第1課時從平面向量到空間向量、

空間向量的線性運算第三章內容索引0102自主預習新知導學合作探究釋疑解惑自主預習新知導學一、空間向量1.空間向量的有關概念(1)定義:與平面向量類似,在空間中,我們把具有

大小

和

方向

的量叫作空間向量.(2)長度:向量的大小叫作向量的長度或模.(3)表示法(4)自由向量:數學中所研究的向量,與向量的起點無關,稱為自由向量.(5)特殊向量:表3-2-1名稱定義及表示共線向量當表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合時,稱這兩個向量互為共線向量(或平行向量).相等向量和相反向量都是共線向量的特殊情況.向量a、向量b、向量c互為共線向量,記作a∥b,a∥c,b∥c.規定:零向量與任意向量平行共面向量通常,我們把平行于同一平面的向量,叫作共面向量.共線向量是共面向量的一種特例2.在長方體ABCD-A'B'C'D'的棱所在的向量中,與向量

的模相等的向量至少有(

).A.0個 B.3個 C.7個 D.9個答案:C二、空間向量的加減法上述求兩個空間向量和的法則,叫作向量求和的三角形法則.圖3-2-1(2)向量求和的平行四邊形法則:圖3-2-2(3)與平面向量的加法滿足的運算律類似,空間向量的加法也滿足如下的運算律:①交換律

a+b=b+a;②結合律

(a+b)+c=a+(b+c).(4)空間向量的減法:與平面向量類似,空間向量a與b的差也可定義為a+(-b),記作

a-b,其中-b是b的相反向量.答案:0三、空間向量的數乘運算1.空間向量的數乘運算(1)定義:與平面向量類似,實數λ與空間向量a的乘積仍然是一個

向量

,記作λa.求實數與空間向量的乘積的運算稱為空間向量的數乘運算.(2)向量λa的長度和方向滿足:①|λa|=|λ||a|;②當λ>0時,向量λa與向量a方向

相同

;當λ<0時,向量λa與向量a方向

相反

;當λ=0時,λa=0.對于任意一個非零向量a,當

表示與向量a同方向的單位向量.(3)空間向量的數乘運算滿足如下的結合律和分配律:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.其中λ∈R,μ∈R.(4)定理:空間兩個向量a,b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數λ,使得a=λb.通常把這個定理稱為共線向量基本定理.(也稱“一維向量基本定理”)2.若非零空間向量e1,e2不共線,則使向量2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線的實數k的值為

.

解析:由題意知,2ke1-e2≠0,且e1+2(k+1)e2≠0.若向量2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線,則存在實數λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.∵非零空間向量e1,e2不共線.合作探究釋疑解惑探究一向量的有關概念【例1】

給出下列命題:①若兩個空間向量相等,則它們的起點相同,終點也相同;②若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b;③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有;④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p;⑤空間中任意兩個模為1的向量必相等.其中正確的個數為(

).A.4 B.3 C.2 D.1解析:當兩個空間向量的起點相同,終點也相同時,這兩個向量必相等,但兩個向量相等時,不一定滿足起點相同,終點也相同,故①錯誤;根據相等向量的定義,要保證兩向量相等,不僅模要相等,而且方向還要相同,但②中向量a與b的方向不一定相同,故②錯誤;根據正方體的性質,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,向量

的方向相同,模也相等,所以

,故③正確;命題④顯然正確;空間中任意兩個模為1的向量長度相等,但方向不一定相同,故⑤錯誤.答案:C空間向量概念問題的注意點(1)空間向量的概念與平面向量的概念相類似,平面向量的其他相關概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.(2)在空間向量中,平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,兩個向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等;兩個向量互為相反向量的充要條件是這兩個向量的模相等、方向相反.探究二向量的線性運算圖3-2-3解決空間向量線性運算問題的方法進行向量的線性運算,實質上是在正確運用數乘運算律的基礎上進行向量求和,即通過作出向量,運用平行四邊形法則或三角形法則求和.運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中.探究三向量共線【例3】

如圖3-2-4,點E,F,G,H分別是空間四