第1頁（共1頁）第二十一屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽試卷（小高組A卷）一、選擇題（每小題10分，共60分.以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內．）1．（10分）算式×的結果中含有（）個數字0．A．2017 B．2016 C．2015 D．20142．（10分）已知A，B兩地相距300米．甲、乙兩人同時分別從A，B兩地出發，相向而行，在距A地140米處相遇；如果乙每秒多行1米，則兩人相遇處距B地180米．那么乙原來的速度是每秒（）米．A．2 B．2 C．3 D．33．（10分）在一個七位整數中，任何三個連續排列的數字都構成一個能被11或13整除的三位數，則這個七位數最大是（）A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．98717734．（10分）將1，2，3，4，5，6，7，8這8個數排成一行，使得8的兩邊各數之和相等，那么共有（）種不同的排法．A．1152 B．864 C．576 D．2885．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，則AE2等于（）A．84 B．80 C．75 D．646．（10分）從自然數1，2，3，…，2015，2016中，任意取n個不同的數，要求總能在這n個不同的數中找到5個數，它們的數字和相等．那么n的最小值等于（）A．109 B．110 C．111 D．112二、填空題填空題（每小題10分，共40分）7．（10分）兩個正方形的面積之差為2016平方厘米，如果這樣的一對正方形的邊長都是整數厘米，那么滿足上述條件的所有正方形共有對．8．（10分）如圖，O，P，M是線段AB上的三個點，AO＝AB，BP＝AB，M是AB的中點，且OM＝2，那么PM長為．9．（10分）設P是一個平方數．如果q﹣2和q+2都是質數，就稱q為P型平方數．例如：9就是一個P型平方數．那么小于1000的最大P型平方數是．10．（10分）有一個等腰梯形的紙片，上底長度為2015，下底長度為2016，用該紙片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等于原來梯形的銳角，則最多可以剪出個同樣的等腰梯形．

第二十一屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽試卷（小高組A卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題10分，共60分.以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內．）1．（10分）算式×的結果中含有（）個數字0．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014【分析】把變形為﹣1，然后根據乘法的分配律拆分，再進一步解答即可．【解答】解：×＝（﹣1）×＝×﹣＝﹣個位0減9不夠減，需要連續退位，個位數得1，所以數字0的個數是：2016﹣1＝2015（個）故選：C．2．（10分）已知A，B兩地相距300米．甲、乙兩人同時分別從A，B兩地出發，相向而行，在距A地140米處相遇；如果乙每秒多行1米，則兩人相遇處距B地180米．那么乙原來的速度是每秒（）米．A．2 B．2 C．3 D．3【分析】本題是典型的利用正反比例解行程問題．首先根據不變量判斷正反比．兩次相遇過程中兩人的時間相同路程比等于速度比．兩次過程中甲的速度沒變．通分比較乙的．即可解決問題．【解答】解：第一次相遇過程中甲乙兩人的路程之比為140：（300﹣140）＝7：8，時間相同路程比就是速度比．第二次相遇過程中的路程比是（300﹣180）：180＝2：3，速度比也是2：3．在兩次相遇問題中甲的速度是保持不變的，通分得，第一次速度比：7：8＝14：16．第二次速度比2：3＝14：21．速度從16份增加到21份速度增加每秒1米，即1÷（21﹣16）＝．乙原來的速度是16×＝3.2米/秒．故選：D．3．（10分）在一個七位整數中，任何三個連續排列的數字都構成一個能被11或13整除的三位數，則這個七位數最大是（）A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．9871773【分析】首先根據最大的3位數是11或是13的倍數開始．然后每次向后邊推一位數字找出最大的倍數即可．【解答】解：在7位數中，首先分析前三位數字，最大的11的倍數是990，最大13的倍數是988，因為0不能做首位．所以7位數中不能含有數字0，11倍數的第二大數字是979小于988．所以前三位數字是988．第4位根據如果是11的倍數數字就是880．如果是13的倍數就是884．最大是884．第5位根據如果是11的倍數數字就是847，如果是13的倍數就是845．最大是847．第6位根據如果是11的倍數數字就是473，如果是13的倍數在470﹣479沒有13的倍數．所以是473第7位根據如果是11的倍數是737，如果是13的倍數沒有符合的數字．所以這個7位數是9884737．故選：B．4．（10分）將1，2，3，4，5，6，7，8這8個數排成一行，使得8的兩邊各數之和相等，那么共有（）種不同的排法．A．1152 B．864 C．576 D．288【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判斷出8的兩邊各數之和都是14；然后分4種情況：（1）8的一邊是1，6，7，另一邊是2，3，4，5時；（2）8的一邊是2，5，7，另一邊是1，3，4，6時；（3）8的一邊是3，4，7，另一邊是1，2，5，6時；（4）8的一邊是1，2，4，7，另一邊是3，5，6時；求出每種情況下各有多少種不同的排法，即可求出共有多少種不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7＝288的兩邊各數之和是：28÷2＝14（1）8的一邊是1，6，7，另一邊是2，3，4，5時，不同的排法一共有：（3×2×1）×（4×3×2×1）×2＝6×24×2＝288（種）（2）8的一邊是2，5，7，另一邊是1，3，4，6時，不同的排法一共有288種．（3）8的一邊是3，4，7，另一邊是1，2，5，6時，不同的排法一共有288種．（4）8的一邊是1，2，4，7，另一邊是3，5，6時，不同的排法一共有288種．因為288×4＝1152（種），所以共有1152種不同的排法．答：共有1152種不同的排法．故選：A．5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，則AE2等于（）A．84 B．80 C．75 D．64【分析】如圖，連接AC，過點A作AF⊥CD于點F，過點B作BG⊥CD于點G，構建直角△AFC和直角△BGC，結合勾股定理求得AE2的值．【解答】解：如圖，連接AC，過點A作AF⊥CD于點F，過點B作BG⊥CD于點G，則AF＝BG，AB＝FG＝6，DF＝CG＝4．在直角△AFC中，AC2＝AF2+FC2＝AF2+102＝AF2+100，在直角△BGC中，BC2＝BG2+GC2＝AF2+42＝AF2+16，又∵CE＝CB，∠AEC＝90°，∴AE2＝AC2﹣EC2＝AF2+100﹣（AF2+16）＝84，即AE2＝84．故選：A．6．（10分）從自然數1，2，3，…，2015，2016中，任意取n個不同的數，要求總能在這n個不同的數中找到5個數，它們的數字和相等．那么n的最小值等于（）A．109 B．110 C．111 D．112【分析】首先確定題中要求的是每一個數字中的數字和120的數字和就是3，那么找到最大的就是1999的是28，最小的是1的情況共有幾個數字滿足情況．都至多選出4個．再選一個就是滿足條件的．【解答】解：依題意可知：1﹣2019中最大的數字和是1999數字和為28．數字和最小的為1共有1，10，100，1000共四個．數字和為27的有999，1899，1998，1989共四個．數字和為2﹣26的都超過5個數．那么只要2﹣26的數字和中挑出4個數字，在把數字和為1，27，28的都算上，再來一個就是5個數字了滿足情況了．27×4+1+1＝110．故選：B．二、填空題填空題（每小題10分，共40分）7．（10分）兩個正方形的面積之差為2016平方厘米，如果這樣的一對正方形的邊長都是整數厘米，那么滿足上述條件的所有正方形共有12對．【分析】假設大正方形的邊長為x，小正方形的為y，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y與x﹣y奇偶性相同，乘積2016是偶數，所以必是偶數，據此分解質因數2016＝25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假設大正方形的邊長為x，小正方形的為y，有題意可得：x2﹣y2＝2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y與x﹣y奇偶性相同，乘積2016是偶數，所以必是偶數，2016＝25×32×7，2016因數的個數：（1+5）×（2+1）×（1+1）＝36（個），共有因數36÷2＝18對因數，其中奇因數有：（2+1）×2＝6對，所以偶數有：18﹣6＝12對，即，滿足上述條件的所有正方形共有12對．故答案為：12．8．（10分）如圖，O，P，M是線段AB上的三個點，AO＝AB，BP＝AB，M是AB的中點，且OM＝2，那么PM長為．【分析】如果想求出PM那么必須找到和OM的關系，在這些線段中都和AB進行的比較，可以轉換為OM，PM和AB的關系即可求解．【解答】解：依題意可知：PM＝AM﹣AP＝AB﹣（AB﹣BP）＝AB﹣AB＝AB．OM＝MB﹣OB＝AB﹣（AB﹣AO）＝AB﹣AB＝AB＝2∴AB＝PM＝故答案為：9．（10分）設P是一個平方數．如果q﹣2和q+2都是質數，就稱q為P型平方數．例如：9就是一個P型平方數．那么小于1000的最大P型平方數是225．【分析】小于1000的最大P型平方數，33的平方數是1089，這個數需要小于33的平方的平方數．q﹣2和q+2的差是4．只要找到數字相差4的不超過33的質數組合即可．【解答】解：小于33的質數有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等數字差是4的兩個質數有19和23最大．21﹣2＝19，21+2＝23.21×21＝441．故答案為：441．10．（10分）有一個等腰梯形的紙片，上底長度為2015，下底長度為2016，用該紙片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等