有限域中裂縫的開面積和體積的計算方法

1采中估計分析方法在某些工程問題中，有必要了解二維滲透破裂的開口區域（coa）或二維嵌入圓的開口體積（cov）。如①在能源開采中估計石油和天然氣在裂隙巖體中的流動率。②對冷卻系統或化工廠的薄壁管道估算裂縫造成的泄漏率,這在核電工程的破前漏(LBB)分析中尤為重要。③在材料研究中用于計算位錯分布和微裂紋脆性開裂引發的聲發射幅度。雖然在應力強度因子手冊中給出了一些計算COA和COV的公式,然而它們都僅限于無限域中的問題。Streitenberger和Knott最近推出計算COA和COV的積分公式,原則上可以分析有限域中的裂縫問題,但仍存在問題,而他們給出的算例仍只是無限域中的問題。本文就有限域中常見的幾個裂縫模型(圖1、圖3、圖4)推出計算COA或COV的顯式表達式,并對文獻中的積分公式的欠缺作了補正。2coa的二維問題2.1a/a/b我國《民法典》上應力強度因子b的公式求解此題COA的積分公式是A=4E′σ∫a0Κ2u(a′)da′(1)其中A代表COA;Ku為均勻拉伸應力σ作用下的應力強度因子;E′=E對平面應力,E′=E/(1-ν2)對平面應變;a′是針對裂紋長度積分的積分變量。此題應力強度因子有如下簡便公式Κu=σ√πa/√1-(a/b)2(2)將式(2)代入式(1)得A=2πσa2F/E′(3)其中F=-(b2/a2)ln(1-a2/b2)(4)當a/b→0即無限大板的情況,由數學上的羅必達法則知F→1,故此時A=2πσa2/E′,這就是文獻中給出的準確值。F代表有限寬度(a/b)對COA的放大系數。由斷裂力學中的Bueckner原理知遠場均勻拉伸時的應力強度因子也是式(2),故式(3)、(4)也是其COA的算式。2.2裂面為受集中力而非均勻力雖然文獻給出裂面非均勻加載(但仍對稱)時COA的積分公式如下A=4E′σ∫a0Κu(a′)Κ(a′)da′(5)其中Ku是參考工況即均勻拉伸σ時的應力強度因子,而K是所研究問題(欲求COA者)的應力強度因子。但筆者發現此公式存在兩個問題,首先對于集中力的情況,當集中力不是作用在裂面中點時,此式不能用。其次對裂面非均勻分布力的情況,對無限大板算出的COA值與文獻的準確值相差很大。對于裂面受集中力的情況(例如圖2),由Paris公式(參見文獻之式(B14))可以推出(詳見附錄A)A=4E′σ∫acΚu(a′)Κ(a′)da′(6)式(6)與式(5)的區別在于積分下限不同,式(6)的積分下限c是集中力的作用位置。對于圖2(注意它是無限大板)有Κu=σ√πa,Κ=(2Ρ/√πa)/√1-c2/a2(7)將式(7)代入式(6)得A=8Ρ√a2-c2/E′(8)式(8)與文獻給出的準確值吻合。但如果改用式(5),則會遇上負數開平方(√-c2)的不正常運算,說明文獻給出的此式不恰當。文獻在舉例時只讓集中力作用在中點(c=0),故使其問題未能暴露。2.2.1線性關系的靈敏度得到此題應力強度因子的簡便公式如下Κ=Ρ√πaπ2arccos(a/b)(9)注意Ku已在式(2)給出,將式(2)、(9)代入式(6)時得A=4ΡaF/E′(10)其中F=π2balnπ2arccos(a/b)(11)當a/b→0即無限大板時,易知F→1,此時有A=4Pa/E′,這應該是無限大板的準確值,文獻中給出的值有一印刷錯誤(多一個π在分母上)。2.3非均勻力的計算現在說明文獻給出的式(5)的第2個問題。對無限大板討論,參考圖2但將集中力改為對稱分布力,x軸的原點是裂縫的中點,以線性分布和2次分布面力為例,用式(5)獲得的COA值與文獻給出的準確值的對比列于表1。這樣大的誤差表明式(5)完全不能用于非均勻分布力時COA的計算。文獻也沒有給出這方面的任何算例。本文暫不打算尋求類似的公式來解決這一問題。但對無限大板,可將式(8)作為Green函數,則任何對稱分布面力σ(x)作用下的COA可用下式計算A=∫a08σ(x)√a2-x2E′dx(12)利用式(12)算出的無限大板的COA與文獻的準確值相同。3需加1.2.3本文只討論圓柱體中內埋同心圓片裂縫受均勻拉伸的情況(圖4)?？梢杂靡环N新的更簡便的方法來推導計算其COV的積分公式如下。均勻拉伸應力σ使圓片裂縫張開位移形成體積V(即COV),從而做功σV/2;從另一角度看,能量釋放率G(a′)在產生2πa′da′圓環面積做功為G(a′)·2πa′da′,顯然應有如下關系式12σV=2π∫a0a′G(a′)da′(13)利用G、K關系(G=K2/E′),并注意圓形裂縫前沿可視為平面應變,因此式(13)可改寫為V=4π(1-ν2)Eσ∫a0a′Κ2u(a′)da′(14)其中Ku是均勻拉伸應力σ產生的應力強度因子。筆者用類似的方法也推導出式(1)。對均勻加載可以用這種方法推導。對于有限半徑圓柱體(其外半徑為b),得到其應力強度因子的簡便表達式為Κu=2σ√a/π?√(1-0.4a2/b2)/(1-a2/b2)(15)將式(15)代入式(14)得出V=16(1-ν2)σa33E?F(16)其中F=0.4+0.9b3a3ln1+a/b1-a/b-1.8b2a2(17)當a/b→0即無限大體時,F→1,此時V=16(1-ν2)σa3/3E,這與文獻對無限大體給出的準確值吻合。F代表有限尺寸對COV的放大系數。能以顯式給出此有限體中圓盤裂縫的COV表達式得益于式(15)的簡便程度。4coa和cov的顯式式1)本文首次以顯式給出有限域中3個典型裂縫模型(圖1、圖3、圖4)COA或COV的計算公式,分別為式(3)、(4),式(10)、(11),式(16)、(17)。這些公式在退化為相應無限域問題時均與文獻中的準確值吻合。這些公式中的F值代表有限尺寸(a/b)對COA或COV的放大系數,代表性的數值列在表2。從此表可以看出,當a/b=0.9時,COA已是無限大板時對應數值的2倍左右,另外,COV的放大倍數均不及COA的。2)文獻給出的計算COA的積分公式(轉引在式(5))并不能用于非均勻(但對稱)分布力加載的情況,即使用于無限大板其誤差也是很大的(參見表1),該式可用于集中力加載,但也應修正為式(6)才能處理非中心加載的情況(如圖2)。3)當應力強度因子是準確解時,用積分公式(1)、(6)、(14)求出的COA或COV也是準確的,而這通常只有對無限域中的問題才有可能。對本文研究的有限域裂縫問題,準確的