一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

韋達(dá)，1540

年出生于法國(guó)的波亞圖，他把符號(hào)系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績(jī)，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導(dǎo)入新課-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1

對(duì)于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規(guī)律嗎？講授新課對(duì)于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)Δ≥0時(shí)，設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1，x2，此時(shí)x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結(jié)論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為

x1，x2，那么，注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”．探究結(jié)論例1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15．先化為一般式定理應(yīng)用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=．練習(xí)1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）3x2

+

7x

-

9=0；（2）

2x2-4x+9=0．（2）解：a=2，b=-4，c=9．

Δ

=b2-4ac

=(-4)2–4×2×9=-56<0．

∴方程無實(shí)數(shù)根．（1）解：a=3，b=7，

c=-9．

Δ

=b2-4ac

=72–4×3×(-9)=157>0．

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=-3．定理應(yīng)用例2

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)根，則(1)x1+x2=

，x1·x2=

．（x1+x2）2–2x1x2∴原式=42–2×1=1441(x1+1)(x2+1)=(2)求下列式子的值：x12+x22=x1x2+(x1+x2)+1∴原式=1+4+1=6定理應(yīng)用∵x1+x2=4，x1x2=1∵x1+x2=4，x1x2=1∴原式∵x1+x2=4，x1x2=1x1+x2=

４

，x1·x2=1

變式

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)根，求下列式子的值：(x1-x2)2

定理應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容應(yīng)用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是

x1，x2，那么，課堂小結(jié)……(x1+1)(x2+1)x12+x22(x1-x2)2

思考題：當(dāng)

k

為何值時(shí)，方程2x2-kx+1=0的兩根之差為1？必做題：1.教材P16練習(xí)；2.教材P17復(fù)習(xí)鞏固第7題；3.教材P25復(fù)習(xí)鞏固第4題．常思常悟課后作業(yè)2.3因式分解法

學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解因式分解法的概念；（2）會(huì)利用因式分解法解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；（3）經(jīng)歷探索因式分解法解一元二次方程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，同時(shí)學(xué)會(huì)靈活選擇解方程的方法；

（4）通過運(yùn)用因式分解法解簡(jiǎn)單系數(shù)的一元二次方程，體驗(yàn)解決問題的方法多樣性，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.重點(diǎn)因式分解

法難點(diǎn)應(yīng)用新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知什么叫因式分解？回顧與反思因式分解有哪些方法？把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫分解因式.方法有：提取公因式、公式法、十字相乘法等.應(yīng)用新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知什么叫因式分解？將下列各題因式分解：(1)(2)

(3)回顧與反思因式分解有哪些方法？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知

除配方、公式法以外，能否找到更為簡(jiǎn)單的方法解方程①？一起探究思考：

應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境一起探究

或解:

由①到②的過程，不開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次.

…………②因式分解法探究新知解下列方程：新課導(dǎo)入鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知典型例題解:

(1)(2)因式分解得于是得(1)或探究新知解下列方程：新課導(dǎo)入鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知典型例題解:

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得分解因式得(2)于是得或(1)(2)探究新知用因式分解法解一元二次方程的步驟：新課導(dǎo)入鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知例題總結(jié)1.移項(xiàng)：將方程化為一般形式；2.分解：將方程的左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積；3.轉(zhuǎn)化：令每個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；4.求解：解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.探究新知應(yīng)用新知課堂小結(jié)布置作業(yè)鞏固新知隨堂練習(xí)創(chuàng)設(shè)情境1.一元二次方程

可化為兩個(gè)一次方程為__________和__________，方程的根是________________.2.方程

的根是______；方程

的根是______；方程

的根是_________________.

探究新知應(yīng)用新知課堂小結(jié)布置作業(yè)鞏固新知隨堂練習(xí)創(chuàng)設(shè)情境1.下列哪些方程用因式分解法求解比較方便？試著求一下.

(1)(2)(4)(3)探究新知應(yīng)用新知布置作業(yè)鞏固新知課堂小結(jié)創(chuàng)設(shè)情境一元二次方程解法直接開方配方法

公式法

因式分解法

探究新知應(yīng)用新知布置作業(yè)鞏固新知課堂小結(jié)創(chuàng)設(shè)情境方法適合方程類型注意事項(xiàng)直接開平方法公式法

___0時(shí)，方程有解；求根