=6（一a=2得＜b=1,'c=3令球的半徑為R,^寸（2火）2=22+12+32=14,7.頊2=2,.指球=4洲2=14兀【答案】C如圖7-2-12所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長均為1,且TOC\o"1-5"\h\zAA1±底面ABC,則三棱錐B1—ABC1的體積為（ ）圖7-2-12A查 B吏a.]2 B.4C通 D如c.]2 D.4【解析】在△ABC中，BC邊長的高為W3,即棱錐A—BB1C1上的高為勇3,又SABB1C1=|,???VB1—ABC1=KA—BB1C1=1^23x1=君.【答案】A（2013-西安八校聯考）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖7-2-13所小，其頂點都在一個球面上，則球的表面積為（）圖7圖7-2-134a.3兀C.19nTD.C.19nTD.19n12【解析】如圖所示，F、H是正三棱柱上下底面的中心，則球心O是FH的中點，由三視圖知AB=2,FH=1,則AE=指，2志 1AF=~3-,OF=2??O.A??O.A=1912?球的表面積S球=4nOA2=~3~.【答案】C5.（2013-濰坊模擬）如圖7-2-14為某個幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積為（）俯視圖圖俯視圖圖7-2-14B.B.12+4nD.12+8nA.16+4兀C.16+8n【解析】易知該幾何體是一個半圓柱和一個三棱柱的組合體，其側面積為4n+6+10=16+4n.

【答案】A6.（2013-廣州模擬）如圖7-2-15，某幾何體的正視圖（主視圖），側視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為（）側視圖側視圖圖7-2-15B.4AB.4D.2C.D.2【解析】 由三視圖知，該幾何體為四棱錐，如圖所示.依題意AB=2、.]3,菱形BCDE中BE=EC=2.???BO=頊22-12=展，則AO=^AB2-BO2=3,, 1 1 2X2、朽 l因此VA-BCDE=3AOS四邊形DE=3X3 =2"【答案】C二、填空題7.（2012?遼寧高考）一個幾何體的三視圖如圖7-2-16所示，則該幾何體的表面積為.

圖7-2-16【解析】 根據三視圖可知幾何體是一個長方體挖去一個圓柱，所以S=2X(4+3+12)+2n—2n=38.【答案】388.圓錐的全面積為15ncm2,側面展開圖的圓心角為60°,則該圓錐的體積為cm3.【解析】設底面圓的半徑為r,母線長為s【解析】設底面圓的半徑為r,母線長為s則側面積為2X(2nr)a=nra.'nra+nr2=15n由題意得1 1nra=Tna26r2=解得1、a2=T36X157，故圓錐的高h=\.'a2-r2=5\j3,所以體積為V=3^r2h=%X號X5”..《3=-^^-n(cm3).【答案】【答案】一個幾何體的三視圖如圖7-2-17，該幾何體的表面積為正住）視圖 側佐）視圖正住）視圖 側佐）視圖圖7-2-17【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示，將小長方體的上底面補到大長方體被遮住的部分，則所求的表面積為小長方體的側面積加上大長方體的表面積，?.?S=S側+S表=6X8X2+2X8X2+(2X8+2X10+8X10)X2=360.【答案】360三、解答題若一個底面邊長為學，側棱長為'.涵的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，求該球的體積和表面積.【解】在底面正六邊形ABCDEF中，連接BE、AD交于0,連接BE,則BE=20E=2DE,「.BE=崩，TOC\o"1-5"\h\zFi EiZ Di'd''r,/|B C在Rt△BEE1中，BE1=\jBE2+EE=2捐,...2R=2-.../3，貝寸R=3,.?.球的體積V=^nR3=4-展兀，球的表面積S=4nR2=12n.

球3 球如圖7-2-18，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm).俯視圖俯視圖圖7-2-18⑴畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法);(2)求這個幾何體的表面積及體積.【解】(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示.(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的組合體.由PA1=PD1=^2,A1D1=AD=2，可得P41±PD1，故所求幾何體的表面積S=5X22+2X2X點+2X^X(很)2=(22+4\/2)(cm2),所求幾何體的體積V=23+§X(、J2)2X2=10(cm3).12.如圖7-2-19，已知平行四邊形ABCD中，BC=2,BD±CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF1平面ABCD,G,H分別是DF,BE的中點.記CD=x,k(x)表示四棱錐F—ABCD的體積.圖7圖7-2-19⑴求k(x)的表達式；(2)求V(x)的最大值.【解】(1)P平面ADEFL平面ABCD,交線為AD且FA1AD,AFA1平

面ABCD.?.?BD4CD,BC=2,CD=x,???FA=2,BD=J4-x2(0〈x<2),二SmcD=CDBD=x.J’4-x2,oABCDV(x)=^1SABC^D-FA=2司4-x2(0<x<2).(2)V(x)=|x^'4-x2=*-x4+4x2=京-(x2-2)2+4....0<x<2,...0<x2<4, 當x2=2,即x=/2時，V(x)取得最大值，且V(x)max43.課后作業（四十二）空間點、直線、平面之課后作業（四十二）空間點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題阿1.（2013?臺州模擬）以下四個命題中不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數是（）A.0 B.1C.2 D.3【解析】①中顯然是正確的；②中若A、B、C三點共線則A、B、C、D、E五點不一定共面.③構造長方體或正方體，如圖顯然b、c異面故不正確.④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確.【答案】B2.已知異面直線a,b分別在平面a,B內，且aO[=c,那么直線c一定（與a,b都相交只能與a,b中的一條相交至少與a,b中的一條相交。.與a,b都平行【解析】若c與a,b都不相交，則c與a,b都平行，則aHb與a,b異面相矛盾.【答案】C3.如圖7-3-8所示，ABC。一A^C]?是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結論正確的是（ ）B圖7-3-8A,M,O三點共線A,M,O,A1不共面A,M,C,O不共面B,B1,O,M共面【解析】 連接A1C1,AC,則A1C1IIAC,..?A],C1,A,C四點共面，二A1C平面ACC]A],?/M6A1C,AM6平面ACC1A1，又ME平面AB1D1,???M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.?A,M,O三點共線.【答案】A4.如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是（）SS【解析】在A圖中分別連接PS,QR,易證PSIIQR,.",Q,R,S共面；在C圖中分別連接PQ,RS,易證PQIIRS,.",Q,R,S共面.如圖，在B圖中過P,Q,R,S可作一正六邊形，故四點共面;D圖中PS與QR為異面直線，四點不共面，故選D.【答案】D5.（2013-青島質檢）如圖7-3-9，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長（包括底面邊長）都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點，則EF與側棱C1C所成的角的余弦值是（）圖7圖7-3-9D.D.2【解析】如圖，取AC中點G,連FG、EG,則FGIIC1C,FG=C1C;EG【解析】IIBC,EG=2bC,故ZEFG即為EF與C1C所成的角，在Rt△EFG中，cosZFG22必EFG=fe= 號.【答案】B6.設A,B,C,D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的最 ）若AC與BD共面，則AD與BC共面若AC與BD是異面直線，則人2與BC是異面直線若AB=AC，DB=DC，貝UAD=BC若AB=AC，DB=DC，貝UAD±BC【解析】由公理1知，命題A正確.對于B,假設AD與BC共面，由A正確得AC與BD共面，這與題設矛盾，故假設不成立，從而結論正確.對于C,如圖，當AB=AC,DB=DC,使二面角A—BC—D的大小變化時，AD與BC不一定相等，故不正確.對于D,如圖，取BC的中點E,連接AE,DE,則由題設得BC1AE,BCIDE.才艮據線面垂直的判定定理得BC1平面ADE,從而AD1BC.故D正確.【答案】C二、填空題7.（2013-合肥質檢）如圖7-3-10是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，BHENC圖7-3-10GH^EF平行；BD與MN為異面直線；GH^MN成60°角；DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是 .【解析】還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE1MN.【答案】②③④（2013-杭州模擬）設a，b,c是空間中的三條直線，下面給出五個命題：若a〃b,b〃c,則allc；若aXb,bXc,則a〃c；若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；若aU平面a，bU平面"，則a，b一定是異面直線；若a，b與c成等角，則a〃b.上述命題中正確的命題是 （只填序號）.【解析】由公理4知①正確；當alb,blc時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③不正確；aUa，bUg，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內"，故④不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故⑤不正確.【答案】①如圖7-3-11所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，AA1:AB=V2:1，則異面直線AB1與BD所成的角為.A圖7-3-11

【解析】取A1C1的中點D1,連接B1D1,因為D是AC的中點，所以B1D1IIBD,所以^AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角.連接AD1,設AB=a,則AA1=.2a,所以AB1=\;3a,B1D1=?a,AD11c34aAD11c34a2+2a2=2a.c3 93a2c3 93a2+4a2-4a2所以cosZAB1D1= 32X“：J3aX^2a12,所以ZAB1D1=60°.【答案】60°三、解答題10.如圖7-3-12所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,AA］的中點，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線.F分別為Cq,圖7圖7-3-12延長D1F,設為P,【解】在平面AA1D1D內，?.?DF與DA不平行，?.?DF與DA必相交于一點，則P6D1F,P6DA.又?.?D1FU平面BED1F,ADU平面ABCD,?.?P6平面BED1F,一6平面ABCD.又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點，連接PB,?PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線.如圖所示.11.如圖7-3-13所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E,F分別為A1A,C1C的中點，求證：四邊形EBFD1是菱形.圖7-3-13【證明】如圖所示，取B1B的中點G,連接GC1，EG,vGBIIC1F,且GB=C/,四邊形C1FBG是平行四邊形，FBIC1G，且FB=C1G,?D1C1IEG，且D1C1=EG,四邊形D1C1GE為平行四邊形.GC1ID1E，且GC1=D1E,FBID1E，且FB=DE，四邊形EBFD1為平行四邊形.又...FB=FD1，.?.四邊形EBFD1是菱形.12.已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為。匕/凸的中點，ACHBD

=P,A1C1^EF=Q.求證：D、B、F、E四點共面；若A1C交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線.【證明】(1)如圖所示，因為EF是^D1B1C1的中位線，所以EFIIB1D1.在正方體AC1中，B1D1IIBD,所以EFIIBD.所以EF,BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面.⑵在正方體AC1中，設平面A^ACC1確定的平面為G,又設平面BDEF為g.因為Q6A1C1，所以Q^a.又QCEF，所以Q".則Q是a與g的公共點，同理，P點也是a與g的公共點.所以a°g=PQ.又A1CAg=R，所以R6A1C,R￡a且R「g.則R6PQ,故P、Q、R三點共線.課后作業(四十三)直線、平面平行的判定課后作業(四十三)直線、平面平行的判定及其性質一、選擇題(2013-威海模擬)設a、g是兩個不同的平面，m、n是平面a內的兩條不同直線，?,12是平面g內的兩條相交直線，則allg的一個充分而不必要條件是()A.m〃g且/]〃a B.m〃g且nl12C.mlg且n〃g D.m〃/]且nl12【解析】mIIk，且nill2=allg,但aIgD/^mIl1且nI12,“mIl1，且nII12"是“aIg"的一個充分不必要條件.【答案】D在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，若AE:EB=

CF:FB=1:2,則對角線AC和平面DEF的位置關系是（ ）A.平行CA.平行C.在平面內D.不能確定【解析】如圖，由EE節得ACIIEF.又因為EFU平面DEF,ACG平面DEF,所以ACI平面DEF.【答案】A3.（2013-西安模擬）設m,n是兩條不同的直線，a,.,y是三個不同的平面，給出下列四個命題：若mVa,nila，貝UmXn；若a〃月，月〃Y，mXa，則mX/；若mHa，n〃a，則m〃n；若a±Y，^±Y，則a〃§.其中正確命題的序號是（）A.①和② B.②和③③和④ D.①和④【解析】對于①，由線面平行的性質及線面垂直的定義可知正確；對于②，由aI6,61知aII/，由m.a知mly，故②正確；對于③，m與n可能平行，相交或異面，故③錯；對于④，a與6可能相交，故④錯.【答案】A4.（2013-石家莊模擬）給出下列關于互不相同的直線l、m、n和平面a、6、Y的三個命題：①若l①若l與m為異面直線，lUa，mU6，貝Ua〃6；若a〃6，lUa，mU6，則l〃m；若aOg=l，6^Y=m，y^a=n，l〃Y，則m〃n.其中真命題的個數為（）

B.2AB.2C.1 D.0【解析】①中當a與&不平行時，也可能存在符合題意的1、m.中1與m也可能異面.11” 、中1U. >niIIm，同理1Hn，則mHn，正確.fiHy=m^【答案】C5.如圖7-4-10所示，若Q是長方體ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B］的點，F為線段BB1上異于B］的點，且EH^A1D1，則下列結論中不正確的是（）圖7-4-10EH〃FG四邊形EFGH是矩形Q是棱柱Q是棱臺【解析】..?EHHA1D1，...EHHB1C1，???EHI平面BB1C1C.由線面平行性質，EHIIFG.同理EFIIGH.且B1C1±面EB1F.由直棱柱定義知幾何體B1EF—C1HG為直三棱柱，四邊形EFGH為矩形，Q為五棱柱.故選D.【答案】D6.在三棱錐P—ABC中，點D在PA上，且PD=2dA，過點D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于點E，F，若AABC的面積為9，則^DEF的面積

是（）B.2AB.29TOC\o"1-5"\h\zC.4 D.4【解析】由于平面DEFH底面人8。，因此DEIIAB,DFIIAC,EFIIBC,*,DEDFEF S1所以AB=AC=BC，所以△DEFs4ABC，所以S^DEF=（3）2，而S^B。=9，所以△ABC △Sg=\，故選A.【答案】A二、填空題7.在四面體A—BCD中，M、N分別是△ACD、ABCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是 .【解析】如圖，取CD的中點E.AA貝寸EM：MA=1：2,EN:BN=1:2,所以MNIIAB.所以MNI面ABD,MNI面ABC.【答案】面ABD與面ABC8.如圖7-4-11所示，棱柱ABC—A1B1C1的側面BCC^是菱形，設D是A1C1上的點且A1B〃平面B1CD，則A1D:DQ的值為.BB圖7-4-11【解析】設BC1nB1C=O，連接OD,^A1B//平面B1CD且平面A1BC1E平面B1CD=OD,^A1BIIOD,?「四邊形BCC1B1是菱形，???O為BC1的中點，?.?D為A1C1的中點，則A1D:DC1=1.【答案】19.(2013-徐州模擬)如圖7-4-12所示，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中，錯誤的為.圖7-4-12AC±BD；AC〃截面PQMN；AC=BD；異面直線PM與BD所成的角為45°.【解析】PQMN是正方形,「.MNIPQ，則MNI平面ABC,由線面平行的性質知MNIIAC,則ACII平面PQMN,同理可得MQIBD，又MN1QM，則ACLBD，故(1)(2)正確.又?.?BDIMQ,「.異面直線PM與BD所成的角即為ZPMQ=45°,故(4)正確.【答案】(3)三、解答題10.在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EF〃BC且EF=2bC.求證：FO〃平面CDE.圖7-4-13【證明】取CD中點M,連接OM,EM,在矩形ABCD中，OMIIBC且OM=t^BC,又EFIIBC且EF=^BC,則EFIIOM且EF=OM.所以四邊形EFOM為平行四邊形，所以FOIIEM.又因為FOG平面CDE,且EMU平面CDE,所以FOI平面CDE.11.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=2,點M是BC的中點，點N是AA］的中點.圖7-4-14(1)求證：MN〃平面A1CD；⑵過N,C,D三點的平面把長方體ABCD—A1B1C1D1截成兩部分幾何體，求所截成的兩部分幾何體的體積的比值.【解】(1)證明取AD的中點P,A1D的中點歸，連接NE、EC.又...》是AA］的中點，.??NE嵌APMMC,四邊形NECM為平行四邊形，...MNHEC,又?:ECU平面ArCD,MNG平面A1CD,..MNH平面A1CD.(2)取8鳥的中點0連接NQ、CQ、ND,因為點N是AA1的中點，所以NQHAB.因為ABIICD,所以NQHCD,所以過N、C、D三點的平面NQCD把長方體ABCD—A1B1C1D1截成兩部分幾何體，其中一部分幾何體為直三棱柱QBC—NAD,另一部分幾何體為直四棱柱BlQCCl—A1NDDl.所以SaQbc=2QBBC=2x1X1=!所以直三棱柱QBC—NAD的體積1*=S^qbc'AB=2.因為長方體ABCD—A1B1C1D1的體積k=1X1X2=2.所以直四棱柱B1QCC1—A1NDD1的體積3L-匕=2,1所弋=3=1.2所以所截成的兩部分幾何體的體積的比值為3.12.如圖7-4-15所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD.圖7圖7-4-15（1） 判斷截面的形狀；（2） 試問截面在什么位置時其截面面積最大.【解】（1）?.*8//平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH.???ABHFG,ABIIEH,「?FGIIEH,同理可證EFIGH,「.截面EFGH是平行四邊形.（2）設AB=a,CD=b,ZFGH=a.又設FG=x,GH=y,xCGyBG則由平面幾何知識可尊=BC，b=BC，xy b兩式相加得a+b=i，即y=a（a_x）,?.?Sefgh=FG?gh?而ab.bsina absina=x^a*(a—x)?sina=~a~x(a-x)W—4—???x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a為定值...?當且僅當x=a-x,an,xan,x=2時，S口EFGH最大為absina~4~即當截面EFGH的頂點E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點時，截面面積最大.課后作業（四十四）直線、平面垂直的判定課后作業（四十四）直線、平面垂直的判定及其性質一、選擇題1.（2013?寶雞模擬）a、快y為不同的平面，m,n,l為不同的直線，則m±萬的一個充分條件是（）A.n^a,n—g,m^a B.aAy=m,a^y,p^yC.a—y,p—y,m—a D.a—p,aAp=l,m—l【解析】由n^a,nip知aHp，又m?a,「?m1p,但當m.p時，n±a,nip不一定成立，故選A.【答案】A（2013-深圳模擬）設a,b是兩條不同的直線，a、p是兩個不同的平面，則下列四個命題中正確命題的個數是（）①若a—b,a—a,b'a,^Ub〃a:②若a〃a,a—p，貝Ua—p:③若a—p,a—p，則a〃a或aUa:④若a—b,a—a,b—p，則a—p.TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2C.3 D.4【解析】由空間線面位置關系容易判斷①②③④均正確.【答案】D如圖7—5—9,B4—正方形人88,下列結論中不正確的是（ ）p圖7—5—9A.PB—BC B.PD—CDC.PD—BD D.PA—BD【解析】由CB1BA,CBIPA,PAABA=A，知CB1平面PAB,故CB1PB,即A正確；同理B正確；由條件易知D正確，故選C.【答案】C4.（2013-銀川模擬）如圖7—5—10正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、尸，且EF=2,則下列結論中錯誤的是（）fiiD A圖7-5-10ACLBEEg〃平面ABCD三棱錐A—BEF的體積為定值AAEF的面積與^8歸尸的面積相等【解析】連接BD,則AC1平面BB[D[D,BDIIB1D1，從而A、B、C正確.因為點A、B到直線BR的距離不相等，所以^AEF與^BEF的面積不相等，故選D.【答案】D5.如圖7-5-11所示，四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=AB,/BCD=45°,/BAD=90°.將AADB沿BD折起，使平面ABD1平面BCD,構成三棱錐A—BCD.則在三棱錐A—BCD中，下列命題正確的是（）圖7-5-11B.AB±平面BCDC.C.平面BCD±平面ABCD.平面ADC±平面ABC【解析】在四邊形ABCD中，ADIIBC,AD=AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,/.BD1CD,又平面ABD1平面BCD,且平面ABDA平面BCD=BD,/.CD1平面ABD,ACD1AB,又ADIAB,故AB上平面ADC,從而平面ABCV平面ADC.【答案】D6.（2013-杭州模擬）如圖7-5-12，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內一點，且滿足MP=MC，則點M的軌跡為（）圖7-5-12ABCD【解析】取AD的中點&連接PE,PC,CE.由PEVAD知PEV平面ABCD,從而平面PECV平面ABCD,取PC、AB的中點F、G,連接DF、DG、FG,由PD=DC知DFVPC,由DGVEC知,DG1平面PEC,又PC平面PEC,?.?DGVPC,DFADG=D,APC!平面DFG,又點F是PC的中點，因此線段DG上的點滿足MP=MC，故選A.【答案】A二、填空題7.（2012-江蘇高考）如圖7-5-13,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，則四棱錐A-BBRD的體積為cm3.圖7-5-13【解析】關鍵是求出四棱錐A-BB1D1D的高.連接AC交BD于0,在長方體中，?.?AB=AD=3,.，.BD=3彖且ACVBD.又,/BB11底面ABCD,.BB1±AC.又DBnBB1=B,.AC!平面BB]D]D,.A0為四棱錐A-BB1D1D的高且A0=?BD=孕.S矩形BB]D]D=BDXBB=3X2=&J2,1re 1l3"巧???VA-BB1D1D=3S矩形BB]D]D?A0=3X6*2X^-=6（cm3）.【答案】6如圖7-5-14所示，在四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足時，平面MBDL平面PCD.（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）.A B圖7-5-14【解析】由定理可知，BD1PC..??當DM1PC時，即有PC1平面MBD,而PC平面PCD.平面MBD1平面PCD.【答案】DM±PC（答案不唯一）如圖7-5-15所示，PA上圓0所在的平面，AB是圓0的直徑，C是圓0上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結論：圖7-5-15①AFLPB:②EF±PB；@AF±BC；@AE±平面PBC.其中正確結論的序號是 .【解析】由題意知以上平面ABC,^PA1BC,又AC1BC,PAHAC=A,^BCL平面PAC./.BC1AF.VAF1PC,BC"C=C,/.AF1平面PBC,「.AFLPB,AF1BC.又AE1PB,AEHAF=A,^PB1平面AEF.???PBLEF.故①②③正確.【答案】①②③三、解答題10.（2012-江蘇高考）如圖7-5-16，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A