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章

相關與回歸分析第五章相關與回歸分析學習目標：1、了解相關關系的概念及種類；2、掌握相關系數的計算方法和相關系數的取值含義；3、掌握一元線性回歸直線方程的建立方法。

相關與回歸分析的教學內容5.1

相關分析概述5.2相關關系的測定5.3回歸分析5.1

相關分析概述

5.1.1函數關系與相關關系

5.1.2相關關系的種類5.1.3

相關分析的主要內容5.1.1

函數關系與相關關系1.函數關系當一個或幾個變量取一定的值時，另一個變量有確定的值與之相對應，我們稱這種關系為確定性的函數關系。例如，某種產品的總成本S與該產品的產量Q以及該產品的單位成本P之間的關系可用S=PQ表達，這就是一種函數關系。通常把作為影響因素的變量稱為自變量，把發生相應變化的量稱為因變量。在本例中，S是因變量，P與Q則是自變量。5.1.1

函數關系與相關關系

2.相關關系當一個或幾個相互聯系的變量取一定數值時，與之相對應的另一變量的值雖然不確定，但它仍按某種規律在一定的范圍內變化，變量間的這種相互關系，稱為具有不確定性的相關關系。例如，商品銷售額與商品流通費之間的關系。一般說來，商品銷售額增加，商品流通費便要相應增加；反之，就要相應減少。但是商品銷售額與商品流通費之間不存在一一對應的確定性關系。因為商品流通費的支付不僅與商品銷售數量有關，而且與商品性質、運價、運輸里程、運輸方式、廣告宣傳、經營管理等諸多因素有關。在商品銷售額相同的情況下各企業支付的流通費用有高有低。5.1.1

函數關系與相關關系相關關系與函數關系的區別和聯系區別函數關系是變量之間的一種嚴格、完全確定性的關系，即一個變量的數值完全有另一個（或一組）變量的數值所決定、控制。函數關系通常可以用數學公式確切地表示出來。相關關系難以像函數關系那樣，用數學公式去準確表達。聯系由于客觀上常會出現觀察或測量上的誤差等原因，函數關系在實際工作中往往通過相關關系表現出來。當人們對某些現象內部規律有較深刻認識時，相關關系可能變為函數關系。為此，在研究相關關系時，又常常使用函數關系作為工具，用一定的函數關系表現相關關系的數量聯系。5.1.2相關關系的種類根據相關關系的程度劃分根據相關關系的方向劃分根據自變量的多少劃分根據變量間相互關系的表現形式劃分不完全相關完全相關不相關正相關負相關復相關單相關直線相關曲線相關相關關系的種類5.1.2相關關系的種類1.按相關關系涉及的變量(因素)多少來劃分，可分為單相關和復相關單相關是指一個自變量與一個因變量的依存關系。復相關是指一個因變量與兩個或兩個以上自變量之間的依存關系。2.按相關關系的表現形態來劃分，可分為線性相關和非線性相關當自變量數值發生變動，因變量數值隨著發生大致均等的變動(增加或減少)，從圖形上看，其觀察點的分布近似地表現為一條直線形式，稱為線性相關。當自變量數值發生變動，因變量數值隨著也發生變動，但不是均等的變動，從圖形上看，其觀察點的分布近似地表現為各種不同的曲線形式，如拋物線、雙曲線等，稱為非線性相關。3.按變量之間相互關系的方向，分為正相關和負相關當自變量的數值增加，因變量的數值也隨之相應的增加，即相關的變量同一方向變化，稱為正相關。自變量數值增加時，因變量數值隨之減少，即相關的變量反方向變化，稱為負相關。4.按變量之間相關的程度劃分，可分為完全相關、不相關(也稱零相關)和不完全相關因變量數值完全隨自變量數值變動而變動，這時相關關系實際上就轉化為函數關系，稱為完全相關。變量之間的變動完全不存在任何依存關系時，稱為不相關。變量之間關系介于完全相關與不完全相關之間，稱為不完全相關。5.1.2

相關關系的種類各類相關關系的表現形態圖5.1.3

相關分析與回歸分析的主要內容相關分析的主要內容1.確定現象之間有無相關關系及相關關系的表現形式。主要通過定性分析判斷和相關圖、相關表觀察得出結論。這是相關分析的出發點。2.確定相關關系的表現形式。若存在相關關系，就需進一步確定相互關系的表現形式。例如，是線性相關還是非線性相關，這時相關分析的主要內容。3.確定相關關系的密切程度和方向。通過相關分析，可以判定現象之間相關關系的密切程度和方向。例如，變量之間是完全相關、不完全相關還是完全不相關。

回歸分析的主要內容建立相關關系的回歸方程。測定因變量的估計值與估計值的誤差程度。5.2相關關系的測定5.2.1客觀現象之間的定性分析5.2.2利用相關圖表進行判斷5.2.3相關系數的計算

5.2

相關關系的測定5.2.1客觀現象之間的定性分析

5.2.2利用相關圖表進行判斷5.2.3相關系數的計算5.2

相關關系的測定要進行相關分析首先要判斷現象之間有沒有相關關系和具有什么樣的相關關系。我們一般是先對現象之間的關系作直觀判斷，然后再進行相應的定量分析。直觀判斷的方法主要有兩種：一是運用理論知識、專業知識及實際經驗對現象之間存在的關系作定性的判斷；二是利用相關表和相關圖對現象之間存在的相關關系的方向、形式及緊密程度作出大致判斷。定量分析則主要是計算相關系數。5.2.1

客觀現象之間的定性分析根據一定的社會經濟理論與實踐經驗的總結，對社會經濟現象進行定性分析，以判斷它們之間是否具有相關關系以及相關關系的種類。只有在定性分析的基礎上，才能從數量上測定現象之間的相關關系。這是判斷相關關系的一種重要的方法，也是相關分析的重要的前提。

5.2.2利用相關圖表進行判斷判斷現象之間的相關關系，一般是先做定性分析，然后再做定量分折。如果定性分析確有相關關系．進一步編制相關圖與相關表、可以判斷現象之間大致呈現何種關系形式，以此計算相關系數作定量分析，精確反映相關關系的方向和程度。1.編制相關表將反映變量之間相互關系的原始資料按照一定的順序叫做相關表。相關表按其資料是否分組可分為簡單相關表和分組相關表。例1：某地區某企業近8年產品產量與生產費用的相關情況如表5-1所示：

5.2.2利用相關圖表進行判斷表5-1產品產量與生產費用相關表從上表可看出，產品產量與生產費用之間存在一定的正相關關系。5.2.2利用相關圖表進行判斷2.繪制相關圖相關圖也叫散點圖，它是利用直角坐標系，將自變量確定在橫軸，因變量確定在縱軸上，兩變量的對應值用坐標點畫出來。通過觀察相關點的分布情況來判斷兩個變量之間有無相關關系以及相關關系的密切程度、方向和形式。例2：以表5-1為例，用EXCEL繪制相關圖如下5.2.2利用相關圖表進行判斷5.2.3相關系數的計算相關圖表只能粗略地大體上反映變量間相關關系的方向、形式和密切程度，要確切地反映相關關系的密切程度，還需計算相關系數。我們著重研究線性的單相關系數即直線相關系數，簡稱相關系數。5.2.3相關系數的計算相關系數的測定方法有若干種，最簡單的一種稱為積差法，用積差法計算相關系數的公式為：

（5-1）5.2.3相關系數的計算其中，，稱為xy的協方差；，是變量x的標準差；，是變量y的標準差。因此，相關系數可表現為如下形式：（5-2）5.2.3相關系數的計算

相關系數的取值范圍在－1和＋1之間，即。當時，表明x與y之間無線性相關關系。即x與y之間不相關或曲線相關。當時，變量x與y為完全線性相關，當時，稱為完全正相關；當時，稱為完全負相關。當時，表示兩變量之間呈正相關，即隨著自變量x的增加（或減少），因變量y也相應增加（或減少）。隨著r取值的增大，其相關程度也相應地增強。當時，表明兩變量之間呈負相關，即隨著自變量x地增加（或減少），因變量y相應減少（或增加）。相關系數r越接近于－1，即兩變量地負相關程度越高。通常判斷標準是：稱為微弱直線相關，稱為低度直線相關，稱為顯著相關或中度相關，稱為高度相關。

5.2.3相關系數的計算

[例5-1]某地區某企業近8年產品產量與生產費用的相關情況，見表5-1，根據表中的資料，計算該產品產量與生產費用的相關系數。

5.2.3相關系數的計算解：按相關系數公式計算將表中數據代入公式：

=0.9697由于R＞0，且R=0.9697，則說明該種產品產量與生產費用之間的相關關系是高度正相關的。5.3回歸分析5.3.1回歸分析的含義、內容5.3.2一元線性回歸方程的擬合5.3.3估計標準誤差5.3

回歸分析

5.3.1回歸分析的含義、內容5.3.2一元線性回歸方程的擬合5.3.3估計標準誤差5.3

回歸分析

相關分析中的相關系數可以從數量上說明變量之間相關關系的方向和密切程度。但它不能反映一個變量發生一定數量的變化時，另一個變量會相應的發生多少變動。為了解決這個問題，就必須采用回歸分析的方法。

回歸分析是指對具有相關關系的變量，依據其關系形態，選擇一個合適的數學模型，用來近似的表示變量之間數量平均變化關系的一種統計方法。

回歸分析的內容很多，按分析變量的多少不同，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按分析變量的表現形態不同，可分為線性回歸分析與非線性回歸分析等。本節只討論一元線性回歸分析的理論與方法。5.3.1一元線性回歸模型的描述

一元線性回歸模型也稱為簡單直線回歸模型，是分析兩個變量x與y之間相互關系的數學方程式。我們假定x為自變量，y為因變量，y值除了受自變量x的影響之外，還受其它因素的影響；在構建回歸模型時，應該包括隨機誤差，x與y之間的關系可以用數學公式表示：

（5-3）

5.3.1一元線性回歸模型的描述

一元線性回歸模型也稱為簡單直線回歸模型，是分析兩個變量x與y之間相互關系的數學方程式。我們假定x為自變量，y為因變量，y值除了受自變量x的影響之外，還受其它因素的影響；在構建回歸模型時，應該包括隨機誤差，x與y之間的關系可以用數學公式表示：

（5-3）在實際研究問題時，為了便于對參數做出區間估計和假設檢驗，我們假定。因此，我們可以用下式近似的描述x與y之間的關系：