專題07數列（選填題6種考法）考法一等差等比數列的運算及性質【例1-1】（2023·江西上饒·統考一模）設等差數列前項和為，若，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例1-2】（2022·全國·統考高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【例1-3】（2021·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【例1-4】（2023·貴州貴陽·統考一模）等差數列中，，則數列的前9項之和為（

）A．24 B．27 C．48 D．54【例1-5】（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）已知等差數列的前項和為，若且，則（

）A． B． C． D．【例1-6】（2023·陜西·西安市西光中學校聯考一模）設數列，均為等差數列，它們的前n項和分別為，，若，則________.【例1-7】（2023·河南·校聯考模擬預測）已知等比數列的前n項和為，且，，則（

）A． B．5 C． D．【例1-8】（2023·吉林·統考二模）已知是等比數列，下列數列一定是等比數列的是（

）A．（k∈R） B． C． D．【例1-9】（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數列的前n項和為，若，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．9考法二常見求通項與求和方法【例2-1】（2023·廣西桂林·統考模擬預測）設為數列的前項和，已知，，則A． B．C． D．【例2-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）（多選）數列滿足，，數列的前n項和為，且，則下列正確的是（

）A．B．數列的前n項和C．數列的前n項和D．【例2-3】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）數列滿足，，則__________考法三數列在實際生活的應用【例3-1】（2023·陜西咸陽·校考一模）古希臘大哲學家芝諾提出一個有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜的賽跑中，他的速度是烏龜速度的10倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已在他前面爬行了10米，而當他追到烏龜爬行的10米時，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜．“試問在阿喀琉斯與烏龜的競賽中，當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行了（

）A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米【例3-2】（2022·全國·統考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【例3-3】（2021·北京·統考高考真題）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【例3-4】（2023·山東·煙臺二中校考模擬預測）血藥濃度檢測可使給藥方案個體化，從而達到臨床用藥的安全、有效、合理．某醫學研究所研制的某種治療新冠肺炎的新藥進入了臨床試驗階段，經檢測，當患者A給藥2小時的時候血藥濃度達到峰值，此后每經過3小時檢測一次，每次檢測血藥濃度降低到上一次檢測血藥濃度的，當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為（

）A．11小時 B．14小時 C．17小時 D．20小時考法四數列的單調性及最值【例4-1】（2021·全國·統考高考真題）等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【例4-2】（2023·全國·模擬預測）已知數列的前n項積為，若，，且，則使最大的正整數n的值為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【例4-3】（2023·全國·校聯考模擬預測）已知數列滿足，若數列為單調遞增數列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-4】（2023·山西忻州·統考模擬預測）在等比數列中，若，，則當取得最大值時，_______________．【例4-5】（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）已知數列滿足，若，則的最大值為__________．考法五斐波那契數列與三角垛【例5-1】（2023·江西景德鎮·統考模擬預測）楊輝是南宋杰出的數學家,他曾擔任過南宋地方行政官員,為政清廉,足跡遍及蘇杭一帶.楊輝一生留下了大量的著述,他給出了著名的三角垛公式:.若正項數列的前項和為,且滿足,數列的通項公式為,則根據三角垛公式,可得數列的前10項和（

）A．440 B．480 C．540 D．580【例5-2】（2023·安徽淮南·統考一模）斐波那契數列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”.此數列在現代物理、準晶體結構、化學等領域都有著廣泛的應用，斐波那契數列可以用如下方法定義：，且，若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列，則數列的前2023項的和為（

）A．2023 B．2024 C．2696 D．2697【例5-3】（2023·湖南長沙·統考一模）裴波那契數列，因數學家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，該數列滿足，且．盧卡斯數列是以數學家愛德華·盧卡斯命名，與裴波那契數列聯系緊密，即，且，則（

）A． B．C． D．考法六數列與其他知識綜合【例6-1】（2023·全國·模擬預測）（多選）記數列的前n項和為，數列的前n項和為，若，點在函數的圖像上，則下列結論正確的是（

）A．數列遞增 B．C． D．【例6-2】（2023·全國·模擬預測）（多選）已知函數且有三個不同的零點，，，若，則（

）A．B．當為，的等比中項時，為，的等差中項C．當為，的等差中項時，D．實數a的取值范圍為【例6-3】（2023·山西大同·大同市實驗中學校考模擬預測）（多選）如圖，已知正方體頂點處有一質點Q，點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同．從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次．若質點Q的初始位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．點Q移動4次后恰好位于點的概率為0D．點Q移動10次后仍在底面ABCD上的概率為1．（2023·河南平頂山·校聯考模擬預測）已知，均為等差數列，且，，，則數列的前5項和為（

）A．35 B．40 C．45 D．502．（2023·廣東佛山·統考一模）已知各項均為正數的等比數列的前n項和為，，，則的值為（

）A．30 B．10 C．9 D．63．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·校聯考模擬預測）記數列的前n項和為．若等比數列滿足，，則數列的前n項和（

）A． B． C． D．5．（2023·山東威海·統考一模）已知等比數列的前三項和為84，，則的公比為（

）A． B． C．2 D．46．（2023·河南·校聯考模擬預測）記公差不為0的等差數列的前項和為.若成等比數列，，則（

）A．17 B．19 C．21 D．237．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）南宋數學家楊輝為我國古代數學研究作出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列.以高階等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列.若某個二階等差數列的前4項為：2，3，6，11，則該數列的第15項為（

）A．196 B．197 C．198 D．1998．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）已知等差數列的前項和為，若且，則（

）A．25 B．45 C．55 D．659．（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）中國古代數學名著《算法統宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數成等差數列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（

）A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文10．（2023·山西臨汾·統考一模）1682年，英國天文學家哈雷發現一顆大彗星的運行曲線和1531年?1607年的彗星驚人地相似.他大膽斷定，這是同一天體的三次出現，并預?它將于76年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年.請你預測它在本世紀回歸的年份（

）A．2042 B．2062 C．2082 D．209211．（2023·廣東深圳·統考一模）將一個頂角為120°的等腰三角形（含邊界和內部）的底邊三等分，挖去由兩個等分點和上頂點構成的等邊三角形，得到與原三角形相似的兩個全等三角形，再對余下的所有三角形重復這一操作．如果這個操作過程無限繼續下去…，最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線，如圖所示已知最初等腰三角形的面積為1，則經過4次操作之后所得圖形的面積是（

）A． B． C． D．12．（2023·四川南充·四川省南部中學校考模擬預測）設為等差數列的前項和，，則（

）A． B． C． D．213．（2023·陜西銅川·校考一模）設正項等比數列的前n項和為，若，，則通項（

）A． B． C． D．14．（2023·貴州畢節·統考一模）已知數列的通項公式為，則的值為（

）A． B． C． D．15．（2023·福建漳州·統考二模）大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏的世界數學史上第一道數列題．已知該數列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數列的前20項和是（

）A．110 B．100 C．90 D．8016．（2023·浙江·校聯考模擬預測）記為數列的前n項積，已知，則（

）A．8 B．9 C．10 D．1117．（2023·河南鄭州·統考一模）記為等比數列的前n項和．若，，則（

）A．32 B．31 C．63 D．6418．（2023·河南鄭州·統考一模）設等差數列的前項和為，，，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．19．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學校考模擬預測）已知等差數列，，，則數列的前100項和（

）A． B． C． D．20．（2023·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學校聯考一模）已知數列滿足，且，，則（

）A． B． C． D．21．（2023·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學校聯考一模）已知數列滿足，且，，則（

）A． B． C． D．22．（2022·浙江·統考高考真題）已知數列滿足，則（

）A． B． C． D．23．（2022·全國·統考高考真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．24．（2022·北京·統考高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件25．（2021·浙江·統考高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．26（2023·全國·開灤第二中學校考模擬預測）已知等比數列的前n項和為，若，，且，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預測）對于數列，定義為的“優值”，現已知某數列的“優值”，記數列的前n項和為，則（

）A．2023 B．2021 C．1011 D．101328．（2023·河南平頂山·校聯考模擬預測）若不是等比數列，但中存在不相同的三項可以構成等比數列，則稱是局部等比數列．在，，，這4個數列中，局部等比數列的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．429．（2023·河南·校聯考模擬預測）任意寫出一個正整數，并且按照以下的規律進行變換：如果是個奇數，則下一步變成，如果是個偶數，則下一步變成，無論是怎樣一個數字，最終必進入循環圈，這就是數學史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示為數列（為正整數），，若，則的所有可能取值之和為（

）A． B． C． D．30．（2023·安徽宿州·統考一模）我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內，使得每行、每列、每條對角線上的數的和都相等，便得到一個3階幻方.一般地，將連續的正整數1，2，3，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和都相等，這個正方形叫作n階幻方.記n階幻方的數的和（即方格內的所有數的和）為，如，那么下列說法錯誤的是（

）A．B．7階幻方第4行第4列的數字為25C．8階幻方每行、每列、每條對角線上的數的和均為260D．9階幻方每行、每列、每條對角線上的數的和均為39631．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）已知數列滿足：，，，則（

）A． B．C． D．32．（2023·四川攀枝花·統考二模）已知正項數列的前n項和為，且，設，數列的前n項和為，則滿足的n的最小正整數解為（

）A．15 B．16 C．3 D．433．（2021·全國·統考高考真題）（多選）設正整數，其中，記．則（

）A． B．C． D．34．（2023·全國·模擬預測）（多選）已知數列1，1，2，3，5，8，…被稱為“斐波那契數列”該數列是以兔子繁殖為例子引入的，故又稱為“兔子數列”，斐波那契數列滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．35．（2023·全國·模擬預測）（多選）設公比為q的等比數列的前n項積為，若，則（

）A． B．當時，C． D．36．（2023·安徽合肥·統考一模）（多選）已知數列滿足．若對，都有成立，則整數的值可能是（

）A． B． C．0 D．137．（2023·浙江·校聯考模擬預測）（多選）數列定義如下：，，若對于任意，數列的前項已定義，則對于，定義，為其前n項和，則下列結論正確的是（

）A．數列的第項為 B．數列的第2023項為C．數列的前項和為 D．38．（2023·山東·濰坊一中校聯考模擬預測）（多選）在數列中，若對于任意，都有，則（

）A．當或時，數列為常數列B．當時，數列為遞減數列，且C．當時，數列為遞增數列D．當時，數列為單調數列39．（2023·湖北·宜昌市一中校聯考模擬預測）（多選）已知遞增的正整數列的前n項和為．以下條件能得出為等差數列的有（

）A． B．C． D．40．（2023·福建·統考一模）（多選）記正項等比數列的前n項和為，則下列數列為等比數列的有（

）A． B． C． D．41．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）（多選）設正整數，其中.記，當時，，則（

）A．B．C．數列為等差數列D．42．（2023·山西·統考一模）（多選）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21該數列的特點是前兩項為1，從第三項起，每一項都等于它前面兩項的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，19世紀以前并沒有人認真研究它，但在19世紀末和20世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記為該數列的前項和，則下列結論正確的是（

）A． B．為偶數C． D．43．（2023·全國·模擬預測）（多選）大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數列滿足，，則（

）A．B．C．D．數列的前2n項和的最小值為244．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）（多選）已知是等比數列的前項和，且，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．45．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級中學校考一模）（多選）已知數列滿足，，，為數列的前n項和，則下列說法正確的有（

）A．n為偶數時， B．C． D．的最大值為2046．（2023·江蘇南京·校考一模）（多選）提丟斯·波得定律是關于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學規則，它是在1766年由德國的一位中學老師戴維斯·提丟斯發現的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離(以天文單位為單位).現將數列的各項乘以10后再減，得到數列，可以發現數列從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（

）A．數列的通項公式為B．數列的第2021項為C．數列的前項和D．數列的前項和47．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考一模）（多選）在數列中，和是關于的一元二次方程的兩個根，下列說法正確的是（

）A．實數的取值范圍是或B．若數列為等差數列，則數列的前7項和為C．若數列為等比數列且，則D．若數列為等比數列且，則的最小值為448．（2023·江西上饒·統考一模）已知數列中，，，，記數列前項和為，則__________．49．（2023·江蘇南通·統考一模）寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數列的通項公式__________.①；②50．（2023·全國