2.7探索勾股定理（1）

浙教版

八年級

上冊教材分析

“勾股定理”是安排在學生學習了三角形、全等三角形、等腰三角形等有關知識之后，它揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關系，將形與數密切聯系起來，在幾何學中占有非常重要的位置.同時，勾股定理在生產、生活中也有很大的用途.

它是初中幾何中比較重要的內容，搭建了幾何圖形與數量關系之間的橋梁，同時勾股定理的歷史文化價值有助于學生感受數學文化魅力.教學目標教學目標：1．了解拼圖驗證勾股定理的方法；

2．掌握勾股定理，會利用兩邊邊長求直角三角形的另一邊長；

3.會利用勾股定理解決實際問題.教學重點:探索并掌握勾股定理．教學難點:運用勾股定理解決簡單的問題．新知導入

情境引入

任務一同學們，你們知道這是什么嗎？這是畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”這節課我們就一起來探索“勾股樹”所蘊含的數學知識——勾股定理，體驗數學文化之美。你知道這三個正方形的面積分別是多少嗎？三個正方形A，B，C的面積之間有什么關系？SA+SB=SCA的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖132=932=918新知講解

合作學習（1）剪四個全等的直角三角形紙片(圖2-34)，把它們按圖2-35放入一個邊長為c的正方形中.這樣我們就拼成了一個形如圖2-35的圖形.【合作學習】

任務二（2）設剪出的直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c.分別計算圖2-35中的陰影部分的面積和大、小兩個正方形的面積.S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,【合作學習】S陰影＝（3）比較圖2-35中陰影部分和大、小兩個正方形的面積，你發現了什么？【合作學習】∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會(ICM-2002)的會標，它的設計思路可追溯到3世紀中國數學家趙爽所使用的弦圖。用弦圖證明勾股定理在數學史上有著重要的地位.提煉概念

一般地，直角三角形的三條邊長有下面的關系:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果a,b為直角三角形的兩條直角邊的長,c為斜邊的長，則a2+b2=c2.我國早在三千多年前就知道直角三角形的這個性質.古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾,較長的一邊為股，斜邊為弦，因此這一性質也稱為勾股定理.【拓展延伸】在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股方法圖形證明“趙爽弦圖”

∵大正方形的邊長為

，∴大正方形的面積為

.又大正方形的面積

,∴

.勾股定理的多種證法方法圖形證明劉徽“青朱出入圖”

設大正方形的面積為

，則

.根據“出入相補，以盈補虛”的原理，得

,∴

.加菲爾德總統拼圖

設直角梯形的面積為

，則

.∵

,∴

.方法圖形證明畢達哥拉斯拼圖

由圖（1）得大正方形的面積

,由圖（2）得大正方形的面積

,聯立兩式易得

.古印度的“無字證明”，單靠移動幾個圖形就直觀地驗證了勾股定理典例精講

例1已知在△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c（1）若a=1,b=2,求c；（2）若a=15,c=17,求b.c2=a2+b2=12+22=5∵c>0,解:(1)根據勾股定理，得∴c=(2)根據勾股定理，得∵b>0,∴b=8.=172-152=64.=(17＋15)(17－15)b2=c2-a2例2.如圖，這是一個長方形零件圖.根據所給的尺寸(單位:mm),求兩孔中心A,B之間的距離.分析：解決問題的關鍵是構造出含所求線段的直角三角形，然后用勾股定理求解.例2.如圖，這是一個長方形零件圖.根據所給的尺寸(單位:mm),求兩孔中心A,B之間的距離.解：過A作鉛垂線，過B作水平線,兩線交于點C,則∠ACB=90°，AC=90-40=50(mm),BC=160-40=120(mm).由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=502+1202=16900(mm2).∵AB>0,∴AB=130(mm).答:兩孔中心A,B之間的距離為130mm.歸納概念

利用勾股定理求直角三角形的邊長的方法：一般都要經過“一分二代三化簡”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長及兩邊之間的關系式代入a2＋b2＝c2（假設c是斜邊）；三化簡．【總結提升】課堂練習必做題1.如圖，已知兩正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是（）C2.在直角三角形中，已知其中兩邊分別為3和4，則第三邊等于__________．

選做題3.在△ABC中,∠C=Rt∠,AB=c,BC=a,AC=b.(1)如果a=9,b=12,求c.(2)如果a=12,c=13,求b.(3)如果c=34,a:b=8:15,求a,b.解:∵在△ABC中，∠C=Rt∠,AB=c,BC=a,AC=b.∴a2+b2=c2（1）∵c2=a2+b2=92+122=225又∵c>0∴c=15解:（2）∵b2=c2-a2=132-122=25又∵b>0∴b=5（3）設a=8x,則b=15x∴64x2+225x2=342∴x=2則a=8x=16,b=15x=30綜合拓展題

3.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm。△ABC的面積是6cm2.

（1）求AB的長度；（2）求△ABD的面積.作業布置必做題1.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，則AC的長為()A．11 B．10 C．9 D．8B選做題2.我國古代的數學家很早就發現并應用勾股定理，而且嘗試對勾股定理做出證明．最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽．如圖，就是著名的“趙爽弦圖”.△ABE,△BCF，△CDG和△DAH是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．已知AB=5，AH=3，求EF的長．小敏的思路是設EF=x，根據題意，小敏所列的方程是