2021年四省名校高考數(shù)學(xué)第三次大聯(lián)考試卷（文科）

一、選擇題（每小題5分）.

1.已知集合人={（x,>-）l><V3-x2）為）'eN},則集合A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知復(fù)數(shù)z上圖-，

則它的共輸復(fù)數(shù)等于（)

1

A.2-iB.2+iC.-2+zD.-2-i

3.已知向量？=（2,3）,（-1,入），若向量7-2芯與向量；共線，則后1=（）

A.工B.C.-/13D.—

22"4

4.已知樣本數(shù)據(jù)為XI,X2,X3,X4,X5,該樣本平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)4,得

到新樣本的平均數(shù)為7,方差為$2,則（）

2222

A.x>4,s>2B.x=4，S<2C.x<4,s<2D.x=4,s>2

5.己知等比數(shù)列{〃〃}中，。2+。4=3等0a3=9,則公比4=（）

或上或

A?9或-11B.3或-11C.3D.3-3

3

則cos(a-3^)=()

6.已知a為第二象限角，且tan(a-n)=

A.匝B,一叵歷歷

\r_z?3--------Un?3---------

10101010

7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過定點(diǎn)（1,0），且與拋物線C：y2=2px（p>0）交于A,B

兩點(diǎn)，若OALOB,\OA\^\OB\,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）

A.X---B.X---C.X--1D.X--2

42

8.已知點(diǎn)P（l,2）,則當(dāng)點(diǎn)P到直線2ar+y-4=0的距離最大時(shí)，a—（）

A.1B.——C.—D.

44

9.某大型建筑工地因施工噪音過大，被周圍居民投訴.現(xiàn)環(huán)保局要求其整改，降低聲強(qiáng).已

知聲強(qiáng)/（單位：W/m2）表示聲音在傳播途徑中每平方米面積上的聲能流密度，聲強(qiáng)級L

（單位：dB）與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為L=10?/g（“/）.已知/=1013印/m2時(shí)，L=U）dB.若

整改后的施工噪音的聲強(qiáng)為原聲強(qiáng)的IO?,則整改后的施工噪音的聲強(qiáng)級降低了（）

A.50dBB.40dBC.30dBD.20dB

10.給出下列命題：①/〃2>?,@/n2>—,@log23>log58,其中真命題為()

3e

A.①②B.②③C,①③D.①②③

11.如圖是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的高為（）

iE松圖

儂程圖

A.1B.2C.D.

55

12.已知函數(shù)/（x）=siax+cosxsinA-,則下列關(guān)于函數(shù)/（x）的說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①2n是f（%）的周期；

@f（x）是偶函數(shù)；

⑨（X）的圖象關(guān)于直線對稱；

@f（X）的最小值是一3返.

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分。

13.已知命題p：Vx6[l,2],x2-ca-3<0,若p為真命題，則a的取值范圍為.（結(jié)

果用區(qū)間表示）

22

14.已知雙曲線與三=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,點(diǎn)尸到其漸近線的距

離為1,則雙曲線的離心率為.

15.某工廠需要生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品，現(xiàn)有原料18噸，每件4產(chǎn)品需原料3噸，利潤為5

萬元，每件B產(chǎn)品需原料1噸，利潤為1萬元,A產(chǎn)品的件數(shù)不能超過8產(chǎn)品的件數(shù)的

則工廠最大利潤為萬元.

16.已知在三棱錐尸-A8C中，ZBAC=90°,AB=AC=4,ZAPC=30°,平面尸47_1_平

面ABC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足cosC=亙-

b2b

CD求角B；

(2)若AABC外接圓的半徑為力,且AC邊上的中線長為苧，求△ABC的面積.

18.某企業(yè)有甲、乙、丙三個(gè)部門，其員工人數(shù)分別為24,16,8.現(xiàn)在醫(yī)務(wù)室通過血檢進(jìn)

行一種流行疾病的檢查.

(1)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取6人進(jìn)行前期調(diào)查，求甲、乙、丙三個(gè)部門的員工

中分別抽取的人數(shù)和每一位員工被抽到的概率？

(2)將該企業(yè)所有員工隨機(jī)平均分成4組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰

性，則可斷定本組血樣全部為陰性，不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽性，則本組中至少有一人

呈陽性，再逐個(gè)化驗(yàn).已知每組化驗(yàn)結(jié)果呈陰性的概率都為《，記2,3,4)

2

為“第，?組化驗(yàn)結(jié)果呈陰性"，&(，=1，2,3,4)為“第i組化驗(yàn)結(jié)果呈陽性”，請計(jì)

算恰有兩個(gè)組需要進(jìn)一步逐個(gè)化驗(yàn)的概率.

19.已知四邊形ABC。，AB=AD=2,NBAD=60°,ZBCD=30°.現(xiàn)將△A8O沿8。邊

折起，使得平面AB。，平面BCD,AOCD點(diǎn)P在線段4。上，平面BPC將三棱錐A

-BCO分成兩部分，VA-BPC：VA.BCD^\：2.

(1)求證：5PL平面AC￡>；

(2)若M為CD的中點(diǎn)，求M到平面BPC的距離.

20.己知F是橢圓C：七，彳=1(4>6>0)的左焦點(diǎn)，焦距為4,且過點(diǎn)尸(J3，1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線八，h,若人與C交于A,B兩點(diǎn),/2與C交于。，E

兩點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)為M,OE的中點(diǎn)為M試判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請

求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由.

21.己知函數(shù)/(x)=e一履2,其中/為實(shí)數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若女=￡，證明：當(dāng)x20時(shí)，于32x+l恒成立；

(2)當(dāng)x20時(shí)，/'(x)22x+l-siiir恒成立，求攵的取值范圍.

請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。［選修4?4：坐

標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標(biāo)系直方中，曲線C的參數(shù)方程為(*(a為參數(shù)).以坐標(biāo)

yW2sinJ

原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為J5Pcos(等

-0)=1.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的傾斜角；

(2)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,1),直線/與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求

的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(九)=\x+a2-l|+|x-6|.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，解不等式/(x)>12；

(2)記集合M={x|/(x)-26=0},若存在a￡R使M關(guān)0,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

1.己知集合A={（x,y）1內(nèi)34，%yeN},則集合A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

解：由己知可得滿足條件的點(diǎn)有（0,0）,（0,1）,

（1,0）,（1,1）共4個(gè)點(diǎn)，

所以集合A中的元素共有4個(gè)，

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z」%，則它的共輾復(fù)數(shù)等于（）

1

A.2-fB.2+iC.-2+iD.-2-i

竊斜l+2ii-2.

解：復(fù)數(shù)z=-；—=——=2n-i

i-1

所以它的共輾復(fù)數(shù)^=2+i

故選：B.

3.已知向量之=（2,3）,4=（-1,入），若向量7-2石與向量之共線，則后尸（）

A.VB.隼C.任D.學(xué)

解：根據(jù)題意，向量Z=（2，3）,（-1,入），則工-2石=（4,3-2人），

又由向量彳-21與向量彳共線，則有2（3-2入）-3X4=0,

解可得：入=-"I,

故選：B.

4.已知樣本數(shù)據(jù)為XI,X2,X3,X4,X5,該樣本平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)數(shù)4,得

到新樣本的平均數(shù)為7,方差為S2,則（）

A.x>4-S2>2B.7=4,S2<2C.^<4,s2<2D.^=4,s2>2

解：因?yàn)閄I,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)為4,方差為2,

所以當(dāng)加入一個(gè)數(shù)4,得到新樣本的平均數(shù)為(4X5+4)=4，

0

方差為5^=1X[5x2+(4-4)2]2-

63

故選：B.

5.已知等比數(shù)列｛小｝中，42+44=30,4143=9,則公比()

A.9或-11B.3或-11C.3或2D.3或-3

3

「3

a,q+a,q=30

解：由42+44=30,4143=9,可得々，

22_

q-9n

解得q=±3,

故選：D.

6.已知a為第二象限角，且tan(a-ir)=-1，則cos(a)

2

A逗B_逗C3V10

10101010

解：；a為第二象限角，且tan(a-IT)=-《，

2

/.tana=-1,即星21

2cosa2

又sin2a+cos2a=1，

;.sina=立，cosa=275

55_____

*(a弓)=岑C)=冬(一攀嚕)=隔

故選：A.

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過定點(diǎn)(1,0),且與拋物線C：^=2px(p>0)交于A,B

兩點(diǎn)，若OALOB,\OA\=\OB\,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為()

A.X---B.X---C.X--1D.X--2

42

解：因?yàn)槿切蜛OB為等腰直角三角形，所以直線/的方程為：x=l,

JT

根據(jù)拋物線的對稱性可以確定/AOx=ZBOx=—1，所以A(l,1),

代入拋物線方程可得1=20即0=/，

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-±.

故選：A.

8.已知點(diǎn)P(l,2),則當(dāng)點(diǎn)P到直線2〃x+y-4=0的距離最大時(shí)，a=()

A.1B.-----C.—D.

44Y?

解：因?yàn)橹本€2〃x+y-4=0恒過定點(diǎn)4(0,4),

故當(dāng)幺與直線垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離達(dá)到最大值，此時(shí)過P,A的直線的斜率為-

2,

所以直線2ar+y-4=0的斜率為

故

4

故選：B.

9.某大型建筑工地因施工噪音過大，被周圍居民投訴.現(xiàn)環(huán)保局要求其整改，降低聲強(qiáng).已

知聲強(qiáng)/(單位：W/4)表示聲音在傳播途徑中每平方米面積上的聲能流密度，聲強(qiáng)級L

(單位：dB)與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為￡=10?/g(a/).已知/=1。13卬/加2時(shí)，L=1(WB.若

整改后的施工噪音的聲強(qiáng)為原聲強(qiáng)的102則整改后的施工噪音的聲強(qiáng)級降低了()

A.50dBB.40dBC.30dBD.20dB

解：由題意可知，L=10?lg(a/),

當(dāng)/=1013回,”2時(shí)，L=10dB,有10=l(Wga?l(P,解得.二0巴

故有L=10?/gl012/,

當(dāng)變?yōu)樵晱?qiáng)的IO?時(shí)，/=10"川/〃落

有L=10?/gl0%[on,可得/=-IO”B,

由此可知降低了10dB-(-10dB)=20dB,

故選：D.

10.給出下列命題：①加2>?,(2)ln2>—,(3)log23>log58,其中真命題為()

3e

A.①②B.②③C.①③D.①②③

解：對于①，即2>仔，故①正確；

對于②，由ln2>2,轉(zhuǎn)換為萼>衛(wèi)絲，

設(shè)f(x)=—,則f'(x)，l產(chǎn),令/(x)=0,解得x=e,

xx

當(dāng)在(0,e)時(shí)，函數(shù)，(x)>0,當(dāng)xe(e,+~)時(shí)，f(x)<0,故函數(shù)f(x)

在(0,e)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)2〈工也，BPln2<-,故②錯(cuò)誤；

2ee

對于③，k)g23>10g58,

轉(zhuǎn)換為1。8234=1。82食，由于楙，故號>1

所以

223>222

32

1Og3=1g>0

2^°2T.B|Jl0g93>4.

222

183

對于1=58得=儂5/,由于8<55,

5

,,0<-V<1

故2.，

52

所以log58v■<。，所以1og58<多

故Iog23>log58,

故③正確.

故選：C.

11.如圖是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的高為（）

D.等

解：由題意幾何體是四棱錐尸-ABCC,過P作PELAO于E,

在正方體中有平面PAD,所以COLPE,

又因?yàn)锳DCCD=。，所以PE_L平面ABC。，

所以四棱錐的高為PE,

由三視圖可知、后，PEX、而=2X2,解得PE=3區(qū).

5

所以該四棱錐的高為：生度.

5

故選：D.

B

12.已知函數(shù)/(%)=sinx+cosxsinx,則下列關(guān)于函數(shù)/(x)的說法中，正確的個(gè)數(shù)是()

①2TE是f(x)的周期；

(X)是偶函數(shù)；

一TT

③/(無)的圖象關(guān)于直線l=看對稱；

?f(X)的最小值是-昌返.

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C?3個(gè)D.4個(gè)

解：函數(shù)/(%)=sinx+cosxsiri￥,

對于①，函數(shù)/(X+2TI)=sin(x+2ir)+cos(x+2n)sin(X+2TT)=f(x),所以2TT是/

(x)的周期，故①正確；

對于②，函數(shù)/(-九)=sin(-x)+cos(-x)sin(-x)#f(x),故函數(shù)f(x)不是

偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

對于③，/(K-x)=sin(it-x)+cos(n-x)sin(n-x)W/(x),故函數(shù)/(x)的圖

TT

象不關(guān)于直線?對稱，故③錯(cuò)誤；

④由于/(x)=sin^+cosxsiar,

所以，(x)=cosx+cos2x-sin2x=2cos2x+cosx-1,

1

令，(x)=0,解得cosx=-l或cosx方，

當(dāng)cosx=工時(shí)，即sinx=返，

22

于(x)的最小值是-aS,故④正確.

4

故選:B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分。

13.己知命題p：VA-G[1,2],X2-ax-3W0,若p為真命題，則a的取值范圍為」/,X包

(結(jié)果用區(qū)間表示)

2_no

解：命題p：VAG[1,2],x2-ar-3^0,即-士對于在“，2]上恒成立,

XX

即/(x)=》一2，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

X

故f(x)max=f(2)=2-1=|)

故。的取值范圍為[*,+°°).

故答案為：[!",+8).

22

14.已知雙曲線七三=1(。>0,8>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),點(diǎn)尸到其漸近線的距

離為1,則雙曲線的離心率為z返

一3

22

解：雙曲線與三=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),點(diǎn)尸到其漸近線的距離

a2^

為1，

可得雙曲線的漸近線的傾斜角為：各，斜率為：返，所以包q巨,

63a3

故答案為:

15.某工廠需要生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品，現(xiàn)有原料18噸，每件A產(chǎn)品需原料3噸，利潤為5

萬元，每件B產(chǎn)品需原料1噸，利潤為1萬元,4產(chǎn)品的件數(shù)不能超過8產(chǎn)品的件數(shù)的看,

則工廠最大利潤為26萬元.

解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，8產(chǎn)品y件，總利潤為z,

'3x+y<18

O

則，X《石y，目標(biāo)函數(shù)Z=5x+y,作出可行域如圖:

O

X,y€N

結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線y=-5x+z過A(4,6)時(shí)，z有最大值為：5X4+6=26..

故答案為：26.

16.已知在三棱錐P-ABC中，/B4C=90°,4B=AC=4,ZAPC=30°,平面PAC_L平

面ABC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為807r.

解：由題意可知，P點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，則PAC的外接圓的半徑為r,2r=.=8,

sin30

解得r=4,如圖，因?yàn)槠矫鍾4C_L平面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,所以48c的

外接圓的圓心是BC的中點(diǎn)，幾何體的外接球的球心是ABC外心的中垂線與圓PAC的圓

心的中垂線的交點(diǎn)。，由題意可得/?=，=2+(方梯)2=&5，

所以三棱錐P-A8C外接球的表面積為：4nR2=80n.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為小b,c,且滿足cosC=^-F.

b2b

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圓的半徑為且AC邊上的中線長為窄，求△ABC的面積.

解：(1)由cosC=3--二-,

b2b

可得20cosC=2〃-c,

由正弦定理可得2sinBcosC=2sirb4-sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,

可得sinC=2sinCcos^,

又sinCWO,

所以cos3=*,

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，

所以8=專,

(2)由正弦定理可得/k=2?,可得6=3,

sino

設(shè)。為AC邊上的中點(diǎn)，則40=3，8。=1，2方=忌+皮，

22

兩邊平方，可得4而2=或2+前42裾?皮，即\1=c2+a2+ac,

由余弦定理可得按=〃+c2-2?ccosB,即9="2+°2-砒,

兩式相減可得8=2砒，即ac=4,

所以SAA8C=/acsinB=y.

18.某企業(yè)有甲、乙、丙三個(gè)部門，其員工人數(shù)分別為24,16,8.現(xiàn)在醫(yī)務(wù)室通過血檢進(jìn)

行一種流行疾病的檢查.

(1)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取6人進(jìn)行前期調(diào)查，求甲、乙、丙三個(gè)部門的員工

中分別抽取的人數(shù)和每一位員工被抽到的概率？

(2)將該企業(yè)所有員工隨機(jī)平均分成4組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰

性，則可斷定本組血樣全部為陰性，不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽性，則本組中至少有一人

呈陽性，再逐個(gè)化驗(yàn).已知每組化驗(yàn)結(jié)果呈陰性的概率都為《，記B(i=l,2,3,4)

為“第，?組化驗(yàn)結(jié)果呈陰性"，E，(i=l,2,3,4)為“第i組化驗(yàn)結(jié)果呈陽性”，請計(jì)

算恰有兩個(gè)組需要進(jìn)一步逐個(gè)化驗(yàn)的概率.

解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3：2：1,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取6人，

因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，1人，

該企業(yè)總共有24+16+8=48名員工，

記事件A：“任意一位被抽到”，由于每位員工被抽到的概率相等,

，每位員工被抽到的概率為

488

(2)記“恰有兩個(gè)組需要進(jìn)一步逐個(gè)化驗(yàn)”為事件B,所有分組化驗(yàn)的結(jié)果有16種,

分別為:

(Bi,Bi,a,&)(BpB2?B3,,(Bj,B2，B3,B4),

(Bi,B?，B3,B4),(BpB2>B3,Bp,

(Bj,^2,84),(B],B?B3,B),(BpB?

ft,242B3,B4),

(Bi,B?，B3,B4),(BpB2?B3,Bp,

(B1B2B3,B4),(B],B2?B3,B4),(B[,B2,B3，B4)

￡)，

(B[,B2，B3,(BpB2?B3,B4),

(BpB2，B3,B4),

其中，恰有兩個(gè)組化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，即需要進(jìn)一步逐個(gè)化驗(yàn)的情況有6種，分別為：

再，瓦，&,54),(可，B2，可，B4),國，B2，B3，可)，

(BpB2?B3,B4),(Bj,B2?B3,Bp,(B1B2B3,B4),

每組化驗(yàn)結(jié)果呈陰性與陽性互為對立，

每組化驗(yàn)呈陽性的概率都為微，

則上述每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，

恰有兩個(gè)組需要進(jìn)一步逐個(gè)化驗(yàn)的概率為P(B)=2=3.

168

19.已知四邊形ABCQ,AB=AD=2,NBAQ=60°,ZBCD=30°.現(xiàn)將△AB。沿8。邊

折起，使得平面平面BCD,AOJ_CQ.點(diǎn)P在線段AQ上，平面BPC將三棱錐A

-BC￡)分成兩部分，VA-BPC：VA-BCD=\：2.

(1)求證：BP_L平面4cA

(2)若用為CD的中點(diǎn)，求M到平面BPC的距離.

日D

\ly

Cc

【解答】（1）證明：因?yàn)锳8-AO,ZBAD=60°,所以△A3。為等邊三角形,

因?yàn)橐?BPC：VA-BCD=1：2,VA-BPC=VD-BPCF

設(shè)點(diǎn)到平面BPC的距離為自，點(diǎn)D到平面BPC的距離為hD,

所以?SABpcSABpc'hD>

所以自=必，即受=/=1，所以P為A。的中點(diǎn)，所以BPLAO,

hDDP

取8。的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則AELB。，

又因?yàn)槠矫鍭B￡>J_平面BCD,平面ABOC平面BC￡）=B。，且AEu平面AB。，

所以AE_L平面BCD,因?yàn)镃Cu平面BCQ,所以AE_LCQ,

XCDLAD,AEQAE=A,AE,AE^ABD,所以CC_L平面A8D,

因?yàn)锽Pu平面ABD,所以COLBP,

又因?yàn)锳OCCD=。，AD,COu平面AC。，

所以8P_L平面AC。；

（2）解：因?yàn)镋為8。的中點(diǎn)，正三角形ABO的邊長為2,所以AE=F，

由（1）可知AEJ_平面BCD,又因?yàn)镻為A。的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)P到平面BCD的距離為卜二歲，

連結(jié)8M,由（1）可知，CDLBD,ZBCD=30°,

所以CO=2W，BC=4,BP=M，

所以SABCM?BDVX?X2/

由（1）可知，2PJ_平面AC￡>,CPc5]2?ACD,所以BPJ_CP,

X

所以SABCp十BP?CP=yXA/3V13"P"

設(shè)點(diǎn)M到平面BPC的距離為d,

則由等體積法可得，VM-BCP=VP-BCM,

所以,?SABCP,d=y'SAECM'H，

故SABCM，HX~V39

^ABCP13

2_

故點(diǎn)M到平面BPC的距離為運(yùn).

13

20.已知F是橢圓C：^--^—=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)，焦距為4,且過點(diǎn)尸（?,1）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線小12,若/1與C交于A,B兩點(diǎn)，/2與C交于。，E

兩點(diǎn)，記48的中點(diǎn)為M,OE的中點(diǎn)為N,試判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請

求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由.

f2c=4

3ia=，6

解：⑴由題意可知|=,解得Jb=V^，

abv

c=2

a2=b2+2c

22

...橢圓c的方程為："

62

（2）由題意知，當(dāng)直線/i,/2其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為0,此時(shí)直

線MN的方程為y=0,

當(dāng)直線八，b斜率都存在時(shí)，設(shè)/i：x^tny-2（機(jī)W0）,

x=iny-2

設(shè)點(diǎn)A（xi,yi）,B（及，”），聯(lián)立方程，丫22

化簡可得(/+3)y2-4my-2=0,且△>(),

4m-2

所以yjy2n2c，丁”=2，

m+3m+3

-12

則x\+x2=m(ji+y2)-4=

m2+3,

/-62m、

：.M(一5—，——)

m+3m+3

1c

x=-y-2

m_6IR2-2m

同理由,22可得N(

23m2+1'

x\y乙i3m+1

621

21n+2m

22

m+33m+l4m

則kMN=

6%6IR2

m2+33m2+l

2m4mz6s

所以直線的方程為

MNy-tn2+33(K-1)

2m

化簡得：尸

3(m2-l)m2-l3(m2-l)

此時(shí)直線MN過定點(diǎn)(-導(dǎo)，0),

2

易知當(dāng)直線八，/2其中一條的斜率不存在時(shí)，直線的方程為y=0,亦過點(diǎn)(-"I，0),

綜上所述，直線MN恒過定點(diǎn)(-導(dǎo)，0).

2

21.已知函數(shù)/(X)=d--丘2,其中改為實(shí)數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若女得，證明：當(dāng)工》。時(shí)，f(x)2x+l恒成立；

(2)當(dāng)時(shí)，f(x)22x+l-siiir恒成立，求女的取值范圍.

解：(1)證明：當(dāng)％=工時(shí)，設(shè)g(x)=e'-^-x2-x-1(x^O),

22

g'(x)=*-尤-1,???(1分)

貝ijg"(x)=4-120,

故g'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增…

故當(dāng)入20時(shí)，g'(x)》g'(0)=0,

故g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，…

故當(dāng)x20時(shí)，g(x)2g(0)=0,

故當(dāng)元20時(shí)，f(x)恒成立；???

(2)設(shè)h(x)=eK-kx2-2x-1+sinr(x20),

則〃(X)min》。,注意到力(0)=0,???

則hf(x)=e“-2kx-2+cosx(xNO),

則"(0)=0???

h"(x)=ex-2k-sinx,h'r(0)=1-2%,

hr,'(x)=^-cosxG0,則力”(x)在［0,+°°)上單調(diào)遞增，…

當(dāng)％■時(shí)，h"(0)=1-2%20,由于公(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x20時(shí)，h"(x)沁"(0)20,則〃'(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

故九'(%)2力'(0)=0,則4(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

故力(x)2〃(0)=0,符合題意；…

當(dāng)上>工時(shí)，h"(0)=1-2k<0,