1PART兩個“引子”1引子一：力學中兩個常見物理模型（光滑水平面）連接體（輕桿或輕繩）：兩個質點用輕繩或輕桿相連，當系統在外力作用下會瞬間達到穩定狀態，基本特征是加速度相等，加速度可以為零也可以不為零。

連接體（輕桿或輕繩）一對彈力為保守力，它們對系統做的總功為零，故其不影響系統的機械能。連接體（輕桿或輕繩）一對彈力為相互作用力，作用時間相同，它們的總沖量為零，故其不影響系統的總動量。彈性碰撞模型：完全彈性碰撞系統中存在某中保守力（彈力,電場力,重力或引力）,當系統共速時減少的動能變成某種勢能儲存起來。完全非彈性碰撞模型：當系統共速時總動能最小，系統損失的動能轉化成內能，耗散在周圍環境中。若系統是用輕彈簧連接，則總動量守恒，總機械能守恒，系統中各個質點相對于系統質心做簡諧振動。引子二：三類常見的積分32PART電磁感應中單棒模型4

一、沖量型單棒運動規律567二、恒定外力型單棒運動規律8三、含有電容的單棒模型910思考1：這里C(BL)^2物理量的單位是什么？可以與前面力學題中哪個模型相類似？思考2：這個模型中電路中的總電阻能不能為零？為什么？思考3：這個模型能不能瞬間達到勻變速直線運動呢？思考4：這個模型中若外力為零，裝置水平放置，給棒一個初速度，分析電路穩定時棒的速度，電場能分別是多少？11122013年全國高考題反思：這里的加速度表達式與前面講過的哪個模型類似？13反思：通過前面的分析我們可以發現：電路中穩定狀態是經歷很長時間才能達到；電阻也不能為零，否則經典電磁理論無法解釋電流的形成過程。為了解決以上困難，我們可以設定電路中電阻很小，導棒經過比較短時間達到穩定狀態。四、單棒中的典型問題——吸水導棒141516反思：導體棒沿光滑斜面向下運動過程中定值電阻的熱功率可能保持不變嗎？五、單棒中的典型問題——恒定電流171819203

結語

通過以上的分析不難發現，若導軌的形狀滿足特殊的函數關系，則不管導軌光滑或粗糙，導體棒在切割磁感線時可以讓電路中的電流保持恒定。若導軌光滑，則導軌的形狀曲線有顯性解析解，若導軌粗糙，則導軌的形狀曲線是一個隱函數。212223電流與時間可能關系圖總結：導棒的速度與時間關系，與物理量密切相關相關，導棒可能是初速度為零的勻加速直線運動，也可能最終趨近于勻加速直線運動。答案：AC242526所以，原題第4問的解析有問題！2728圓環的速度和加速度與位移關系圖反思：所以原題的數據有問題！29反思：題目中的數據自洽嗎？參考答案：BC303PART電磁感應中“雙棒”模型31一、電磁感應中最一般的“雙棒”模型3233總結：雙棒電路最終穩定，兩棒的加速度恒定，電路中電流恒定！二、“雙棒”模型的分類34一、分類

1．按棒的長度可分為兩類：等寬與不等寬（即一長一短）2．按啟動方式可分為三類：沖量型、恒定外力型、恒定功率型

3．按棒所處軌道的位置可分為三類：水平類、傾斜類、豎直類

4．按棒穩定后的狀態可分為三類：靜止類、勻速直線運動類、

勻加速直線運動類35363738394041424344454647484950515253三、雙棒規律的應用545556575859筆者猜想出題人是這樣設計題目C選項的：若a、b棒質量之比是1：2可以發現兩棒的動力學方程完全相等，又是同時釋放，則兩棒的運動情況應該是完全相等；若是D選項，則勻速運動時兩棒其它形式的能轉化為電能的本領不是就是重力的功率嗎？因為它們相等，所以速度之比為質量反比。6061

2019年武漢市高三2月調考第25題研究62

如圖所示足夠長的金屬導軌MNC和PQD平行且間距為L，所在平面與水平面夾角分別為α=37°和β=53°導軌兩側空間均有垂直導軌平面向下的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應強度大小為B．均勻金屬棒ab和ef質量均為m，長均為L，電阻均為R．運動過程中，兩金屬棒與導軌保持良好接觸始終垂直于導軌，金屬棒ef與導軌間的動摩擦因數為μ=0.5，金屬棒ab光滑。導軌電阻不計重力加速度大小為g，sin37°=0.6，cos37°=08．

（1）若將棒ab鎖定，靜止釋放棒ef，求棒ef最終運動的速度v1；

（2）若棒ef經過時間t達到第（1）問中的速度v1，求此過程中棒ef下滑的距離x；（3）若兩金屬棒均光滑，同時由靜止釋放，試在同一圖中定性畫出兩棒運動的v-t圖線。（ab棒取沿軌道向上運動為正方向，ef棒取沿軌道向下運動為正方向）63思考：若兩棒同時釋放會怎樣？不難發現：盡管兩棒釋放有先后，最終兩棒都是勻變速直線運動，加速度相同。642019年華師一附中臨門一腳題6566兩棒向右運動時的解析解：為了使兩棒一直向右運動，則初速度應滿足條件若初速度小于或等于這個值，則左棒先減速運動最后靜止；右棒先加速運動，最后勻速運動。若拉力大于總摩擦力，則兩棒的可能運動情況2021年全國高考題研究67

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71最后，附上MN和金屬框的加速度時間圖像：故選BC72這個方程是一個超越方程，一般情況下沒有解析解！這里的解為朗伯函數！7374筆者和陳老師關于導軌長度方程的數值解的對比：總結：本題中系統動量守恒，動能不守恒，兩棒的速度與時間沒有解析解；但是若以兩棒的位移差為自變量，兩棒的速度可以有解析解；兩棒的運動時間與位移差的關系有解析解，可以借用文中的（11）式兩邊不定積分寫出時間與位移差的解析式；關于導軌長度的方程是一個超越方程，沒有解析解，是朗伯函數，兩棒的運動規律可以寫成以位移差為自變量的函數，感興趣的讀者可以自行推證，理論上兩棒需要無限長時間才能達到共速。75【強基】如圖所示，有二平行金屬導軌，相距l，位于同一水平面內（圖中紙面），處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）。質量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導軌上，與導軌垂直。初始時刻，金屬桿ab和cd分別位于x=x0處。假設導軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導軌構成的回路的自感系數為L。今對金屬桿ab施以沿導軌向右的瞬時沖量，使它獲得初速v0。設導軌足夠長，x0也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距x0，因而可以認為在桿運動過程中由兩金屬桿與導軌構成的回路的自感系數L是恒定不變的。桿與導軌之間摩擦可不計。求任意時刻兩桿的位置xab和xcd以及由兩桿和導軌構成的回路中的電流i三者各自隨時間t的變化關系。767778反思：與2009年江蘇高考題第9題類似！794PART電磁感應中其它疑難問題80812011北約自主招生題反思：兩棒真的能達到勻速直線運動嗎？828384852021年八省聯考江蘇卷思考：怎樣在最短的時間內找到正確答案？865PART電磁感應數據不自洽的問題878889所以，原題沒有答案正確！90反思：第二、三問這樣分析對嗎？9192反思：第二問這樣分析對嗎？93結語

通過以上分析，不難發現：此類問題在分析時先利用電磁感應電路最終穩定時導棒的加速度（或加速度大小之比）和電流不變，求出導棒的速度或兩根導棒的速度之比或加速度之比，再利用動量定理求得導棒的速度或電路的電量，最后利用能量轉化與守恒定律再求出各種能量。當然也可以用積分來分析，通常情況各量變化的規律是以e為底的指數函數，在積分時，時間趨近于無窮大！還有這個問題中產生的電能和導棒的動能恰好相相等，與傳送帶中物塊增加的動能與熱量相等類似，通常稱之為“半能損失”。94反思：以上為命題人所給參考答案，因未考慮此過程電容器亦存在充電電流，所給解析有誤。9596反思：這里的電路中含有電容器，安培力的沖量還能正比于位移嗎？973.1導棒動力學微分方程組：3.2導棒的速度與時間關系及電量與時間關系3.3導棒的位移與時間關系式結論：理論上時間應該是無窮大，所以這個結果也應該是無窮大！所以A是錯的！98反思：這樣的分析對嗎？992.1第一個階段中電路微分方程可以發現，當時間趨近于無窮大時，電量隨時間均勻增加，電流為一定值。反思：以上是拉力做的功與電阻的關系式，當電阻無窮趨近于零時，功趨近于2J，但這里的電阻不能為零！1002.2第二階段的動力學微分方程反思：以上是后來導棒的速度與時間的關系式，進一步研究發現，導棒最終速度是12.5m/s。但是電路總電阻不能為零，否則電路中損失的動能沒有轉化內能的通道！電阻、電感和電容在電磁感應電路中的作用特點只有電阻的單棒或雙棒模型規律是以e為底的指數函數，達到穩定狀態的時間理論是無窮大，在設定比較小的數據時，物理規律很可能不自洽，所以在命題時最好用字母來表示。電磁感應電路中電阻和電感是兩種非常重要的元件，電阻的作用類似力學中摩擦力起耗散作用；電感的作用類似力學中的彈簧，起儲存或釋放能量的作用；若兩者都沒有，則題目容易出問題；若電路中只有電感，則電路中電流是簡諧振