絕密★啟用前

2021年全國乙卷數學試卷(理科)(刪除非新高考知識點試題版)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設2(z+z)+3(z—z)=4+63則z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,n6Z},T=[t\t=4n4-1,n6Z},則SnT=()

A.0B.SC.TD.Z

3.設函數f(x)=W，則下列函數中為奇函數的是()

A.f(x—1)—1B.f(_x-1)+1C./(x+1)—1D./(x+1)+1

4.在正方體48。0-48道1/中，P為名。1的中點，則直線PB與AD]所成的角為()

A-R-Q-n-

c.2<->-346

5.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名

志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

6.把函數y=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的；倍，縱坐標不變，再把所得曲線向

右平移卷個單位長度，得到函數'=$也0一》的圖像，則/(無)=()

sin6-mB.sin《+運)C.sjn(2x-D.sjn(2x+—)

7.魏晉時期劉徽撰寫的的島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高.

如圖，點E,H,G在水平線力C上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，

稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的

表高x表距表高義表距

A.+表高B.-表高

表目距的差表目距的差

表高X表距表取表距

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差

8.設aH0,若x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x—匕)的極大值點，貝ij()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

W+'=l（a>b>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|<2b,則

9.設B是橢圓C：

C的離心率的取值范圍是（）

A.俘,1)B.[1,1)C.(0,爭D.(0,i]

10.設a=2仇1.01,b=/nl.02,c=VL04-1,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共3小題，共15.0分）

11.已知雙曲線C：3-y2=i（m>0）的一條漸近線為Wx+my=0,則c的焦距為

12.已知向量,=（1,3）,b=（3,4）>若0—高）13，則2=.

13.記△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為舊，B=60°,a2+c2=3ac,

則b=?

三、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

14.(本小題12.0分)

某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺

舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為工和9,樣本方差分別記為野和賢.

⑴求x,y>sl，s!；

(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果亍,^>2/醇，

則認為新設備生產產品的該項指標的均值較I日設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高

)(V76x8.718).

15.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P—ABCO的底面是矩形，PD1底面4BCD,PD=DC=1,M為BC中點，且PB1

AM.

⑴求BC；

(2)求二面角4-PM-B的正弦值.

16.(本小題12.0分)

記S“為數列｛an｝的前n項和，%為數列屬｝的前n項積，已知名+；=2.

3〃°n

(1)證明：數列｛%｝是等差數列；

(2)求｛&｝的通項公式.

17.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=［虱。-%),已知x=0是函數y=xf(x)的極值點.

(1)求a；

(2)設函數g(x)=%2.證明：g(x)<1.

18.(本小題12.0分)

已知拋物線C：/=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M：/+(y+4)2=1上點的距離的最

小值為4.

⑴求P；

(2)若點P在M上，PA,PB為C的兩條切線，A,B是切點,求APAB面積的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查復數的基本運算，利用待定系數法建立方程是解決本題的關鍵，是基礎題.

利用待定系數法設出z=a+bi,a,b是實數，根據條件建立方程進行求解即可.

【解答】

解：設2=。+6，a,b是實數，

則z=a-bi<

則由2（2+5）+3（2—』）=4+63

得2x2a+3x2bi=4+6i,

得4a+6標=4+6i,

得喘二》得。=1,b=1,

即z=1+i,

故選：C.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查集合的包含關系，以及交集運算，屬于基礎題.

首先判斷集合7中任意元素都是集合S的元素，從而得出集合7是集合S的子集，然后即可求它們的

交集.

【解答】

解：因為當n€Z時，集合7中任意元素，=4n+1=2,（2n）+1eS

所以r*s,于是snr=T.

故答案選：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了函數奇偶性和函數的圖象變換，解題的關鍵是確定/(X)的對稱中心，考查了邏輯推理

能力，屬于中檔題.

先根據函數f(x)的解析式，得到人乃的對稱中心，然后通過圖象變換，使得變換后的函數圖象的

對稱中心為(0,0),從而得到答案.

【解答】

解：因為/(?===呼生=—i+w，

J'1+x1+xx+1

所以函數f(x)的對稱中心為(一1,一1),

所以將函數/'(X)向右平移一個單位，向上平移一個單位，

得到函數y=/(x-l)+l,該函數的對稱中心為(0,0),

故函數y=f(x-1)+1為奇函數.

故選:B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運算求解能力.

由2DJ/BC1，得NPBC］是直線PB與45所成的角(或所成角的補角)，由此利用余弦定理，求出直

線PB與45所成的角.

【解答】

解：???也〃BG，

?1.4PBC1是直線PB與45所成的角(或所成角的補角)，

設正方體ABC。的棱長為2,

則PBi=PG=i722+22=V2,BCi=422+22=2&，BP=^22+(72)2=展,

,/PRr_”+8玲2」_6+8-2=國

??COS12xPBxBCr2xV6x2V22'

4PBei=7，

o

???直線PB與AD1所成的角為也

xo

故選：D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查排列組合的應用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關鍵，是基礎題.

5人先選2人一組，然后4組全排列即可.

【解答】

解：5名志愿者選2個1組，有髭種方法，然后4組進行全排列，有用種，

共有它/=240種.

故選：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查函數y=Asin^x+缶的圖像變換規律，屬基礎題.

由題意利用函數y=Asin{a)x+9)的圖像變換規律，得出結論.

【解答】

解：???把函數y=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的:倍，縱坐標不變，

再把所得曲線向右平移々個單位長度，得到函數y=si￡x-》的圖像，

???把函數y=sin。-》的圖像，向左平移號個單位長度，

得到丫=sin(x+卜》=sin(x+9)的圖像;

再把圖像上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變,

可得/（x）=sin（：x+"）的圖像.

故選：B.

7.【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查解三角形在實際問題中的應用，屬于中檔題.

連接OF延長交4B于優記MDM=a,乙BFM=0,解直角三角形可得MB=曰=繇,高

表高X表距

AB+表露

表目距的差

【解答】

解：連接DF,延長交43于M,則+

記/BDM=a,乙BFM=0,則當一旭=MF-MD=DF.

tan^tan。

ECFGED

向tanS=~GC9tana=而，

MBMB彳

所rr以Hl一a---------=MBMB噓噌）

tan°tana

GC-EH

=MB-=DF.

ED

故MR-EDDF_EDEG_表高^表距

「又二GC-EH=GC-EH二表目距的建

郭爐羨監

所以高48=+表高

表目距的差

故選：A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查利用導數研究函數的極值、極值點，考查一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，

屬于較難題.

根據a40,且x=a為函數/(無)=a(x-a)2(x-b)的極大值點，利用導數來判斷a,b該滿足的

條件，為此需要判斷函數在x=a左右的單調性，本題需要分a=b,。>0并且。<從a>0,并

l.a>b,a<0,并且a<b,a<0,并且a>b共5種情況討論，由此可以推出：a>0并且a<b

或a<0并且a>6,然后可判斷選項的正確性.

【解答】

解：因為a*0,

(1)所以當。=6時，函數/'(x)=a(x-。尸在(-8,+8)單調，無極值，不合條件；

(II)當a于b時，因為/'(x)=3a(x—a)(x—色竽今，

所以，①若a>0并且QVb時，a<竽，

由/*'(%)>0,得：X<Q或%>^

由廣(X)VO,得：QV%

所以這時/(%)在(-8,a)上單調遞增，在(見2受)上單調遞減，％=Q是函數/(%)的極大值點，符

合條件；

②若a>0,并且a>b時，Q>上/，

由/'(X)>0,得：x<土產或1>Q，

由((x)V0,得：<x<a,

所以這時/(%)在(等匕a)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增，％=a是函數/(%)的極小值點，不

符合條件；

③若Q<0,并且Q<2?時，QV上了，

由/'(%)>0,得：a<x<

由f'Q)<0,得：x<a或%>土手，

這時f(x)在(-8,a)上單調遞減，在(a,煤)上單調遞增，x=a是函數/(x)的極小值點，不符合

條件；

④若a<0,并且a>b時，a>史羅，

由/''(x)>3得：<x<a>

由((x)<0,得：x<生會或x>a,

所以這時f(x)在(煤,a)上單調遞增，在(a,+8)上單調遞減，x=a是函數f(x)的極大值點，符

合條件；

因此，若x=a為函數/0)=。(％-<1)20-/>)的極大值點，則a,b必須滿足條件：

a>0并且a<b或a<。并且a>b.

由此可見，A,B均錯誤；

又總有ab-a?=a(b-a)>0成立，所以C錯誤，。正確.

故選。.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題重點考查橢圓的性質，屬于一般題.

設「(囁仇外也僅。[。,2兀)，求得/《1+廠、利用正弦函數的性質求得牌2,進而可求

離心率的范圍.

【解答】

解:設P?cos9，％in9)(9G1°，2兀)

由題意，得B(0,b),則|PB|=V^cos^+^^sin0-1)202b

???a2cos2。+Hsin。T)244〉,

當cos。=0劭不等式成立；

當COS。牛G時,

...必v3-qin2e+2qine=一&"-3)&訪，+1)_3一0訪.=]4?

■、cos2^(1—sin°)(l+sin。)1-sin^1-sin^

又0<e<1

故橢圓離心率的取值范圍是(0,凈

故選：C.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了不等式的大小比較，導數和函數的單調性和最值的關系，考查了轉化思想，屬于較難

題.

構造函數/(x)=2，n(l+x)-(，l+4%—l),0<x<1,h(x)=[n(l+2x)-(V1+4x-1).

利用導數和函數的單調性即可判斷.

【解答】

解:a=2/nl.Ol=Znl.0201,b=Znl.02,

a>b,

令/(x)=2Zn(l+%)—(V1+4%—1),0<%<1,

令，1+4%=t，則1Vt<V5?

?**g(t)=2/n(---)—￡+1=2"(嚴+3)—t+1-2》4，

,

/X.x4t14￡—F—3(t—l)(t—3)n/r

g(t)在(1,通)上單調遞增，

???g(t)>g(l)=2ln4-1+1-2/n4=0,

???/(x)>0,即22n(1+x)>VI+4x-1,0<x<1,

=0.01,Klj2Znl.Ol>A/L04-1.

即a>c,

同理令/i(x)=ln(l4-2x)-(VI+4x-1),0<x<1,

再令、1+4x=t,貝遍，

t2-i

???X=

4

:.(p(t)=ln(^—)—￡+1=ln(t2+1)—t+1-ln2,

2

0'(t)=堯-1=<0<1<t<V5.

八，t2+lt2+l

0(t)在(1,通)上單調遞減，

:.0(t)<<p(l)=ln2-1+1—ln2=0,

?'1/i(x)<0,即［n(l+2%)<Vl4-4x-1>

同樣的，取x=0.01,WO/nl.02<Vl?04-1,

即c>b,

a>c>b.

故選:B.

11.【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的幾何性質，涉及雙曲線的漸近線方程的分析，屬于基礎題.

根據題意，由雙曲線的性質可得患=而，解可得m的值，即可得雙曲線的標準方程，據此計算c的

值，即可得答案.

【解答】

2

解：根據題意，雙曲線C：3—y2=1(7n>0)的一條漸近線為遙％+my=0，

則有翁=而，解可得血=3,

2_____

則雙曲線的方程為^?—y2=1，貝iJc=V3+1=2>

其焦距2c=4：

故答案為：4.

12.【答案】|

【解析】

【分析】

本題主要考查向量數量積的坐標運算，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運算求解能力，屬

于基礎題.

利用向量的坐標運算求得五一右=(1一3尢3-42)，再由0-石)13,可得他一蘇)7=0,即

可求解；I的值.

【解答】

解：因為向量4=(1,3),另=(3,4)，

則旨-23=(1-3/1,3-42)，

又伍-Ah)1b，

所以(d-Abyb=3(1-3A)+4(3-4A)=15-25A=0，

解得4=|.

故答案為：|.

13.【答案】2V2

【解析】

【分析】

本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應用，屬基礎題.

由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關于b的方程，解方程可得.

【解答】

解：???△4BC的內角4,8,C的對邊分別為a,b,c,面積為遙，B=60°,a2+c2=3ac,

■--acsinB=\/3=>^acx^=\/3=>ac=4=>a2+c2=12>

又cosB=號三=/0b=2網(負值舍)

2ac28

故答案為：2或.

14.【答案】解：(1)由題中的數據可得，

%=言x(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=吉X(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

1

=10X〔(98-I。)？+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2

+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036；

1

22222

=_x[(10.1-10.3)+(10.4-10.3)+(10.1-10.3)+(10.0-10.3)+(10.1-10.3)

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04；

(2)y-x=10.3-10=0.3，

/s?+s?/0.036+0.04/ccc二7n1r

2J=2-----------=2oV0.0076?0.174，

Nioy10

所為—>2居，

故新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

【解析】本題考查了樣本特征數的計算，解題的關鍵是掌握平均數與方差的計算公式，考查了運

算能力.

⑴利用平均數和方差的計算公式進行計算即可；

(2)比較歹-分與2^^1的大小，即可判斷得到答案.

15.【答案】解：（1）連結BD,

因為PDJ■底面ABCD,且4Mu平面4BCD,

則4M1PD,

又2M1PB,PBCPD=P,PB,POu平面PBD,

所以4"1平面P8D,

又BDu平面PBD,則AM1BD,

所以4/WB+/ZMM=90°,

又/DAM+AMAB=90。，

貝IJ有乙4OB=/.MAB,

所以RtZkZMBsRtAABM,

則*=瞿，所以:BC2=1,解得80=魚;

ADDlvlL

(2)因為D4,DC,DP兩兩垂直，故以點。為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示,

則4(71,0,0),B(夜,1,0),M怎,1,0)，P(0,0,l),

所以標=(一短0,1)，AM=(-y,l,0)>BM=(-y,0,0)>~BP=(-V2,-l,l)>

設平面AMP的法向量為元=(x,y,z),

?萬=0,—V2x+z=0

即V2，

-AM=Q-yx+y=0

令x=V^，則y=l，z=2,故元=(&,1,2)，

設平面EMP的法向量為記=(p,q,r),

V2n

fn-BM=0即

則有)

m-BP=0V2p—q+r=0

令q=1,貝懺=1,p=0,故記=(0,1,1),

(元記＞朋=3頁3/14

所以los1=K二14

設二面角力-PM-B的平面角為a,

22,T一、L,3g、2V70

^sina=V1-rn<;a=y/1-rn<,

所以二面角a-加.B的正弦值為罌.

【解析】本題考查了空間中線段長度求解以及二面角的求解，在求解有關空間角問題的時候，一

般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

(1)連結BD,利用線面垂直的性質定理證明4M1PD,從而可以證明AM1平面PBD,得到AM1BD,

△DAB-Rt△ABM,即可得到BC的長度;

(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后求出平面的法向量，由向

量的夾角公式以及同角三角函數關系求解即可.

16.【答案】解：(1)證明：當n=l時,b\=S1，

由2'+21=2,解得坊=|o,

當nN2時,=Sn,代入^~+2=2,

消去Sn,可得誓+==2,所以Zm—bn_i=:，

所以｛%｝是以I為首項，3為公差的等差數列.

(2)由題意，得%=Si=瓦=2，

由(1)，可得琥=|+(n-l)x|=號匕

由15=2,可得及=寢，

當nN2時，廝=5?-5"_1=富一號=一而島，顯然的不滿足該式，

所以冊=

n-2

【解析】(1)由題意當7i=1時，bi=S「代入已知等式可得打的值，當nN2時，將3%=Sn，代

入京+*=2,可得加-垢_】=J,進一步得到數列｛%｝是等差數列；

(2)由%=S1=瓦=|,可得%=號2,代入已知等式可得S”=煞當n>2時，%i=Sn-Sn-1=

一品p進一步得到數列的通項公式.

本題考查了等差數列的概念，性質和通項公式，考查了方程思想，是基礎題.

17.【答案】(1)解：由題意，f(x)的定義域為(—8,a),

令m(%)=%/(%),則?n(%)=x/n(a—%),xE(—oo,a),

則m'(x)=ln(a-x)+x?言=|n(a-x)+言，

因為％=0是函數y=xf(x)的極值點，則有m'(0)=0,即mQ=0,所以Q=1,

當a=1時，m'(x)=]0(1-%)+=In。—％)++1，且m'(0)=0>

令6(%)=]￡1-X)+三+1，xw(-8,1)

因為G'(X)=7-■*----~2=,X2?<0,

一人-1-x(l-x)2(1-X)2

則M(x)在(一8,1)上單調遞減，

所以當％€(-8,0)時,mr(x)>0,

當％G(0,1)時，m'(x)<0,

所以。=1時，％=0是函數y=%/(%)的一個極大值點.

綜上所述，a=l；

(2)證明：由(1)可知，xf(x)=xln(l—x),

要證函數。(》)=端<1,即需證明黑昌<1,

因為當％6(-8,0)時，xln(l-x)<0,

當％G(0,1)時，xln(l—x)<0,

所以需證明％+jn(l-%)>xln(l-%),即％4-(1-x)jn(l-x)>0,

令九(x)=x+(1-x)]n(l-%),

則叫)=(1-%).三+1-[￡1-x)，

所以"(o)=o,當％e(—8,o)時，h'(x)<0,

當xe(0,1)時，/i((x)>0,

所以x=0為/i(x)的極小值點，

所以九(％)