2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)乙卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答

案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z=().

A.l-2iB.l+2i

C.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ),T={11t=4n+l,n￡Z},則SCT=()

A.0B.S

C.TD.Z

3.已知命題p：BxCR,sinx<l；命題q：VxGR,e閉21,則下列命

題中為真命題的是()

A.pAqB.-ipAq

C.pA-iqD.-i(pVq)

4.設(shè)函數(shù)f(x)F，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+X

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+l

C.f(x+D-lD.f(x+D+l

5.在正方體ABCD-ABCD中，P為BD的中點，則直線PB與AD所成

的角為（）

B.

D.

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺

4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配

1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種

C.240種D.480種

7.把函數(shù)y=f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的號倍，縱坐標(biāo)不

變，再把所得曲線向右平移g個單位長度，得到函數(shù)丫=5打&-?的圖

像，則f（x）=（）

A.sing-?B.sing+看）

8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于:的概

4

率為（）

A.7-B.—23

432

C.-D.-

329

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第

一題是測量海盜的高。如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和FG是

兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為

“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的

差”。則海島的高AB=（）.

(第9題圖)

表高表距表高表題

A：x+表高B：X一表高

表目距的差表目距的差

表高表距表高表距

C：X+表距D：X-表距

表目距的差表目距的差

10.設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)?(x-b)的極大值點，則().

A：a<bB：a>b

C：ab<a'D：ab>a2

22

11.設(shè)B是橢圓C：+卷=1(a>b>0)的上頂點，若C上的任意

a2?b2

一點P都滿足|PB|W2b,則C的離心率的取值范圍是().

A：惇1)B：悖,1)

C：(0,y]D：

12.設(shè)a=2In1.01,b=lnl.O2,c=V1.04—1,則().

A：a<b<cB：b<c<a

C：b<a<cD：c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2一

13.已知雙曲線C：v--y2=1(m>0)的一條漸近線為遮x+my=O,則

C的焦距為.

14.已知向量a=(l,3),b=(3,4),若(a-入b)_Lb,則人=。

15.記4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為遍,B=60°,

a2+c2=3ac,則b=.

16.以圖①為正視圖和俯視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視

圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選

考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項

指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得

到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

設(shè)

備

新10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

設(shè)

備

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為無和歹，樣

2

本方差分別記為S」和S2

2

(1)求元，y,S|%S2；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提

高(如果廠無22后豆，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的

均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.(12分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD,底面ABCD,PD=DC=1,M為

BC的中點，且PB_LAM,

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

(第18題圖)

19.(12分)

記Sn為數(shù)列E,｝的前n項和，壯為數(shù)列｛SJ的前n項和，已知1~十

%

(1)證明：數(shù)列｛b"是等差數(shù)列；

(2)求｛4｝的通項公式.

20.(12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點。

(1)求a；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)證明：g(x)<1.

xf(x)

21.(12分)

己知拋物線C：x=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M：x2+

(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求P;

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求APAB

的最大值.

(二)選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。

如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，OC的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出OC的一個參數(shù)方程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(2)過點F(4,1)作。C的兩條切線，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程.

23.［選修4一5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)當(dāng)a=l時，求不等式f(x)26的解集;

(2)若f(x)2—a，求a的取值范圍.

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國乙卷)

數(shù)學(xué)(理)

一、選擇題

1.設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則N=()

A.1-2/

B.1+萬

C.1+z

D.1-z

答案：

C

解析：

^z—a+bi,貝丘=0—汰,2(z+z)+3(z-z)=4a+6bi=4+6i,所以a=l,

b=\,所以z=l+i.

2.已知集合S={s|s=2"+l,”eZ},T={r|r=4/?+l,neZ},則SnT=()

A.0

B.S

c.T

D.z

答案：

c

解析：

s=2〃+1,neZ;

當(dāng)〃=2左，女eZ時，S={s|s=4A+l,A：eZ};當(dāng)〃=2k+1,左eZ時，

S={s|s=4Z+3?wZ}.所以『OS,SC\T=T.故選C.

3.已知命題sinx<l;命題q：V%wR,eM21,則下列命題中為真命題的是

()

A.p/\q

B.7Aq

c.p/\「q

D.Tp")

答案：

A

解析：

根據(jù)正弦函數(shù)的值域sinxe[-1,1],故土eR,sinx<l,p為真命題，而函數(shù)

y=y=*為偶函數(shù)，且X20時，y=eM>l,故X/xwR,y=*bl恒成立.，則q也

為真命題，所以〃人9為真，選A.

4.設(shè)函數(shù)/(了)=*2.則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+X

A./(X-D-1

B./(x—D+1

C./(x+D-l

D./(x+l)+l

答案：

B

解析：

1-r?2

/(%)=-=-l+--,/(X)向右平移一個單位，向上平移一個單位得到g(x)=一為奇

1+X1+XX

函數(shù).

5.在正方體ABC。—A4G。中，尸為4A的中點，則直線PB與所成的角為

()

A.—

2

B.—

3

C.—

4

D.—

6

Dx6

P

AB

答案：

D

解析：

如圖，NPBC1為直線與A"所成角的平面角.

易知為正三角形，又P為4。中點，所以NPBG=2.

6

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每

名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有

()

A.60種

B.120種

C.240種

D.480種

答案：

C

解析：

所求分配方案數(shù)為C；A：=240.

7.把函數(shù)y=/(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲

線向右平移5個單位長度，得到函數(shù)〉=5皿X-5)的圖像，則F(x)=()

A?/X7乃

A.sin(---------)

212

D..XTC.

B-sin(-+—)

212

77r

C.sin(2x-------)

D.sin(2x+-^-)

答案：

B

解析：

逆向：）'=sin（x-—左移3—＞）,=sin（x+展）一搜蟋壑蟀空便ty=sin（；x+^）.

故選B.

&在區(qū)間（。⑴與a,外中各隨機(jī)取i個數(shù)’則兩數(shù)之和大于:的概率為（）

A.Z

9

n23

D.-----

32

C.-

32

D.-

9

答案：

B

解析：

7

由題意記工￡（0,1）,ye（1,2）,題目即求x+y的概率，繪圖如下所示.

4

1133

lx\-^AM-ANl--x-x-”

故2二244_23

1x1一1~32

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作.其中第一題是測量海島的高.

如圖，點E,〃,G在水平線AC上，OE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的

高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”.GC與EH的差

稱為“表目距的差”，則海島的高A8=()

表高x表距

A.+表高

表目距的差

表高x表距

B.-表高

表目距的差

表高x表距

C.+表距

表目距的差

表高x表距

D.-表距

表目距的差

答案：

A

解析：

連接。尸交AB于M,則AB=AM+8M.

MBMF-MD=DF

記ZBFM=p,則----------

tanptana

EDRui、1

而tan產(chǎn),tana=------所以

GCEH

MBMB11

MB("版匹一空)=的處空

tanPtanatan0tanaFGEDED

EDDF_表高x表距_表高x表距圭,

故='所以局獨:袤麗磅+表加

GC-EH表目距的差

10.設(shè)若為函數(shù)/(%)=。(％-〃)2(%一份的極大值點，貝IJ

K.a<b

a>b

C.ab<a1

D.ab>a2

答案：

D

解析：

若。>0,其圖像如圖(1),此時，0<a<b;若。<0,時圖像如圖(2),此時，b<a<0.

綜上，ab<a2.

yA

\PB\<2b,則。的離心率的取值范圍是()

A.吟，')

B.弓，1)

C.(0,當(dāng)

2

D.(0,1]

答案：

C

解析：

由題意，點8(。向，設(shè)P(”)，則￡+W(l-g),故

22

|=片+(%—6)2=/1爺+$_2by0+b=-^yl~2by0+a+b\

yoe[-b,b].

J3J2

由題意，當(dāng)先=一匕時，仍6『最大，貝卜rK-O,b2>c\a2-c2>c2,C=-<—,

11ca2

cw(O,爭.

12.設(shè)。=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/L04-1,則()

A.a<b<c

B.h<c<a

C.h<a<c

D.c<a<b

答案：

B

解析：

設(shè)/(%)=ln(l+%)-J1+2x+1,則匕—c=/(0.02),易得

a(x12yjl+2x—(1+x)

JW=---------y----------=--------------1?

1+x2jl+2x(l+x)Jl+2x

當(dāng)xNO時，1+尤=J(l+x)2>Jl+2x,故f\x)<0.

所以/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(0.02)vf(0)=0,故b〈c.

再設(shè)g(x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,則a—c=g(0.01),易得

“、24°Vl+4x-(l-x)

g'(x)=---------.2--------/?

1+x2jl+4x(1+x)Vl+4x

當(dāng)0Wx<2時，Vl+4x>Vl+2x+?=1+x,所以g'O)在［0.2)上NO.

故g(x)在［0.2)上單調(diào)遞增，所以g(o在D>g(o)=o,故a>c.

綜上，a>c>b.

二、填空題

/r

13.已知雙曲線C:——丁=1(加>0)的一條漸近線為J3x+陽=0,則C的焦距

m

為-

答案：

4

解析：

易知雙曲線漸近線方程為y=±2x,由題意得/=相，從=1,且一條漸近線方程為

a

V3

y=----x,則有機(jī)=0(舍去)，加=3,故焦距為2c=4.

m

14.已知向量。=(1,3),B=(3,4),若則4=.

答案：

3

5

解析：

由題意得(a—之后)?心=。，即15—25%=。，解得2=3.

5

15.記ZVIBC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為“，b,c,面積為G,3=60°,

+/=3農(nóng)，則〃=.

答案：

20

解析：

]V3

S&ABC^-acsinB=—ac-j3,所以。。=4,

由余弦定理，b1-a2+c2—ac=3ac—ac—2ac=8,所以〃=2女.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的

三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖@圖⑤

答案：

②⑤或③④

解析：

由高度可知，側(cè)視圖只能為②或③.

側(cè)視圖為②，如圖（1）,平面PAC，平面ABC,PA=PC=?、BA=BC=5AC=2,

俯視圖為⑤.

俯視圖為③，如圖（2）,P41平面ABC,Q4=l,AC=AB=5BC=2,俯視圖為

④.

(1)

p

三、解答題

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用

一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為7和y,樣本方差分別

己為s；和S；.

22

(1)求x,y,力，$2：

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果

I22

則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否

則不認(rèn)為有顯著提高)。

答案：

見解析

解析：

(1)各項所求值如下所示.

-1

了=歷(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,

7=^(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

s；=Ax[(9.7-10.0)2*7+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2x(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2

+2x(10.2-lO.Of+(103-10.0)2]=0。36

[(1002

s；4x-10.3)2+3X(1o.1-10.3)2+(10.3-1Q3)2+2x(10.4-l0.3)+

2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04

(2)由(1)中數(shù)據(jù)得1一：=032后舒工O'.顯然了一'<2'鴦1.所以不認(rèn)為

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

18.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，PD1底面ABC。，PD=DC=1,M為BC

的中點，且P81AM.

(1)求8C;

(2)求二面角A—尸河一8的正弦值.

答案：

見解析

解析：

(1)因為PD1平面ABCO,且矩形ABCQ中，AD1OC所以以方不，DC,萬聲分

別為九V，二軸正方向，。為原點建立空間直角坐標(biāo)系。一QZ.設(shè)BC=Z,AQ,O,O),

B(M,O),mo,l),所以PB=(f,l,-1),/IM=(--,1,0)

22

=_；+l=0所以r=g

因為P81AM,所以方?奇所以3C=JZ.

⑵設(shè)平面APM的一個法向量為m=(x,y,z),由于AP=(-V2,0,l),則

m-AP=-41x+z=0

■______72.令x=0,的加=(、份,1,2).設(shè)平面PMB的一個法向量為

m-AM=----x+y=0

I2

-.,,\n-CB-y/2x'=0-

〃=(x,y,z),則｛_____.令V=1,的n=(0,1,1),所以

nPB^y/2x'+y'-z'=Q

―--in,n33J]4'\/70

cos<m,,i)==廠’廠=二絲,所以二面角4一PMN-B的正弦值為三一.

\m\\n\V7xV21414

21

19.記S“為數(shù)列｛叫的前八項和，"為數(shù)列｛SJ的前八項積，已知丁+丁=2.

5“b”

(1)證明：數(shù)列也J是等差數(shù)列；

(2)求｛%｝的通項公式.

答案：

見解析

解析：

21b

(1)由已知彳~+丁=2,則]，J=S“(〃22),

S“b?b,i

oJi+丁=2n2%+2=2"=>"-%--(n>2),e=1,

ab"22

故是以■為首項，g■為公差的等差數(shù)列.

31n-I-?22.c〃+2

(2)由(1)知d==+5—1)!=—則不+—-=2S,,=-

222Snn+2〃+1

"+2n+1

時，

n=i時,q=S=g〃N2cin=Sn-Sn_]

〃+1n

---------,n>2

n(ti+1)

20.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=O是函數(shù)y=0\x)的極值點.

(1)求。；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=；、，證明：g(x)<l.

xf(x)

答案：

見解析

解析：

(1)令〃(x)=n*(x)=xln(a-x)

x

貝lj/(X)=ln(a-x)---:——.

a-x

"-'x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點.

.?"'(0)=0.

解得:<2=1;

⑵由⑴可知：/(x)=ln(l-x)

/、x+f(x)11

g(x)=--------=-----1—,

xf(x)/(X)X

要證g(x)<l,即證一L+'<1。-1—+—<0(x<l且XH0)

f(x)xIn(l-x)x

x+(l—x)ln(l—x)_

0--------乙--------<0.

xln(l-x)

?當(dāng)x<0時，xln(l-x)<0.

當(dāng)0vxv1時，xln(l-x)<0.

***只需證明x+(1—x)ln(l—x)>0

令7/(%)=x+(l—x)ln(l—%),且易知H(0)=0.

則”'(x)=l—ln(l—x)+1(1—x)=—ln(l—x)

1-x

(i)當(dāng)x<0時，易得“'(x)<0,則”(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

???4(0)=0,.?.H(x)>H(0)=0,得證.

(ii)當(dāng)0<x<l時，易得H'(x)>0,則H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

'.'"(0)=0,...HQ)>H(0)=0,得證.

綜上證得g(x)<L

21.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為尸，且尸與圓M:-+(y+4)2=1上點

的距離的最小值為4.

(1)求〃；

(2)若點。在M上，PA,尸3是C的兩條切線，A,8是切點，求兇43面積的

最大值.

答案：

見解析

解析：

(1)焦點E(O,“)到％2+(y+4)2=l的最短距離為'+3=4,所以2=2.

22

?

⑵拋物線、=’一，設(shè)AC%))B(X2,)2),「(/，為)，得

4

/1z1121

iPA:y=-xl(x-xJ)+yt=—xlx——xl=—x}x-y],

IPR:丁=；%2%-%，且Ro?=一為2-8%-15,

1

%=耳七%-%

IPA.都過點P(%，%),貝卜

1

%=產(chǎn)與一%

故幾：即丁=