Review1.微分中值定理2.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一.微分中值定理Rolle，Lagrange，CauchyTheorem；洛比達(dá)法則求極限；Taylor’s公式：Peano余項

Lagrange余項對應(yīng)的Maclaurin公式。

拉格朗日中值定理

1.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

2.

微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論3.

有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維

,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)

.多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理

.必須多次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理.二.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性：如何判別，證明不等式；函數(shù)的極值：判別定理I&II；函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)：判別及不等式；曲線的漸近線；函數(shù)作圖；曲率：計算公式，曲率園。1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率2.解決最值問題

目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化

最值的判別問題3.其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.主要概念：極限，導(dǎo)數(shù)，微分；計算：極限，導(dǎo)數(shù)。求極限：

1.法則；

2.洛比達(dá)法則；

3.有理化，無窮小代換，和差化積，取對數(shù)，冪指函數(shù)。求導(dǎo)：1.法則；2.

復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，參數(shù)函數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)證明：或證明：證明：證明：解：解：解：解：解：解：或解：解：另解解：證明：證明：證明：另法：證:

問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點(diǎn)證:

欲證因

f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理條件,故有將①代入②,化簡得故有①②即要證證明：證明：二式相加得：證明:

令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即分析:

所給條件可寫為想到找一點(diǎn)c,使證明:

因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,

故由介值定理,至少存在一點(diǎn)

由羅爾定理知,必存在

證明:由泰勒公式得兩式相減得證明:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故當(dāng)

x>0時,從而在上單調(diào)增.得證:

設(shè),則故時,單調(diào)增加,從而即思考:證明時,如何設(shè)輔助函數(shù)更好?證:

設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.證:

只要證利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.解法1利用中值定理求極限原式解法2

利用泰勒公式令則原式證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從