本文格式為Word版，下載可任意編輯——三角函數的圖像與性質走進高考·數學（第1輪）知識梳理2023年7月

第8章三角函數

08—01三角函數的圖像與性質

一、點一點——高考目標明示

1.通過實例和利用函數定義，形成正弦函數和余弦函數的概念并理解其意義

2.知道一般周期函數的解析描述和圖像特征，把握正弦函數和余弦函數的奇偶性、周期性、對稱性、單調性、最大值和最小值等性質.

3.把握正弦函數和余弦函數的圖像，會用“五點法〞畫正弦函數和余弦函數的圖像.4.類比正弦函數的研究方法，把握正切函數的性質和圖像.

二、試一試——高考真題點擊

1．（2023楊浦模擬）“tanx??5π3〞是“x?〞的()

63A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

2.（2023崇明模擬）設函數f(x)?sinx,x?R，則以下結論錯誤的是（）

A.f(x)的值域為[0,1]C.f(x)不是周期函數

B.f(x)是偶函數D.f(x)不是單調函數

3.（2023靜安模擬）若A、B為銳角△ABC的兩內角，則點P(sinB?cosA,cosB?sinA)是()

A.第一象限的點B.其次象限的點C.第三象限的點D.第四象限的點

4.（2023崇明模擬）已知函數f(x)?cos(2x?)（x?R），下面結論錯誤的是（）

2A.函數f(x)的最小正周期為?B.函數f(x)是奇函數

C.函數f(x)在x?

??4

時，取得最小值

???D.函數f(x)在區間?0,?上是減函數

?2?5.函數y?tanx?sinx?|tanx?sinx|在區間???3?,22???上的圖像大致為（）?

26．（2023華師大一附中模擬）已知a?0，且函數y?1?2sin(ax)的最小正周期為?，則

a?_________.

7.（2023靜安模擬）函數f(x)?1的定義域為.

sinx?cosx?18．（2023上海高考）函數y?sin(?2?x)cos(?6?x)的最大值為.參考答案：1.B2.C3.D4.D5.D6.1

——1——

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7.?xx?R,x?2k?????2?3?,x?2k???,k?Z?8.42?

三、理一理——重要考點梳理

1.正弦、余弦、正切和余切函數圖像與性質：

函數圖像與性質y?sinxy?cosxy?tanxy?cotx圖像定義域RR????xx?k??,k?Z?2??R奇函數最小正周期T?xx?k?,k?Z?R奇函數值域奇偶性周期性??1,1?奇函數最小正周期T?2?????2k??,2k????22?上在???1,1?偶函數最小正周期T?2?在?2k???,2k??上單調遞增；在??最小正周期T??單調性單調遞增；在?3??上?2k??,2k????22??在?k???,k????上單調??22??遞增.（k?Z）在?k?,k????上單調遞減.（k?Z）?2k?,2k????上單調遞單調遞減.（k?Z）減.（k?Z）對稱軸：x?k???；對稱軸：x?k?；2對稱中心：對稱性對稱中心：?k?，0?.??.?0??k??，2??無對稱軸，對稱中心??k??，0?.（k?Z）?2?（k?Z）x?2k??（k?Z）；.?2,ymax?1x?2k?,ymax?1；x?2k???,ymin??1.最值x?2k???2,ymin??1沒有最大值，也沒有最小值（k?Z）2.“五點法〞畫圖：（k?Z）（1）y?sinx的圖像在?0,2??上的五個關鍵點的坐標為?0,0?、?

????3??,1?、??,0?、?,?1?、?2??2??2?,0?.

（2）y?cosx的圖像在?0,2??上的五個關鍵點的坐標為?0,1?、?????3??,0?、??,?1?、?,0?、?2??2?——2——

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?2?,1?.

溫馨點睛：

1.三角函數的圖像與其性質是一個整體,在研究性質時,往往利用它的圖像更加直觀.2.正切函數y?tanx，x??k??內是單調遞增函數.

3.函數y?Asin???或y?Acos??x???（A?0，??0）的周期T???x???2,k?????（k?Z）是單調遞增函數，但不能說函數在其定義域2?2??，函數

y?Atan???（A?0，??0）的周期T???x?.?4.對于求y?Asin??x???或y?Acos??x???或y?Atan??x???（A?0，??0）的單調區間，只需把“?x??（??0）〞視為一個“整體〞，代入y?sinx或y?cosx或y?tanx相應單調區間內，再根據A的符號判斷單調區間.

四、撥一撥——典例精析與同類變式

例1.（1）求函數y?lgsin2x?9?x2的定義域；（2）求函數y?cosx?sinx?x?2?????的最大值與最小值.4?（1）對數的真數大于零，被開方數大于零，再根據正弦函數圖像求x的范圍；（2）將余弦化為正弦，再換元處理，轉化為關于新元的一元二次函數解決.

???sin2x?0,?k??x?k??,k?Z，??（1）由題意，?229?x?0????3?x?3.??x?3?x?????2或0?x????.2?2?22?15??2,（2）設sinx?t，x?，則t????.?y?1?sinx?sinx???t???，

4?2?4?22???t?1?5?21?2時，即x?，ymax?；t??時，即x??，ymin?.264422(1)求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象

來求解.

(2)求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：

①形如y?asinx?bcosx?c的三角函數化為y?Asin??x????k的形式，再求最值

(值域)；

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②形如y?asin2x?bsinx?c的三角函數，可先設sinx?t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；

③形如y?asinxcosx?b?sinx?cosx??c的三角函數，可先設sinx?cosx?t，化為關于t的二次函數求值域(最值).

1.（1）求函數y?lg?2sinx?1???tanx?1的定義域；

?x??cosx????28?（2）求函數y?sinxcosx?cosx?sinx的最大值和最小值.

參考答案：1.（1）?x2k?????2?x?2k??1?223??，ymin??1,k?Z?（2）ymax?24???例2.（1）已知函數f?x??sinx?3cosx，函數y?f?x??????稱，則?的值為_________；

（2）若函數y?3cosx???的圖像關于點??2_________.

（1）?f?x??sinx?3cosx?2sin?x????的圖像關于直線x?0對

2??4??,0?中心對稱，那么?的最小值為3??????3??，?f?x????2sin?x????????.3??y?f?x???的圖像關于直線x?0對稱，?y?f?x???為偶函數，

??3????2?k?，k?Z，????6?k?，k?Z.又???2，??=?6.

（2）由題意，3cos?2????4?2?????2??????3cos?2??????3cos?????0，33????3?2???????k??，k?Z，???k??，k?Z，取k?0，?的最小值為.3266正弦、余弦函數的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，正切函數的圖像只是中心對稱

圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數形結合思想的應用.2.（1）已知函數f?x??asinx?cosx?1，其圖像關于直線x?

?4

對稱，則實數

a?__________；

（2）已知函數f?x??cos?x???的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形，則

??________.

?參考答案：2.（1）1（2）k??，k?Z

2

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例3.已知函數f?x??log1?sinx?cosx?.

2（1）求f?x?的定義域和值域；（2）求f?x?的單調區間；（3）判斷f?x?的奇偶性；（4）判斷f?x?的周期性，若是周期函數，求出f?x?的最小正周期.

（1）令對數的真數大于零，求出x的范圍為定義域，根據三角函數的有界性求出值域；

（2）函數為復合函數，據符合函數的單調性同增異減，外函數是減函數，求出內函數的遞增

區間為函數的遞減區間；內函數的遞減區間為函數的遞增區間；

（3）判斷函數的奇偶性先看定義域，定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；（4）根據函數最小正周期的定義，求出周期．（1）由題意，sinx?cosx?0，即2sin?x???????2k??x??2k???，k?Z，，?0?44??5???f?x?的定義域為?2k??,2k??44??1??f?x????,???.

?2?（2）?sinx?cosx?令2k??????k?Z（）.又，2sinx?????0,2??4???????2sin?x??，

4????2k??3?；

24244??3?3?7??x?2k??令2k???x??2k??，解得2k??；

24244?x?，解得2k??????x?2k??根據復合函數的單調性及函數的定義域知：f?x?的單調增區間是?2k????3?5?,2k??44?，?（k?Z）

??3???f?x?的單調減區間是?2k??,2k???（k?Z）.

44??（3）解法一：?f?x?定義域在數軸上對應的點不關